1. 本章主线与速记#
已知卫星位置 + 测量卫星到接收机的伪距 → 同时求解接收机三维坐标和钟差。
| 核心问题 | 必须掌握的结论 |
|---|---|
| 卫星导航怎样定位？ | 根据已知卫星位置和信号观测量，用空间交会确定用户位置。 |
| GPS由什么组成？ | 空间部分、地面控制部分、用户设备部分。 |
| 为什么叫“伪距”？ | 实测距离包含钟差等误差，不等于真实几何距离。 |
| 为什么通常至少需要4颗卫星？ | 同时求解4个未知数：$x,y,z,\Delta t_r$ 。 |
| 怎样解定位方程？ | 非线性方程先线性化，再解算并迭代；多于4颗卫星时用最小二乘法。 |
2. 卫星导航的基本思想（第2–4页）#
2.1 多普勒效应与早期定位思想#
卫星与接收机存在相对径向运动时，接收频率与发射频率不同：
- 卫星接近：接收频率升高。
- 瞬时径向速度为零：频移为零；课件以卫星经过观测站上空为例。
- 卫星远离：接收频率降低。
已知地面站位置，测量多普勒频移，可以推求卫星轨道；反过来，已知卫星轨道，测量多普勒频移，可以推求接收机位置。
注意区分：多普勒频移反映相对径向运动；本章后半部分的GPS伪距定位主要通过信号传播时间测距，两者不能直接混为同一种测量。
2.2 四大全球卫星导航系统#
| 国家或地区 | 系统 |
|---|---|
| 美国 | GPS |
| 俄罗斯 | GLONASS |
| 中国 | BDS（北斗） |
| 欧盟 | Galileo |
3. GPS系统组成（第5–10页）#
GPS卫星向地面发射L波段无线电信号，用户接收并处理信号，确定接收机天线的位置。
3.1 三大组成及分工#
| 部分 | 主要组成 | 核心作用 |
|---|---|---|
| 空间部分 | GPS卫星星座 | 发射测距信号和导航电文。 |
| 地面控制部分 | 监测站、主控站、注入站 | 监测卫星轨道与时钟，计算改正信息，更新导航电文。 |
| 用户设备部分 | GPS接收机及相关设备 | 接收、跟踪、变换和测量信号，处理观测量，完成定位。 |
地面控制流程：
监测站观测 → 主控站处理并编算导航电文 → 注入站上传 → 卫星播发 → 用户接收。
接收机主要组成：天线、接收机、处理器、控制显示单元、电源。
3.2 星座参数：按课件口径记忆#
- 课件第7页：24颗卫星，其中3颗备用，6个轨道面。
- 轨道倾角：55°；轨道面升交点赤经间隔：60°。
- 相邻轨道卫星升交距角相差：30°。
- 平均轨道高度：约 20 200 km。
- 运行周期：约 11 h 58 min。
- 同一测站的卫星分布近似每日重复，每天提前约 4 min。
课件同时在第6页注明“截至2023年7月3日，31颗卫星在运行”。这是与第7页不同的时间或配置口径，复习时不要把两组数量混用。第8页的“5个地面站，含5个监测站、1个主控站和3个注入站”也是课件历史配置，各类职能可在同一地点承担，不能简单相加为9个独立站点。
4. GPS定位的观测基础（第11–15页）#
4.1 定位需要哪两类信息？#
- 卫星位置：接收导航电文中的广播星历，经计算得到卫星在地球坐标系中的坐标。
- 用户观测量：实时测量卫星到接收机的距离等信息。
星历参数重点理解其用途：描述卫星轨道，以计算卫星位置。第12页列出的参数可分组记忆：
- 轨道形状：偏心率 $e$ 、半长轴平方根 $\sqrt{A}$ 。
- 轨道空间方向：升交点赤经 $\Omega_0$ 、轨道倾角 $i_0$ 、近地点幅角 $\omega$ 。
- 轨道上的位置与变化：平近点角 $M_0$ 、平均角速度改正 $\Delta n$ 、升交点赤经变化率 $\dot\Omega$ 。
- 其他：幅角、轨道半径和倾角的调和改正参数，参考时间与星历数据龄期。
4.2 空间交会的几何意义#
以每颗卫星为球心，以卫星至用户的距离为半径，构造球面；多个球面的交会约束接收机位置。
“三球交会”是理想几何解释，实际伪距定位还要解接收机钟差。 三个球面通常可能有两个交点，需要额外条件排除歧义；实际三维伪距定位通常至少同步观测4颗卫星。
