整章主线#
标定的目的：将存在标度因数误差、偏值/漂移和安装失准的惯性器件输出，转换为机体正交坐标系下的比力、角速度或相应增量。
| 标定对象 | 参考激励 | 主要方法 | 求取参数 |
|---|---|---|---|
| 加速度计组合 | 当地重力形成的已知比力 | 十二位置法 + 最小二乘 | $K_A$ 、$\nabla^b$ |
| 陀螺组合刻度矩阵 | 转台已知转角 | 三轴整周正反转，角位置法 | $K_G$ |
| 陀螺组合漂移 | 静止时的地球自转 | 方位相差 $180^\circ$ 的双位置法 | $\varepsilon^b$ |
两组核心补偿公式：
$$ \boxed{\mathbf f^b=K_A\mathbf N_A-\nabla^b} \qquad \boxed{\boldsymbol\omega_{ib}^b=K_G\mathbf N_G-\varepsilon^b} $$每组均有一个 $3\times3$ 矩阵和一个三维偏置向量，即 12个参数；两组共24个线性模型参数。
2. 为什么要区分“坐标”与“正交投影”？#
2.1 三类坐标系#
| 符号 | 含义 | 性质 |
|---|---|---|
| $b$ 系 | 惯组机体坐标系 | 正交坐标系，导航解算需要的参考系 |
| $a$ 系 | 三个加速度计敏感轴构成的轴系 | 实际一般不正交 |
| $g$ 系 | 三个陀螺敏感轴构成的轴系 | 实际一般不正交 |
理想情况下，三根同类敏感轴相互垂直并与机体系重合。实际存在基座加工误差及器件输入轴失准，因此 $a$ 系、$g$ 系通常既不正交，也不与 $b$ 系重合。
2.2 最重要的概念区别#
- 坐标/斜交分量：将矢量按基矢线性组合分解，满足平行四边形法则。
- 正交投影：矢量与某敏感轴单位矢量的点积。
- 传感器测得的是沿敏感轴的正交投影。 在斜轴系中，这些投影值一般不等于该矢量的坐标分量。在正交单位基下，坐标分量与正交投影才相同。
2.3 变换关系：不要把逆矩阵直接替换成转置#
一、 基础前提：基变换与过渡矩阵#
首先定义两个二维坐标系：
- 斜坐标系（非正交系）：基向量为 $[i_a, j_a]$
- 直角坐标系（正交系）：基向量为 $[i_b, j_b]$
1. 基变换公式 将斜坐标系的基，用直角坐标系的基来表示：
$$ [i_a, j_a] = [i_b, j_b] \begin{bmatrix} i_a \cdot i_b & j_a \cdot i_b \\ i_a \cdot j_b & j_a \cdot j_b \end{bmatrix} \quad \text{—— (1)} $$2. 定义过渡矩阵 $P$ 记上述矩阵为过渡矩阵 $P$ （其元素为两组基向量的点乘）：
$$ P = \begin{bmatrix} i_a \cdot i_b & j_a \cdot i_b \\ i_a \cdot j_b & j_a \cdot j_b \end{bmatrix} \quad \text{—— (2)} $$它的转置矩阵为：
$$ P^T = \begin{bmatrix} i_a \cdot i_b & i_a \cdot j_b \\ j_a \cdot i_b & j_a \cdot j_b \end{bmatrix} $$二、 矢量分解的两套逻辑#
对于空间中同一个矢量 $f$ ，根据其分解方式的不同，有两种截然不同的数学表达。
逻辑A：斜交投影（满足平行四边形法则的“真坐标”）#
矢量 $f$ 按照基向量平行分解，得到的系数 $[f_x^a, f_y^a]^T$ 和 $[f_x^b, f_y^b]^T$ 被称为坐标。
$$ f = [i_b, j_b] \begin{bmatrix} f_x^b \\ f_y^b \end{bmatrix} = [i_a, j_a] \begin{bmatrix} f_x^a \\ f_y^a \end{bmatrix} $$将式(1)代入，可推导出两套“坐标”之间的变换公式：
- 正变：
- 逆变换： $ \begin{bmatrix} f_x^a \\ f_y^a \end{bmatrix} = P^{-1} \begin{bmatrix} f_x^b \\ f_y^b \end{bmatrix} = C_b^a \begin{bmatrix} f_x^b \\ f_y^b \end{bmatrix} \quad \text{—— (4)} $
注：式中 $C_a^b = P$ ， $C_b^a = P^{-1}$
逻辑B：正交投影（物理传感器的实际测量值）#
核心重点：加速度计等传感器，其敏感轴只能感受沿自身轴线方向的投影，即正交投影。正交投影的分量（记作带星号的 $f_x^{a*}, f_y^{a*}$ ）不能称为坐标，因为它不满足平行四边形法则。
- 正交投影的定义为基向量与矢量 $f$ 的点乘（内积）： $ f_x^{a*} = i_a \cdot f, \quad f_y^{a*} = j_a \cdot f $
