惯性器件#
陀螺仪，满足动量矩定理 $M=J\dot{\omega}$
加速度计，满足牛顿第二定理 $F=ma$
轴矢量的方向#
轴矢量： 方向沿转动轴，正负由右手螺旋定则确定。
轴矢量可以按坐标轴分解，满足平行四边形法则
力矩： 右手四指从 $\vec{r}$ 转向 $\vec{F}$ ，拇指所指方向就是 $\vec{M}$ 的方向
角速度： 右手四指为转动方向，拇指为矢量方向
机械转子陀螺仪#
陀螺转子绕自转轴高速旋转，并且其转速近似为常值
按框架数目（自转轴的自由度）：单自由度陀螺，双自由度陀螺
按支承类型：液浮陀螺仪，气浮陀螺仪，磁悬浮陀螺仪
角动量定理（了解即可）#
$$ \vec{M}=\frac{d\vec{H}}{dt} $$进动性： $\vec{M}\neq0$ ，右手四指从自转角动量 $\vec{H}$ 转向外力矩 $\vec{M}$ ，拇指所指方向就是进动角速度 $\vec{\omega}_p$ 的方向。$\vec{H}$ 的增量方向等于$\vec{M}$ 的方向
注：自转角动量方向依照右手定则确定
定轴性： $\vec{M}= 0$ ，自转角动量大小和方向都不变，自转轴方向在惯性空间中固定
光学陀螺仪（测光程差）#
萨格奈克效应（会用即可）：描述了一个闭合光路在旋转时，其中相向传播的两束光会产生相位差，与闭合光路转动角速度成正比，且与光路形状无关
$$ \Delta L=\frac{4S}{c}\Omega $$其中，$\Delta L$ 为光程差，$S$ 为光路围成的面积，$\Omega$ 为角速度，$c$ 为光速
光程差发生改变时，可以通过光学干涉仪观察到干涉条纹图样， 当整个系统旋转时， 条纹图样发生横向移动，由此可以计算旋转角速度
相干性： 两列波的相位关系高度稳定、步调一致，激光相干性极好
干涉： 光通过狭缝（宽度小于等于光波长）时，发生衍射现象，不满足直线传播，子光源由于光程差会发生干涉现象
激光陀螺仪（测频率差）#
增益介质： 自发辐射、受激辐射，筛选满足谐振腔长度等于波长的整数倍的光（光谐振建立速度极快，谐振光即为测频率差的对应波长的光）
频率差为：
$$ \Delta f=\frac{4S}{L\lambda}\Omega=K\Omega $$$L$ 为谐振腔长度，$\lambda$ 激光的真空波长（通常由正反频率取平均得到），$S$ 为谐振腔围成的面积，$K=\frac{4S}{L\lambda}$ 为标度因数
闭锁效应： 环形激光陀螺中，由于反射镜等元件的背向散射，顺时针和逆时针两束光会相互注入。当转速很低、两束光的频率差小于锁定带宽时，它们会被拉到同一频率，拍频消失，陀螺输出为零
锁定带宽： 能让两束光（或振荡器与注入信号）被拉到同一频率的最大频率差
抖动偏频： 给陀螺施加一个已知的高频抖动角速度，使瞬时角速度周期性地 远大于锁区，让陀螺大部分时间处于解锁状态；然后通过解调，把抖动分量扣除，得到真实角速度
光纤陀螺仪（测相位差）#
公式推导
$$ \Delta L = \frac{N \times 4\pi R^2}{c} \Omega = \frac{2RL}{c} \Omega $$ $$ 由 \quad\frac{\Delta L}{\Delta \varphi} = \frac{\lambda}{2\pi} $$ $$ 得 \quad\Delta \varphi = \frac{4\pi RL}{\lambda c} \Omega $$$N$ 为圈数，$L$ 为光纤长度，$R$ 为光纤环半径， $c$ 为光速
其他陀螺仪#
微机械陀螺仪#
微光电陀螺仪#
原子陀螺仪#
加速度计#
$$ f=\frac{F_弹}{m}=a+g $$$a$ 为运动加速度，g为自由引力加速度（表示代数非标量）
$f$ 为比力，测量的是弹簧力对应的加速度，不是运动加速度
地球描述#
地垂线与维度#
- 地理垂线： 参考椭球面的法线
- 天文垂线： 大地水准面的法线，即重力方向/铅垂线
- 地心垂线： 地面点与地心的连线，即地心向径
维度：对应垂线与赤道平面夹角
休拉调谐#
$$ T_s = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.4 \text{ 分钟} $$
平台的物理结构层（由外向内）：基座与环架层、平台台体层（固定惯性器件）、陀螺仪层（内含转子）
休拉调谐原理：将系统自然频率调至 $\sqrt{g/R}$ （周期约84.4分钟），等效于摆长为地球半径的理想摆，使系统对沿地表运动的载体加速度产生“免疫”（无稳态偏差）。
双环协同实现：修正回路（积分加速度算角速度，跟踪地球曲率）通过进动控制实现缓慢修正，稳定回路（隔离高频振动干扰）通过伺服力矩控制实现抗干扰，两者快慢分离，互不矛盾。
转子的核心价值：陀螺仪转子并非“死守”绝对惯性，而是作为极其坚固的抗扰基准，通过力矩器接收指令产生“受控进动”。它既隔离了外界干扰，又让平台精确跟随当地水平面。
惯导基本方程#
