1. 全章主线与基本概念#
天文导航：以空间位置已知的自然天体为基准，通过光学仪器被动观测，经解算获得载体的导航信息。
本章有两条主线：
- 定位：观测天体 → 建立位置面 → 多个位置面相交 → 求位置。
- 定姿：观测并识别恒星 → 得到同一星光矢量在两个坐标系中的表示 → 求姿态变换。
1.1 已知量、观测量与待求量#
| 类别 | 内容 |
|---|---|
| 已知量 | 天文年历给出的天体位置；恒星方向；近天体半径等 |
| 观测量 | 两天体视线夹角、近天体视直径角、掩星事件、星点像平面坐标等 |
| 待求量 | 航天器位置或姿态 |
| 常见仪器 | 地球敏感器、太阳敏感器、星敏感器 |
航天器自主天文导航主要分为纯天文几何解析法和基于轨道动力学的方法；本课件重点讲前者。
1.2 为什么定姿看恒星，定位还要看近天体？#
- 远天体（恒星）：在本章模型下距离视为无穷大，星光方向可视为固定方向。航天器平移时，两颗恒星之间的夹角基本不变，不能据此确定位置。
- 近天体：太阳系天体，如太阳、地球、月球等。航天器位置改变时，近天体与恒星之间的视线夹角会改变，因此能提供位置约束。
- 关键区别：恒星方向提供姿态参考；近天体观测引入与距离、位置有关的几何信息。
1.3 本章几何模型的假设（第 7 页）#
- 观测时刻的天体位置可由天文年历确定；近天体视为半径已知的球体。
- 恒星距离视为无穷大；课件同时将光速视为无穷大，即此处忽略光传播时延。
- 理想观测模型假定仪器能反映并精确测量运动状态的变化；后续求解再考虑测量误差。
2. 位置面与四种典型测量#
2.1 位置面的定义（第 6 页）#
当某个被测参数取给定常值时，航天器所有可能位置构成的曲面，称为位置面。
单次测量一般只能把位置限制在一个面上；多个独立位置面组合，才能进一步约束空间位置。即使获得三个位置面，也可能存在多个交点，需要先验信息消除模糊解。
2.2 四类位置面速记（第 8—14 页）#
| 测量方式 | 观测内容 | 位置面 | 几何特征 |
|---|---|---|---|
| 近天体 / 飞行器 / 远天体 | 近天体中心与恒星的视线夹角 | 圆锥面 | 顶点在近天体中心，轴线平行于恒星方向 |
| 近天体 / 飞行器 / 近天体 | 两个近天体中心的视线夹角 | 超环面 | 定角圆弧绕两近天体连线旋转形成 |
| 近天体视角测量 | 近天体的视直径角 | 球面 | 球心为近天体中心，半径为航天器到该中心的距离 |
| 掩星测量 | 恒星恰好被近天体边缘遮挡或重新出现 | 圆柱面 | 轴线通过近天体中心、平行于恒星方向；直径等于近天体直径 |
记忆顺序：近远角 → 锥；近近角 → 环；视直径 → 球；掩星 → 柱。
2.3 近天体—恒星夹角：圆锥面#
定义：
- $\mathbf r$ ：近天体中心指向航天器的位置矢量，$r=\|\mathbf r\|$ 。
- $\mathbf i$ ：指向恒星的单位矢量，由天文年历确定。
- $\theta$ ：航天器处测得的“近天体中心—恒星”视线夹角。
航天器看向近天体的方向为 $-\mathbf r/r$ ，故：
$$ \left(-\frac{\mathbf r}{r}\right)\cdot\mathbf i=\cos\theta $$即课件第 10 页的核心方程（原文用 $A$ 表示观测角）：
$$ \boxed{\mathbf r\cdot\mathbf i=-r\cos\theta} $$负号来自矢量方向相反。 若改用补角 $\beta=\pi-\theta$ ，令 $\mathbf u=\mathbf r/r$ ，则：
$$ \boxed{\mathbf u\cdot\mathbf i=\cos\beta} $$角度辨析：第 18 页采用的是观测角的补角，因此公式变为正号。第 9 页将 $180^\circ-\theta$ 称为圆锥“顶角”；按上述矢量定义，它实际对应母线与所选正轴方向的夹角。做题以矢量方程和角度定义为准，避免混用顶角与半顶角。
2.4 两近天体夹角：超环面#
以近天体 $P_1$ 为参考点，定义：
- $\mathbf r_P=\overrightarrow{P_1P_2}$ ，$d=\|\mathbf r_P\|$ 。
- $\mathbf r=\overrightarrow{P_1V}$ ，$r=\|\mathbf r\|$ 。
- $\theta=\angle P_1VP_2$ ：航天器处的观测夹角。
两条观测视线分别为 $-\mathbf r$ 与 $\mathbf r_P-\mathbf r$ ，所以：