- 将矢量 $f$ 在斜交系下的展开式代入，进行推导： $ f_x^{a*} = [ (i_a \cdot i_b)i_b + (i_a \cdot j_b)j_b ] \cdot f = (i_a \cdot i_b)i_b \cdot f + (i_a \cdot j_b)j_b \cdot f $ $ f_x^{a*} = (i_a \cdot i_b)f_x^{b*} + (i_a \cdot j_b)f_y^{b*} $
（同理推导 $f_y^{a*}$ ）
- 将上述推导写成矩阵形式，得到两套“物理测量值”之间的变换公式：
- 正变换（式5）： $ \begin{bmatrix} f_x^{a*} \\ f_y^{a*} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i_a \cdot i_b & i_a \cdot j_b \\ j_a \cdot i_b & j_a \cdot j_b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_x^{b*} \\ f_y^{b*} \end{bmatrix} = P^T \begin{bmatrix} f_x^{b*} \\ f_y^{b*} \end{bmatrix} \quad \text{—— (5)} $ 注意：这里的变换矩阵是 $P$ 的转置 $P^T$ 。
注：
公式$(C_a^b)^{-1}=(C_a^b)^T$ 只在正交变换中成立
$(C_a^b)^{-1}=C_b^a$
三维空间同理#
$$ f^b=(C_b^a)^Tf^a $$3. 两组线性标定模型（了解即可）#
3.1 加速度计组合#
单轴线性模型：
$$ E_m=K_{m1}(K_{m0}+a_{mi}),\qquad m=X,Y,Z. $$其中 $K_{m1}$ 为单轴标度因数，$K_{m0}$ 为输入等效偏值。将非线性项等忽略后，三轴写为
$$ \mathbf N_A=K_1(\nabla^a+\mathbf f^a),\qquad K_1=\operatorname{diag}(K_{X1},K_{Y1},K_{Z1}). $$先消除单轴标度与偏置，再作投影变换：
$$ \begin{aligned} \mathbf f^b &=(P^T)^{-1}(K_1^{-1}\mathbf N_A-\nabla^a)\\ &=\underbrace{[K_1P^T]^{-1}}_{K_A}\mathbf N_A -\underbrace{(P^T)^{-1}\nabla^a}_{\nabla^b}. \end{aligned} $$因此
$$ \boxed{\mathbf f^b=K_A\mathbf N_A-\nabla^b},\qquad K_A=[K_1(C_a^b)^T]^{-1}. $$3.2 陀螺组合#
单轴模型：
$$ \frac{N_m}{K_m}=\omega_{mi}+\varepsilon_m. $$令 $D_G=\operatorname{diag}(K_X,K_Y,K_Z)$ ，为避免与组合矩阵混淆，这里用 $D_G$ 表示课件中的单轴标度因数对角阵。则
$$ \boxed{\boldsymbol\omega_{ib}^b=K_G\mathbf N_G-\varepsilon^b} $$ $$ K_G=[D_G(C_g^b)^T]^{-1},\qquad \varepsilon^b=[(C_g^b)^T]^{-1}\varepsilon^g. $$4. 加速度计：重力激励 + 十二位置法#
4.1 参考比力从哪里来？#
惯组在转台上静止，利用当地重力和已知姿态，确定各机体轴上的比力输入。
初始位置 $X_b,Y_b$ 水平、$Z_b$ 指天，有
$$ \mathbf f_0^b=-\mathbf g^n=[0,0,g]^T. $$静止时，加速度计不是输出零；天向轴理想比力为 $+g$ 。
课件的转台顺序为：外环 $\psi$ → 中环 $\theta$ → 内环 $\gamma$ ，对应
$$ C= \begin{bmatrix} \cos\gamma&0&-\sin\gamma\\ 0&1&0\\ \sin\gamma&0&\cos\gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&\sin\theta\\ 0&-\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\psi&\sin\psi&0\\ -\sin\psi&\cos\psi&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}. $$于是新位置的参考比力为
$$ \mathbf f_{\mathrm{new}}^b=C\mathbf f_0^b =g\begin{bmatrix} -\sin\gamma\cos\theta\\ \sin\theta\\ \cos\gamma\cos\theta \end{bmatrix}. $$该式使用课件的轴定义与转动顺序，不能直接套用其他教材的欧拉角约定。