$$ \left.\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\right|_i = \left.\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\right|_e + \omega_{ie} \times R $$$$ \left.\frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}t^2}\right|i = \left.\frac{\mathrm{d} V{ep}}{\mathrm{d}t}\right|_i
- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(\omega_{ie}\times R\bigr)\Big|_i $$
其中 $\omega_{ie}$ 为常数，$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\omega_{ie}}{\mathrm{d}t}\right|_i=0$ ，于是
$$ \left.\frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}t^2}\right|i = \left.\frac{\mathrm{d}V{ep}}{\mathrm{d}t}\right|_i
- \omega_{ie}\times\left.\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\right|_i $$
而 $V_{ep}$ 通常在导航（平台/载体）坐标系 $p$ 内分解：
$$ \left.\frac{\mathrm{d}V_{ep}}{\mathrm{d}t}\right|_i = \left.\frac{\mathrm{d}V_{ep}}{\mathrm{d}t}\right|_p + \omega_{ip}\times V_{ep} $$$$ \left.\frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}t^2}\right|i = \left.\frac{\mathrm{d}V{ep}}{\mathrm{d}t}\right|_p
- \omega_{ip}\times V_{ep}
- \omega_{ie}\times\bigl(V_{ep}+\omega_{ie}\times R\bigr) $$
由角速度合成定理 $\omega_{ip}=\omega_{ie}+\omega_{ep}$
$$ \boxed{ \left.\frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}t^2}\right|i = \left.\frac{\mathrm{d}V{ep}}{\mathrm{d}t}\right|_p
- (2\omega_{ie}+\omega_{ep})\times V_{ep}
- \omega_{ie}\times(\omega_{ie}\times R) } $$
$$ \begin{bmatrix} \dot{V}_x^p \ \dot{V}_y^p \ \dot{V}_z^p \end{bmatrix}#
\begin{bmatrix} f_x^p \ f_y^p \ f_z^p \end{bmatrix}#
\begin{bmatrix} 0 & -(2\omega_{iez}^p + \omega_{epz}^p) & 2\omega_{iey}^p + \omega_{epy}^p \ 2\omega_{iez}^p + \omega_{epz}^p & 0 & -(2\omega_{iex}^p + \omega_{epx}^p) \ -(2\omega_{iey}^p + \omega_{epy}^p) & 2\omega_{iex}^p + \omega_{epx}^p & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_x^p \ V_y^p \ V_z^p \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ -g \end{bmatrix} $$
比力方程的物理意义#
$$ \dot{V}_{ep} = f - (2\omega_{ie} + \omega_{ep}) \times V_{ep} + g $$- $\dot{V}_{ep}$ ：载体对地球的速度在平台系各分量的变换率。
- $f$ ：比力，加速度计的测量值。
- $(2\omega_{ie} + \omega_{ep}) \times V_{ep}$
：包含两部分含义：
- $2\omega_{ie}$ ：地球自转角速度在平台系中的表示。
- $\omega_{ep}$ ：平台系相对地球系的角速度在平台系中的表示。
- $g$ ：正向为天，代数值为$(0,0,-g)^T$
注：
- 只有当加速度计的输出去掉了有害加速度之后，才能积分得到地速。
- 比力方程本质：单纯用比力去掉$g$ 视作加速度不对，这处理了“当前比力怎么表示”，还没有处理“之前积累的速度怎么转换到当前坐标系。