$$ \mathbf r\cdot(\mathbf r-\mathbf r_P) =r\|\mathbf r-\mathbf r_P\|\cos\theta $$整理得：
$$ \boxed{\mathbf r\cdot\mathbf r_P =r^2-r\|\mathbf r-\mathbf r_P\|\cos\theta} $$在包含 $P_1,P_2,V$ 的平面内，定角轨迹为圆弧，其所在圆的半径为：
$$ \boxed{R=\frac{d}{2\sin\theta}} $$该圆弧绕 $P_1P_2$ 连线旋转，形成课件所称的超环面。
理解补充：课件给出圆心到连线的距离 $L=R\cos\theta$ ；若 $L$ 表示非负距离，一般写为 $L=R|\cos\theta|$ 。旋转轨迹还应保留满足原观测角的圆弧分支。
2.5 近天体视角：球面#
近天体直径为 $D$ ，观测到的完整视直径角为 $\theta$ ，航天器到近天体中心的距离为 $Z$ ：
$$ \sin\frac{\theta}{2}=\frac{D/2}{Z} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{Z=\frac{D}{2\sin(\theta/2)}} $$- 固定视直径角确定固定中心距离，因此位置面是球面。
- $Z$ 是到天体中心的距离，不是距表面的高度。 球形模型下，高度为 $h=Z-D/2$ 。
- 按课件的适用范围，这种方法用于接近近天体时的末端导航。
2.6 掩星：圆柱面#
在恒星刚好被近天体边缘遮挡或重新出现的临界时刻，星光视线与近天体球面相切。
- 圆柱轴线：通过近天体中心，平行于恒星视线。
- 圆柱半径：近天体半径。
- 课件将其用于末端导航。
理解补充：圆柱面对应“恰好发生遮挡”的边界约束；仅知道恒星处于被遮挡状态，不能直接得到圆柱面上的精确位置。
3. 利用位置面进行定位#
3.1 三次观测与模糊解（第 15—16 页）#
课件示例：
- 观测太阳与恒星 1 的夹角，得到圆锥面。
- 观测太阳与恒星 2 的夹角，得到另一个圆锥面。
- 观测太阳与地球的夹角，得到超环面。
联立三个位置面方程求航天器位置。但交点可能不止一个，形成模糊解。
消歧方法：使用先验近似位置和运动信息，选择符合实际运动、接近预估位置的解。
3.2 六次观测的几何解析法（第 17—22 页）#
核心思想：先求两个近天体各自指向航天器的方向，再由两条位置线求位置。
两组观测需对应同一定位时刻：
- 第 1 组：近天体 1 与三颗恒星的夹角 → 三个圆锥面 → 一条位置线。
- 第 2 组：近天体 2 与三颗恒星的夹角 → 另一条位置线。
- 无误差且几何条件合适时，两条位置线相交于航天器位置。
第一步：求单位方向矢量#
记 $\mathbf u_e$ 为近天体 1 指向航天器的单位矢量，$\mathbf s_1,\mathbf s_2,\mathbf s_3$ 为三颗恒星的已知单位方向矢量。
令观测角为 $\theta_j$ ，补角为 $\beta_j=\pi-\theta_j$ ，则：
$$ \mathbf u_e\cdot\mathbf s_j=\cos\beta_j, \qquad j=1,2,3 $$写成矩阵形式：
$$ \underbrace{\begin{bmatrix} \mathbf s_1^T\\ \mathbf s_2^T\\ \mathbf s_3^T \end{bmatrix}}_{S}\mathbf u_e =\begin{bmatrix} \cos\beta_1\\\cos\beta_2\\\cos\beta_3 \end{bmatrix} $$在 $S$ 可逆时，解得 $\mathbf u_e$ 。对第二组同样求出 $\mathbf u_m$ 。
理解补充：该矩阵式是课件三个点积方程的合并写法；三颗恒星的方向须满足相应独立性条件。实际含噪数据还应注意单位长度约束。
第二步：建立两条位置线#
设两个近天体的已知位置为 $\mathbf R_e,\mathbf R_m$ ，航天器位置为 $\mathbf r$ ，对应距离为 $\rho_1,\rho_2$ ：
$$ \mathbf r=\mathbf R_e+\rho_1\mathbf u_e $$ $$ \mathbf r=\mathbf R_m+\rho_2\mathbf u_m $$两式相减：
