学情分析#
课程学习意义有限，计算要求少，理解为主，无须深究
考试计算涉及较少，原理覆盖课件全部，都要理解
惯导系统解算方法、误差分析方法、初始对准技术、惯性器件测试技术、惯导系统标定技术、组合导航技术等
重点分析误差对自主导航系统的影响、解决措施和提高导航精度的方法和途径
通过课堂教学和实验教学，使学生能独立完成捷联惯导系统标定、对准和导航解算全过程
导航定义#
定义一：导航是指在某参考系内将运动物体（载体）从起始点引导到目的地的技术或方法
定义二：通过几何学、天文学、无线电信号等任何手段确定或规划船舶、飞机的位置及航线的方法
导航科学与导航方法#
导航科学：确定运动物体相对已知参考系统 的位置、速度和姿态;
导航方法：由一个地方 到另一个地方航线的规划与保持,回避障碍并避免碰撞。 也可称为制导、领航或航线规划
导航系统#
狭义：提供位置、速度
广义：提供位置、速度、姿态
注：定位只确定载体的空间位置（不包括速度和姿态），许多导航技术严格来讲是定位技术（根据位置变化率推到速度）
常用导航方法#
惯性导航：陀螺仪和加速度计 积分解算
天文导航：天体的高度角和方位角，利用六分仪或星敏感器确定位置
航标导航
地标导航
视觉导航
仿生导航
重力、地磁导航：重力场和磁场在不同经纬度有细微差异
无线电导航：无线电波从发射塔（或卫星）传到接收机的时间差解算
导航的分类#
观测法：航标、天文、无线电等
推算法：惯性导航
自主导航定义：不依赖地面支持,载体完全依靠自身携带的测量设备，实时地完成导航任务，和外界不发生任何光、电联系
自主导航：惯性导航、天文导航、卫星导航（准自主导航）
非自主导航：…
注：自主导航≠推算法，关键在于是否依赖“人工辐射源”
惯性导航系统#
组成：加速度计（加速度）、陀螺仪（角速度）、导航计算机
平台式惯导系统（昂贵，高精尖）：万向架结构，陀螺仪为加速度计提供指向稳定的基座（机械式、光学、MEMS微电机）
$\star$ 捷联式惯导系统（便宜，简单）：固定结构，实时计算出一个“数学平台”
惯导系统的优缺点#
优点：隐蔽性、抗干扰、全时段、连续性、更新率高、稳定性
缺点：累积误差、对准时间长、价格高、不能给出时间信息
欧拉角核心原理#
1. 欧拉角旋转的本质#
欧拉角用 3 次有顺序的单轴旋转 描述三维姿态。旋转顺序是定义的一部分；即使三个角数值相同，顺序不同，最终姿态通常也不同，因为三维旋转一般不满足交换律：
$$ R_aR_b \ne R_bR_a. $$2. ZYX 旋转顺序及矩阵#
三个基本旋转矩阵为：
$$ C_{i}^{j}(z_i,\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ $$ C_i^j(y_i,\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} $$ $$ C_i^j(x_i,\theta)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$ZYX 姿态矩阵为：
$$ R=R_z(\psi)R_y(\theta)R_x(\phi). $$- 内禀 ZYX 顺序，从左到右作用与基
- 矩阵乘法从右向左作用于向量
3. 角度正负约定#
正角遵循右手定则：右手拇指指向旋转轴正方向，四指弯曲方向即为正旋转方向。
在右手系中，沿某轴的正方向朝原点看，正旋转表现为逆时针。例如：
- $\phi>0$ ：绕 $+X$ 轴正转；
- $\theta>0$ ：绕 $+Y$ 轴正转；
- $\psi>0$ ：绕 $+Z$ 轴正转。
若改用被动旋转、行向量、左手坐标系或不同轴定义，矩阵形式与角度符号会改变。
4. 万向节死锁：几何与数学原因#
在 ZYX 顺序中，当$ \theta=\pm\frac{\pi}{2} $ 时，第一转的偏航轴与第三转的滚转轴重合。原本独立的两个旋转自由度变成绕同一条轴旋转，因此只剩两个可独立控制的瞬时方向。
物体本身并没有失去旋转自由度；失效的是这组欧拉角坐标对姿态的局部描述能力。旋转轴重合，无法确定唯一旋转角。
三个基本坐标变换公式#
基本旋转：仅绕一根坐标轴的旋转称为基本旋转。
$$ C_{i}^{j}(z_i,\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ $$ C_i^j(y_i,\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} $$ $$ C_i^j(x_i,\theta)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$记：1行下面均为正，1行上面存负，$\cos$ 均为正
坐标变换的性质#
坐标变换（矢量不变） $\neq$ 矢量变换(坐标系不变)
$C_i^j(Z_i,\theta)$ 表示由$i$ 系转到$j$ 系
方向角 $\theta$ 正向为右手握指时的四指方向（大拇指为坐标轴正向）
$C_1^2 \neq C_2^1$
$C_i^j$ 为单位正交矩阵，有$C_1^2 = (C_2^1)^T = (C_2^1)^{-1}$
复杂的坐标变换都可以分解为有限次基本旋转的组合。
小角度旋转坐标变换#
- 当旋转角度不是小角度时，坐标转换的顺序不同，结果也不同，称为大角度转动的不可交换性。
什么样的角度是小角度？
$$ \Delta\theta \rightarrow 0 $$ $$ \cos\Delta\theta \cong 1 $$注意：角度的单位是弧度，不是度。
