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高等数学

高数知识量很大，理解相较容易，但灵活性较高 总结必要的概念、结论、方法、经验、典例等，仅为知识体系，不覆盖做题分析能力（灵活使用，掌握足够的技巧方法，面对题目“非无之无”）考试面前，适当理解以对抗风险，但应用为先！

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考情分析

选择题：4道 填空题：4道 大题：4道

考查轻重点讨论

1. 数列极限证明题：中上上难度
2. 中值定理证明题：中上上难度
3. 微分方程：中等难度
4. 不定积分：中上难度
5. 数项级数：中上难度

重要技巧（解题技巧 > 计算方法）

1. 指数化与对数化（解函数，极限，求导）（应用空间不尽相同） \(\Delta=e^{\ln\Delta}\quad （可能影响定义域）\\ \Delta=\ln e^\Delta\)
2. 特值法 选择题善用

重要概念补充

系数对应问题注意

\(\quad \ ax+by=x+y（即\forall x,y）\\ \Leftrightarrow a,b=1\) \(\quad \ \xi a+\mu b=a+b（对特定的a,b,有特定的\xi,\mu）\\ \not\Leftrightarrow \xi,\mu=1\)

去绝对值问题

\(因变量去绝对值，要加“\pm”\) \(自变量去绝对值， 应分类讨论\)

易失误问题

约分问题： \(\Delta=\alpha\Delta（须分类讨论\Delta=0）\\ \Delta\neq0,则\alpha=1\\ \Delta=0,则\alpha未知\)

变量代换求函数问题

注意代换回原变量 \(f[\varphi(t)]\neq f(t)\\ f[\varphi(t)]\xlongequal{t=\varphi^{-1}(x)}f[\varphi(\varphi^{-1}(x))]=f(x)\)

预备知识

泰勒展开 \(e^x, a^x,\ln(1+x)\)

\[\frac{1}{1+x} , \frac{1}{1-x}\] \[\sin x, \cos x, \arctan x\] \[(1+x)^\alpha\] \[\tan x, \arcsin x\]

---

\(\begin{array}{l} x_0=0,x\to0时\\ \\ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots+ \frac{x^n}{n !}+\circ(x^n)\\ \\ \mathrm{a}^x=e^{x\ln a}=1+x\ln a+\frac{(x\ln a)^2}{2!}+ \cdots+ \frac{(x\ln a)^n}{n !}+\circ(x^n)\\ \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}+\circ(x^n) \\ \\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\circ(x^n)\\ \\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+ x^n+\circ(x^n)\\ \\ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} +\circ(x^{2n+1})\\ \\ \cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}+\circ(x^{2n})\\ \\ \arctan x =x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots +\frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}+\circ(x^{2n+1})\\ \\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\circ(x^{n})\quad {\color{blue}（\alpha为任意常数，此式可无限展开）} \end{array}\) 记前两项 \(\begin{array}{l} \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\cdots+\frac{B_{2n}(-4)^n\left(1-4^n\right)}{(2n)!}x^{2n-1}+\circ(x^{2n-1}) \\ \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}+\circ(x^{2n+1}) \end{array}\)

数列重要公式 等差、等比求和 \(1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2\) — \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\) \(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\) \(1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

三角函数常用公式 \((\sin^2x,\cos^2x),(\tan^2x, \sec^2x), (\cot^2x, \csc^2x)\) \(\sin2\alpha, \cos2\alpha\) \(\sin(\alpha\pm \beta), \cos(\alpha\pm \beta), \tan(\alpha\pm \beta)\) — \(\begin{array}{lll} \sin^2x+\cos^2x=1 & 1+\tan^2x=\sec^2x & 1+\cot^2x=\csc^2x \\ \\ \sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha &\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ \\ \sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta & \cos(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta & \tan(\alpha\pm \beta)=\frac{\tan\alpha\pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta} \end{array}\)