$$ \boxed{\rho_1\mathbf u_e-\rho_2\mathbf u_m =\mathbf R_m-\mathbf R_e} $$方向必须统一：$\mathbf u_e,\mathbf u_m$ 均由近天体指向航天器。
第三步：用最小二乘法求距离#
定义：
$$ A_c=\begin{bmatrix}\mathbf u_e&-\mathbf u_m\end{bmatrix}, \quad \boldsymbol\rho=\begin{bmatrix}\rho_1\\\rho_2\end{bmatrix}, \quad \mathbf b=\mathbf R_m-\mathbf R_e $$于是 $A_c\boldsymbol\rho=\mathbf b$ 。这是 3 个标量方程、2 个未知量。
- 理想情况下，两条位置线相交，可用两个独立的分量方程求距离。
- 有测量误差时，两条位置线一般不相交，使用全部三个分量做最小二乘估计：
令 $c=\mathbf u_e\cdot\mathbf u_m=\cos\phi$ ，其中 $\phi$ 为两条单位方向矢量的夹角，则：
$$ A_c^TA_c= \begin{bmatrix}1&-c\\-c&1\end{bmatrix} $$ $$ \boxed{ \hat{\boldsymbol\rho} =\frac{1}{\sin^2\phi} \begin{bmatrix}1&\cos\phi\\\cos\phi&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf u_e^T\\-\mathbf u_m^T\end{bmatrix} (\mathbf R_m-\mathbf R_e) } $$第四步：恢复位置，检查几何条件#
无误差时：
$$ \boxed{\mathbf r =\mathbf R_e+\rho_1\mathbf u_e =\mathbf R_m+\rho_2\mathbf u_m} $$理解补充： 有误差时，两侧回代得到的点通常不同，不能继续当成严格相等。等权几何处理中，可取两条位置线上最近点的中点作为位置估计：
$$ \hat{\mathbf r}=\frac12\left[ (\mathbf R_e+\hat\rho_1\mathbf u_e) +(\mathbf R_m+\hat\rho_2\mathbf u_m) \right] $$还需检查距离解是否符合正向射线的物理意义。由分母 $\sin^2\phi$ 可知：
- $\phi\to0$ 或 $\phi\to\pi$ ：两线接近平行或反平行，误差敏感，定位几何条件差。
- $\sin\phi=0$ ：矩阵不可逆，无法用该式唯一求出距离。
解题顺序：夹角 → 方向 → 位置线 → 最小二乘求距离 → 回代求位置。
4. 星敏感器与姿态确定#
4.1 星敏感器是什么？（第 23—24 页）#
星敏感器（star sensor / star tracker）是探测恒星辐射、测量航天器相对于恒星方位的光学姿态敏感器。
- 恒星张角小，可获得很高的姿态测量精度。
- 星光弱，需要 CCD、APS 等高灵敏度图像传感器。
- 完成观测、识别与解算后，可输出三轴姿态，常表示为姿态矩阵、四元数或欧拉角。
4.2 工作流程（第 24—27 页）#
拍摄星图 → 信号处理与星点提取 → 星图识别（匹配导航星库）→ 姿态计算 → 姿态输出。
三个步骤的区别：
| 步骤 | 解决的问题 | 主要结果 |
|---|---|---|
| 星点提取 | 星点位于图像何处？ | 像平面坐标 |
| 星图识别 | 观测到的是哪颗恒星？ | 与星库匹配，获得该星赤经、赤纬 |
| 姿态计算 | 航天器相对参考系如何旋转？ | 姿态矩阵等 |
4.3 星点位置：重心法（第 25 页）#
在单个星点的图像区域 $\Omega$ 内，以灰度 $I(x,y)$ 为权重：
$$ \boxed{x_u=\frac{\iint_\Omega xI(x,y)\,dx\,dy} {\iint_\Omega I(x,y)\,dx\,dy}} $$ $$ \boxed{y_u=\frac{\iint_\Omega yI(x,y)\,dx\,dy} {\iint_\Omega I(x,y)\,dx\,dy}} $$含义：星点位置取其亮度分布的加权中心。
4.4 从像点与星库得到两组方向矢量（第 26 页）#
① 星敏感器坐标系中的单位矢量 $\mathbf W_u$
已知像点 $(x_u,y_u)$ 、主点 $(x_0,y_0)$ 、焦距 $f$ ，按课件的坐标约定：