- 转角是小角度时，坐标转换的公式可以简化，而且坐标变换的结果与转动顺序无关。即小角度转动与旋转次序无关。
小角度坐标变换的一般关系#
设坐标系 $P$ 偏离坐标系 $T$ 的偏离角 $\phi_x$ 、$\phi_y$ 、$\phi_z$ 均为小角，则
$$ C_T^P = \begin{bmatrix} 1 & \phi_z & -\phi_y \\ -\phi_z & 1 & \phi_x \\ \phi_y & -\phi_x & 1 \end{bmatrix} = I - (\phi \times) $$ $$ C_P^T = \begin{bmatrix} 1 & -\phi_z & \phi_y \\ \phi_z & 1 & -\phi_x \\ -\phi_y & \phi_x & 1 \end{bmatrix} = I + (\phi \times) $$反对称阵 $(\phi \times)$ #
其中 $\phi = [\phi_x,\ \phi_y,\ \phi_z]^T$ 的反对称矩阵定义为：
$$ (\phi \times) = \begin{bmatrix} 0 & -\phi_z & \phi_y \\ \phi_z & 0 & -\phi_x \\ -\phi_y & \phi_x & 0 \end{bmatrix} $$说明#
- $C_T^P = I - (\phi \times)$ 与 $C_P^T = I + (\phi \times)$ 互为转置（在无穷小旋转的一阶近似下互为逆矩阵）。
- 上述公式基于小角度近似（$\sin\phi \approx \phi,\ \cos\phi \approx 1$ ），保留一阶项。
- 反对称阵满足 $(\phi \times)^T = -(\phi \times)$ 。
坐标变换的链规则#
复杂的坐标变换都可以分解为有限次基本旋转的组合，变换矩阵等于基本旋转确定的变换矩阵的连乘，连乘顺序依基本旋转的先后次序由右向左排列。
$$ C_1^n = C_{n-1}^n C_{n-2}^{n-1} \cdots C_2^3 C_1^2 $$坐标系之间变换#
坐标原点在一起时，仅坐标变换即可；坐标原点不在一起时，只要它们描述的是同一个物理空间，数学上就一定有确定的平移量（△X,△Y,△Z）和旋转角
地心惯性坐标系（不随地球自转）#
- 原点O：地球质心
- Z轴：指向某一参考历元的地球北极方向
- X轴：指向春分点
- Y轴：右手法则确定，$e_y=e_z\times e_x$
地球坐标系（与地球一同自转）#
地球坐标系和地心惯性坐标系的转换矩阵（默认初始时刻重合）
$$ C_i^e = \begin{bmatrix} \cos \omega_{ie}t & \sin \omega_{ie}t & 0 \\ -\sin \omega_{ie}t & \cos \omega_{ie}t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$地理坐标系#
| 坐标系 | 记号 | 原点 | 轴向定义 |
|---|---|---|---|
| 地球坐标系 | e 系 | 地心 | $X_e$ ：赤道面内指向格林尼治子午线；$Z_e$ ：沿地球自转轴指向北极；$Y_e$ ：按右手系补足 |
| 地理坐标系 | g 系 | 当地测站 | $X_g$ ：指东（East）；$Y_g$ ：指北（North）；$Z_g$ ：指天（Up，当地铅垂线向上） |
从 e 系到 g 系可分解为两次绕轴旋转：
- 先绕 $Z_e$ 轴（地球自转轴）转 $(90^\circ + \lambda)$ ，$\lambda$ 为当地经度
- 再绕旋转后新的 X 轴（东西向轴）转 $(90^\circ - L)$ ，$L$ 为当地纬度
其中基本旋转矩阵为
$$ R_z(\alpha)=\begin{bmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix},\qquad R_x(\beta)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\beta&\sin\beta\\0&-\sin\beta&\cos\beta\end{bmatrix} $$展开后的转换矩阵#
$$ C_e^g=\begin{bmatrix} -\sin\lambda & \cos\lambda & 0\\[4pt] -\sin L\cos\lambda & -\sin L\sin\lambda & \cos L\\[4pt] \cos L\cos\lambda & \cos L\sin\lambda & \sin L \end{bmatrix} $$机体坐标系（此公式暂时不记）#
有不同定义，本课程采用"右前上"的定义
注意：航向角正方向的定义，北偏东、北偏西。
北偏西为正时#
$$ C_b^g = T = \begin{bmatrix} \cos\gamma\cos\psi - \sin\gamma\sin\theta\sin\psi & \cos\theta\cos\psi & \sin\gamma\sin\psi - \cos\gamma\sin\theta\cos\psi\\ \cos\gamma\sin\psi + \sin\gamma\sin\theta\cos\psi & \sin\theta & \sin\gamma\sin\psi - \cos\gamma\sin\theta\cos\psi\\ -\sin\gamma\cos\theta & \sin\theta & \cos\gamma\cos\theta \end{bmatrix} $$矩阵 $C_b^g$ 称为姿态矩阵或捷联矩阵。