4.3 三类、七种观测量#
| 类别 | 课件列举的观测量 | 数量 |
|---|---|---|
| 测码伪距 | L1上的C/A码、L1上的P码、L2上的P码伪距 | 3 |
| 测相伪距 | L1、L2载波相位观测量 | 2 |
| 多普勒观测量 | L1、L2载波多普勒频移 | 2 |
- 测码伪距：由码相位观测确定。
- 测相伪距：由载波相位观测确定。
“三类七种”对应课件列举的信号配置，不表示所有导航信号仅有这七种观测量。
5. 伪距定位方程：本章重点（第16–18页）#
5.1 从传播时间到距离#
在理想时钟条件下：
$$ \rho=c\tau=c(t_r-t_s) $$其中，$c$ 为光速，$t_s$ 为卫星发射时刻，$t_r$ 为接收机接收时刻，$\rho$ 为真实几何距离。
若接收机钟差为 $\Delta t_r$ ，卫星钟差为 $\Delta t_s$ ，测得的时间差为：
$$ \tau'=(t_r+\Delta t_r)-(t_s+\Delta t_s) $$因此，第 $j$ 颗卫星的伪距模型为：
$$ \boxed{p_j=\rho_j+c\Delta t_r-c\Delta t_s^j} $$符号记忆：接收机钟差取正号，卫星钟差取负号。 这是由“接收时刻减发射时刻”直接得到的。
课件重点讨论钟差；上式省略了其他误差项。卫星钟差可由导航电文提供的参数计算改正，接收机钟差作为未知量，与坐标一起求解。
已进行卫星钟差改正后：
$$ \rho'_j=p_j+c\Delta t_s^j=\rho_j+c\Delta t_r $$注意：改正卫星钟差后，仍含接收机钟差，所以仍是伪距。
5.2 完整的三维定位模型#
设卫星坐标为 $(x^j,y^j,z^j)$ ，接收机坐标为 $(x,y,z)$ ：
$$ \rho_j=\sqrt{(x^j-x)^2+(y^j-y)^2+(z^j-z)^2} $$代入得：
$$ \boxed{ p_j=\sqrt{(x^j-x)^2+(y^j-y)^2+(z^j-z)^2} +c\Delta t_r-c\Delta t_s^j } $$| 已知量 | 未知量 |
|---|---|
| 卫星坐标、卫星钟差、实测伪距 | 接收机坐标 $x,y,z$ 与接收机钟差 $\Delta t_r$ |
一颗卫星提供一个方程，4个未知数至少需要4个独立方程。 因此至少同步观测4颗卫星，并要求卫星几何构型使方程可解。
6. 线性化、四星解算与最小二乘（第19–22页）#
6.1 为什么要线性化？#
距离公式含有坐标平方及开方，定位方程是非线性的。先取概略坐标 $(x_0,y_0,z_0)$ ，令：
$$ x=x_0+\Delta x,\quad y=y_0+\Delta y,\quad z=z_0+\Delta z $$在概略坐标处作Taylor展开，忽略高阶项。
6.2 定义近似距离与视线方向#
$$ \rho_j^0=\sqrt{(x^j-x_0)^2+(y^j-y_0)^2+(z^j-z_0)^2} $$定义由接收机指向卫星的视线单位向量：
$$ e_x^j=\frac{x^j-x_0}{\rho_j^0},\quad e_y^j=\frac{y^j-y_0}{\rho_j^0},\quad e_z^j=\frac{z^j-z_0}{\rho_j^0} $$则距离的一阶展开为：
$$ \rho_j\approx\rho_j^0-e_x^j\Delta x-e_y^j\Delta y-e_z^j\Delta z $$这里的负号表示：接收机沿指向卫星的方向移动，距离减小。对接收机坐标求距离偏导时，系数为 $-e_x^j,-e_y^j,-e_z^j$ 。
6.3 整理成课件的矩阵形式#
令接收机钟差的等效距离偏差为 $b=c\Delta t_r$ ，并定义：
$$ l_j=\rho_j^0-c\Delta t_s^j-p_j $$代入、移项后得到：
$$ \boxed{e_x^j\Delta x+e_y^j\Delta y+e_z^j\Delta z-b=l_j} $$将 $n$ 颗卫星的方程叠加：