$$ \boxed{ \mathbf W_u= \frac{1}{\sqrt{(x_u-x_0)^2+(y_u-y_0)^2+f^2}} \begin{bmatrix}x_u-x_0\\y_u-y_0\\f\end{bmatrix} } $$② 惯性参考系中的单位矢量 $\mathbf R_u$
星图识别后，从星库获得该恒星的赤经 $\alpha_u$ 、赤纬 $\delta_u$ ：
$$ \boxed{ \mathbf R_u= \begin{bmatrix} \cos\alpha_u\cos\delta_u\\ \sin\alpha_u\cos\delta_u\\ \sin\delta_u \end{bmatrix} } $$注意：这里的 $\mathbf R_u$ 是恒星单位方向；第 3 节的 $\mathbf R_e,\mathbf R_m$ 则是近天体位置矢量。
4.5 定姿的核心方程#
同一颗恒星的方向在两个坐标系中满足：
$$ \boxed{\mathbf W_u=C\mathbf R_u} $$- $C$ ：将惯性参考系的矢量坐标变换到星敏感器坐标系的姿态矩阵。
- 对多颗已识别恒星，建立 $\mathbf W_i=C\mathbf R_i$ ，进行双矢量或多矢量定姿。
- 作为旋转矩阵，$C$ 应满足 $C^TC=I$ 、$\det C=1$ 。（理解补充）
理解补充： 单颗恒星只约束一条方向，绕该方向的转动仍不确定；理想条件下，两条不平行且已正确识别的星光方向即可定姿，多颗恒星可提供冗余。课件前文采用“三颗或以上恒星”的观测表述，第 26 页也明确列出双矢量与多矢量定姿。
若将结果解释为航天器本体姿态，还需结合星敏感器与本体之间的安装关系。课件未展开具体双矢量、多矢量算法，本笔记保留其核心观测方程。
5. 易错点与考前自测#
5.1 易错点清单#
- 定姿不等于定位：恒星方向可定姿，但在本章远天体模型下，恒星间夹角不能独立提供位置。
- 圆锥公式的正负号取决于方向和角度定义：观测角对应 $-\cos\theta$ ，其补角对应 $\cos\beta$ 。
- “三次测量”不保证唯一解：还要看位置面交点与先验信息。
- 视角公式用完整视直径角：$Z=D/[2\sin(\theta/2)]$ ，不要漏掉半角。
- 视角测量所得是中心距离：表面高度需再减天体半径。
- 掩星圆柱面是临界边界：遮挡状态本身不等于精确的切线约束。
- 两线有误差时一般不相交：用最小二乘法估计，回代两侧不再严格相等。
- 最小二乘式有可逆条件：两方向平行或反平行时退化；任取两个分量也须独立。
- $\mathbf W=C\mathbf R$ 有明确变换方向：反向变换使用 $C^T$ 。
- 星图识别先于姿态解算：必须先建立观测星与星库恒星的正确对应。
5.2 自测题与答案要点#
| 自测题 | 答案要点 |
|---|---|
| 什么是位置面？ | 测量参数为给定常值时，航天器可能位置构成的曲面。 |
| 四类位置面分别是什么？ | 近远角为锥，近近角为环，视直径为球，掩星临界为柱。 |
| 为什么纯恒星夹角不能用于本章模型下的定位？ | 恒星视为无穷远，航天器平移不改变恒星间夹角。 |
| 三位置面定位为什么可能有模糊解？ | 曲面可能有多个交点；用先验位置与运动信息筛选。 |
| 六次观测法为什么先求方向再求距离？ | 每组近天体—恒星夹角确定一条位置线，两条线共同确定距离和位置。 |
| 为什么使用最小二乘？何时几何条件差？ | 测量误差使两位置线不相交；两方向接近平行或反平行时条件差。 |
| 星敏感器如何得到三轴姿态？ | 提取星点、匹配星库，构造两坐标系下的方向矢量，用 $\mathbf W_i=C\mathbf R_i$ 求旋转关系。 |
5.3 最后一分钟速记#
定位： 天文年历给已知基准，观测给位置面；多个位置面求交，先验信息消歧。
四面： 锥、环、球、柱。
几何解析： 六次观测分两组，先得两方向，再用最小二乘求距离、回代求位置。
定姿： 星点提取 → 星图识别 → 两系矢量 → $\mathbf W=C\mathbf R$ 。
课件回查索引#
| 内容 | PDF 页码 |
|---|---|
| 概述、恒星与近天体的作用 | 2—5 |
| 位置面、模型假设 | 6—8 |
| 四类典型位置面及公式 | 9—14 |
| 三次观测与模糊解 | 15—16 |
| 六次观测、两位置线、最小二乘 | 17—22 |
| 星敏感器原理与姿态算法 | 23—27 |
| 课件小结 | 28 |