$$ \theta_{\text{主}} = \sin^{-1} T_{32}, \quad \gamma_{\text{主}} = \tan^{-1}\left(-\frac{T_{31}}{T_{33}}\right), \quad \psi_{\text{主}} = \tan^{-1}\left(-\frac{T_{12}}{T_{22}}\right) $$ $$ x_g y_g z_g \xrightarrow[\psi]{\text{绕}-z_g\text{轴}} x_1 y_1 z_1 \xrightarrow[\theta]{\text{绕}x_1\text{轴}} x_2 y_2 z_2 \xrightarrow[\gamma]{\text{绕}y_2\text{轴}} x_b y_b z_b \quad\text{(北偏?为正)} $$北偏东为正时#
$$ C_g^b = \begin{bmatrix} \cos\gamma\cos\psi + \sin\gamma\sin\theta\sin\psi & -\cos\gamma\sin\psi + \sin\gamma\sin\theta\cos\psi & -\sin\gamma\cos\theta\\ \cos\theta\sin\psi & \cos\theta\cos\psi & \sin\theta\\ \sin\gamma\cos\psi - \cos\gamma\sin\theta\sin\psi & -\sin\gamma\sin\psi - \cos\gamma\sin\theta\cos\psi & \cos\gamma\cos\theta \end{bmatrix} $$ $$ C_b^g = \begin{bmatrix} \cos\gamma\cos\psi + \sin\gamma\sin\theta\sin\psi & \cos\theta\sin\psi & \sin\gamma\cos\psi - \cos\gamma\sin\theta\sin\psi\\ -\cos\gamma\sin\psi + \sin\gamma\sin\theta\cos\psi & \cos\theta\cos\psi & -\sin\gamma\sin\psi - \cos\gamma\sin\theta\cos\psi\\ -\sin\gamma\cos\theta & \sin\theta & \cos\gamma\cos\theta \end{bmatrix} $$矩阵 $C_b^g$ 称为姿态矩阵或捷联矩阵。
$$ \theta_{\text{主}} = \sin^{-1} T_{32}, \quad \gamma_{\text{主}} = \tan^{-1}\left(-\frac{T_{31}}{T_{33}}\right), \quad \psi_{\text{主}} = \tan^{-1}\left(\frac{T_{12}}{T_{22}}\right) $$矢量的叉乘#
数学矢量的叉乘： 有数学矢量 $r^n = [r_x^n \quad r_y^n \quad r_z^n]^T$ ，$s^n = [s_x^n \quad s_y^n \quad s_z^n]^T$ ，则叉乘后的矢量为 $t^n = r^n \times s^n$ ：
$$ \begin{bmatrix} t_x^n\ t_y^n\ t_z^n \end{bmatrix}#
\begin{bmatrix} 0 & -r_z^n & r_y^n\ r_z^n & 0 & -r_x^n\ -r_y^n & r_x^n & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x^n\ s_y^n\ s_z^n \end{bmatrix}\ =(r^n\times)s^n $$
哥氏定理（会用即可）#
哥氏定理用于描述绝对变化率与相对变化率之间的关系。设有矢量 $r$ ，$m$ 和 $n$ 是两个作相对旋转的坐标系，则哥氏定理可描述为：
$$ \left.\frac{dr}{dt}\right|_m = \left.\frac{dr}{dt}\right|_n + \omega_{mn} \times r $$其中 $\left.\frac{dr}{dt}\right|_m$ 和 $\left.\frac{dr}{dt}\right|_n$ 分别是在 $m$ 坐标系和 $n$ 坐标系内观察到的 $r$ 的时间变化率，$\omega_{mn}$ 是坐标系 $n$ 相对坐标系 $m$ 的旋转角速度。
如果将上式两边的矢量都向 $m$ 坐标系投影，则有：
$$ \dot{r}^m = C_n^m \dot{r}^n + \omega_{mn}^m \times r^m $$其中：
$$ \dot{r}^m = [\dot{r}_x^m \quad \dot{r}_y^m \quad \dot{r}_z^m]^T $$ $$ \dot{r}^n = [\dot{r}_x^n \quad \dot{r}_y^n \quad \dot{r}_z^n]^T $$