4.2 十二位置如何组成？#
每根机体轴分别指天、指地，得到6种基本朝向；每种朝向再绕竖直轴转 $180^\circ$ ，得到一对位置，共12个。
| 位置号 | $f_X^b/g$ | $f_Y^b/g$ | $f_Z^b/g$ |
|---|---|---|---|
| 1、2 | 0 | 0 | +1 |
| 3、4 | 0 | 0 | -1 |
| 5、6 | 0 | +1 | 0 |
| 7、8 | 0 | -1 | 0 |
| 9、10 | +1 | 0 | 0 |
| 11、12 | -1 | 0 | 0 |
同一对位置理想比力相同；绕竖直轴转 $180^\circ$ 是为了抵消或减小转台水平误差的影响。
4.3 最小二乘怎么列式？#
以机体系 $X$ 轴为例，第 $k$ 个位置满足
$$ f_{Xk}^b=K_{A11}N_{Xk}+K_{A12}N_{Yk}+K_{A13}N_{Zk}-\nabla_X^b. $$定义
$$ \mathbf x_X= \begin{bmatrix}K_{A11}&K_{A12}&K_{A13}&\nabla_X^b\end{bmatrix}^T, \quad H_k=\begin{bmatrix}N_{Xk}&N_{Yk}&N_{Zk}&-1\end{bmatrix}. $$将 $n$ 个位置的数据逐行叠加：
$$ \mathbf y_X=H\mathbf x_X,\qquad \boxed{\hat{\mathbf x}_X=(H^TH)^{-1}H^T\mathbf y_X}. $$$Y$ 、$Z$ 两轴同理，分别求出 $K_A$ 的另两行及对应偏值。
4.4 如何检查标定误差？#
$$ \boxed{\delta\mathbf f=(\hat K_A\mathbf N_A-\hat\nabla^b)-\mathbf f_{\mathrm{ideal}}^b} $$课件用标定参数处理每秒采样数据，再减去各轴理想比力。检查残差时，采样数据的求和/平均口径和单位必须与标定时一致。
5. 陀螺刻度矩阵：角位置法 + 正反转#
5.1 为什么不能直接用转台角速率？#
陀螺感受的是机体相对惯性空间的角速度，包括转台运动和地球自转：
$$ \boxed{\boldsymbol\omega_{ib}^b=C_p^bC_n^p\boldsymbol\omega_{ie}^n+\boldsymbol\omega_{pb}^b}. $$- $\boldsymbol\omega_{pb}^b$ ：转台台面相对基座的角速度。
- $C_p^bC_n^p\boldsymbol\omega_{ie}^n$ ：地球自转在机体系下的投影。
- 基座固定于地面，其相对地球的角速度为0。
例如转台速率为 $10^\circ/\mathrm{s}$ ，地球自转约 $15^\circ/\mathrm{h}$ ，忽略地球自转的相对误差量级为
$$ \eta\approx\frac{15/3600}{10}\approx4\times10^{-4}. $$这对惯性级标定通常不能忽略。此外，转台瞬时角速率精度也可能不足。
5.2 从角速率模型转到积分模型#
在试验时段 $T$ 内积分：
$$ \underbrace{\int_0^T\boldsymbol\omega_{ib}^b\,dt}_{\boldsymbol\Omega^b} =K_G\underbrace{\int_0^T\mathbf N_G\,dt}_{\mathbf N_{\Sigma G}} -\underbrace{\int_0^T\varepsilon^b\,dt}_{\boldsymbol\Theta^b}. $$若漂移近似恒定，$\boldsymbol\Theta^b=\varepsilon^bT$ 。短时转动试验先忽略漂移时：
$$ \boldsymbol\Omega^b\approx K_G\mathbf N_{\Sigma G}. $$使用累计转角，可降低对转台瞬时速率精度的依赖。积分、求和或平均的形式可以相互换算，但方程两端必须同步处理。
5.3 正反转怎样抵消地球自转？#
| 方法 | 数据处理 | 主要条件/限制 |
|---|---|---|
| 角速率法 | 同一轴正反转，取相应速率数据之差 | 正反转速率大小相同，速率平稳性一致 |
| 角位置法 | 对正反转全过程累计输出，再相减 | 启停角位置指向相同、正反转采集时间相等，并使地球自转累计项相匹配 |
课件优先采用角位置法的整周正反转。采集范围包括启动前、停止后的一小段静止过程。
令正反转累计输出分别为 $\mathbf S^+$ 、$\mathbf S^-$ ，参考转角分别为 $+\alpha\mathbf e_j$ 、$-\alpha\mathbf e_j$ ，则
$$ \Delta\mathbf S_j=\mathbf S^+-\mathbf S^-,\qquad \boxed{2\alpha\mathbf e_j=K_G\Delta\mathbf S_j}. $$正转 $360^\circ$ 减去反转 $-360^\circ$ ，参考转角为 $720^\circ$ ，不是 $360^\circ$ 。 若改用半差，输出和参考转角必须同时除以2。