$$ AX=L $$ $$ A=\begin{bmatrix} e_x^1&e_y^1&e_z^1&-1\\ e_x^2&e_y^2&e_z^2&-1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ e_x^n&e_y^n&e_z^n&-1 \end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\\b\end{bmatrix},\quad L=\begin{bmatrix}l_1\\l_2\\\vdots\\l_n\end{bmatrix} $$记忆要点：每行对应一颗卫星，前三列是视线方向分量，最后一列是 $-1$ 。 将钟差换成距离单位，使 $X$ 中各分量均以米计。
6.4 四星与多星的解法#
| 条件 | 解法 | 公式与条件 |
|---|---|---|
| $n=4$ | 解4元线性方程组 | $X=A^{-1}L$ ，要求 $A$ 可逆。 |
| $n>4$ | 最小二乘法，利用多余观测 | $\hat X=(A^TA)^{-1}A^TL$ ，要求 $A$ 列满秩。 |
多星时，课件定义观测残差：
$$ V=AX-L $$选择使残差平方和最小的参数：
$$ \min V^TV \quad\Longrightarrow\quad A^TAX=A^TL $$因此：
$$ \boxed{\hat X=(A^TA)^{-1}A^TL} $$这是课件采用的等权最小二乘形式。记住“最小化残差平方和 → 法方程 → 参数估计”的逻辑。
6.5 为什么还要迭代？#
概略坐标可能不够准确，忽略高阶项会引入线性化误差，因此要反复更新：
- 给定概略坐标，计算 $\rho_j^0$ 、视线向量，构造 $A,L$ 。
- 解出 $\Delta x,\Delta y,\Delta z,b$ 。
- 更新坐标：$(x_0,y_0,z_0)\leftarrow(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)$ 。
- 用新坐标重算，直到坐标改正量足够小。
- 输出坐标及钟差 $\Delta t_r=b/c$ 。
按上述课件形式，每轮求出的 $b$ 是接收机钟差的等效距离值，不是需要逐轮累加的钟差改正量。课件提到“一般迭代两次即可取得满意结果”，应理解为其教学情形下的经验描述，实际以收敛条件为准。
7. 易混点与复习自测#
7.1 易混点#
- 真实距离与伪距：真实距离是几何量；伪距是含钟差等误差的观测量。
- 卫星钟差与接收机钟差：前者利用导航电文改正；后者与接收机坐标一起估计。
- 三球交会与四星定位：前者说明理想几何关系；后者处理三维坐标和接收机钟差4个未知数。
- 导航电文与测距观测量：导航电文提供卫星轨道、时钟等信息；测距观测量约束卫星到用户的距离。
- 线性化与迭代：线性化使方程便于求解；迭代减小概略坐标误差造成的近似误差。
- 视线向量的符号：本笔记采用接收机指向卫星的方向，配套使用 $A$ 的末列 $-1$ 和 $l_j=\rho_j^0-c\Delta t_s^j-p_j$ ；不能混用其他符号约定。
7.2 自测：能否不看笔记回答？#
- GPS的三部分分别承担什么任务？
- 为什么卫星坐标可视为已知量？为什么接收机钟差仍需估计？
- 从 $\tau'=(t_r+\Delta t_r)-(t_s+\Delta t_s)$ 推出伪距方程。
- 为什么至少需要4颗卫星？是否只要4颗就一定可解？
- 写出 $A,X,L$ 的含义、维数和各行的构成。
- 写出四星解与多星最小二乘解，说明各自的可解条件。
- 解释定位为什么要经过“概略坐标 → 线性化 → 解算 → 更新 → 迭代”。
最后记住这条解算链：
导航电文求卫星位置与钟差 → 同步测量多星伪距 → 建立4未知数的非线性方程 → 在概略坐标处线性化 → 四星直接解 / 多星最小二乘 → 更新坐标并迭代。