理解补充：正反转相减能抵消的是两次试验中相同的累计项；不能仅凭“转角一样”就认为任何正反转轨迹都能完全抵消地球自转。漂移稳定且两段时间相等时，常值漂移累计项也可在差分中抵消。
5.4 为什么要绕三个独立轴转动？#
$K_G$ 有9个未知元素，每组独立转动提供3个方程，因此至少需要3组不相关的转动激励，通常分别绕 $X_b,Y_b,Z_b$ 轴进行正反转。
由三组差分数据组成
$$ S=\begin{bmatrix}\Delta\mathbf S_X&\Delta\mathbf S_Y&\Delta\mathbf S_Z\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}720^\circ\mathbf e_X&720^\circ\mathbf e_Y&720^\circ\mathbf e_Z\end{bmatrix}. $$则
$$ B=K_GS,\qquad \boxed{K_G=BS^{-1}}\quad(\operatorname{rank}(S)=3). $$这是由课件标定方程整理出的矩阵求解形式；转角改用弧度时，将 $720^\circ$ 换成 $4\pi$ 。
5.5 为什么漂移另行标定？#
例：漂移 $0.1^\circ/\mathrm h$ ，试验36秒，累计角误差为
$$ 0.1\times\frac{36}{3600}^\circ=0.001^\circ=3.6'' $$该量级与转台角位置精度相当，短时转动数据不适合精确估计微小漂移。因此采用“短时转动标刻度矩阵，长时静止测漂移”的分步思路。能否忽略漂移仍须结合精度要求判断。
6. 陀螺漂移：双位置测漂法#
6.1 地球自转在两个方位的投影#
采用东–北–天导航坐标系，当地纬度为 $L$ ：
$$ \boldsymbol\omega_{ie}^n= \begin{bmatrix}0\\\omega_{ie}\cos L\\\omega_{ie}\sin L\end{bmatrix}. $$惯组保持水平，初始方位角为 $\psi_0$ 。方位转动 $180^\circ$ 前后：
$$ \boldsymbol\omega_0^b= \begin{bmatrix} \omega_{ie}\cos L\sin\psi_0\\ \omega_{ie}\cos L\cos\psi_0\\ \omega_{ie}\sin L \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\omega_{180}^b= \begin{bmatrix} -\omega_{ie}\cos L\sin\psi_0\\ -\omega_{ie}\cos L\cos\psi_0\\ \omega_{ie}\sin L \end{bmatrix}. $$水平分量反号，天向分量不变。
6.2 两位置取平均，解出漂移#
用两个位置的静止平均输出 $\bar{\mathbf N}_{G0}$ 、$\bar{\mathbf N}_{G180}$ ：
$$ \boldsymbol\omega_0^b=K_G\bar{\mathbf N}_{G0}-\varepsilon^b, \qquad \boldsymbol\omega_{180}^b=K_G\bar{\mathbf N}_{G180}-\varepsilon^b. $$相加后可得
$$ \boxed{ \varepsilon^b= \frac12K_G(\bar{\mathbf N}_{G0}+\bar{\mathbf N}_{G180}) -\begin{bmatrix}0\\0\\\omega_{ie}\sin L\end{bmatrix} }. $$因此，双位置平均后，仍要扣除天向地球自转分量，不能将三轴平均结果全当成漂移。测量期间应保持漂移近似稳定，测量时间根据器件精度等级选择。
7. 考前自测：八个核心问题#
- 为什么不能把斜轴系读数直接当成坐标？ 传感器输出是沿敏感轴的正交投影，斜基坐标是线性分解系数，二者一般不同。
- 标定到底求什么？ $K_A,\nabla^b,K_G,\varepsilon^b$ ，补偿后输出机体系下的比力与角速度。
- 加速度计为什么能用重力标定？ 静止时已知当地重力，转台姿态决定它在各机体轴上的比力分量。
- 每轴四个未知数为何不能随便选四个位置？ 必须保证设计矩阵满列秩；重复或相关激励不够。
- 陀螺为什么采用角位置法？ 用累计转角降低对瞬时速率精度的依赖，再以匹配的正反转差分抵消地球自转影响。
- 正反转各一周的差分参考角是多少？ $720^\circ=4\pi\,\mathrm{rad}$ 。
- 双位置测漂能消除全部地球自转吗？ 只能在平均中消除水平分量；仍要扣除 $\omega_{ie}\sin L$ 的天向分量。
- 最容易导致数量级错误的处理是什么？ 将增量当速率、重复乘采样周期，或混用度/弧度、小时/秒、$g$ /国际单位。