λ矩阵及标准形#

λ-矩阵的定义#

设 $a_{ij}(\lambda)\ (i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$ 为数域 $F$ 上的多项式，则称

$$ A(\lambda)=\begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}(\lambda) & a_{m2}(\lambda) & \cdots & a_{mn}(\lambda) \end{bmatrix} $$

为多项式矩阵，或 $\lambda$ -矩阵。称不为0的多项式 $a_{ij}(\lambda)$ 中最高的次数为 $A(\lambda)$ 的次数。

非零数字矩阵是0次 $\lambda$ -矩阵
$\lambda I - A$ 是 $1$ 次 $\lambda$ -矩阵，$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$

λ-矩阵的另一个视角#

$\lambda$ -矩阵也是以矩阵为系数的多项式

设 $a_{ij}(\lambda) = a_{p;ij}\lambda^p + a_{p-1;ij}\lambda^{p-1} + \cdots + a_{1;ij}\lambda + a_{0;ij}$ ，$(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$

那么

$$ A(\lambda) = [a_{p;ij}]\lambda^p + [a_{p-1;ij}]\lambda^{p-1} + \cdots + [a_{1;ij}]\lambda + [a_{0;ij}] $$

正规秩的定义#

如果 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 中有一个 $r$ 阶 ($r \geq 1$ ) 子式不为零，而所有 $r+1$ 阶子式（如果有的话）全为零（多项式），则称 $A(\lambda)$ 的（正规）秩为 $r$ ，记为

$$ \operatorname{rank}\{A(\lambda)\} = r $$

零矩阵的秩为0。
$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$\lambda I - A$ 的秩为 $n$ 。

λ-矩阵的逆矩阵的定义#

一个 $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 称为可逆的，如果有一个 $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵 $B(\lambda)$ ，满足

$$ A(\lambda)B(\lambda) = B(\lambda)A(\lambda) = I $$

这里 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。$B(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}(\lambda)$ 。可逆的 $\lambda$ -矩阵又称为单位模矩阵（幺模矩阵）。

注：前提在 $\lambda$ -矩阵下可逆

一个 $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 是单位模矩阵的充要条件是：$\det(A(\lambda))$ 是一个非零的常数。

初等变换的定义#

下列各种类型的变换，叫做 $\lambda$ -矩阵的初等变换：

矩阵的任二行（列）互换位置；
非零常数 $c$ 乘矩阵的某一行（列）；
矩阵的某一行（列）的 $\varphi(\lambda)$ 倍加到另一行（列）上去，其中 $\varphi(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的一个多项式。

对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应的三种 $\lambda$ -矩阵的初等矩阵：

$$ P(i,j),\quad P(i(c)),\quad P(i,j(\varphi)) $$

注：
初等变换是初等可逆变换，初等矩阵是单位模矩阵。
(2) 中只能乘非零常数，否则不可逆。
$\varphi$ 始终写在$j$ 括号里

矩阵等价#

对一个 $m \times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的行作初等行变换，相当于用相应的 $m$ 阶初等矩阵左乘 $A(\lambda)$ 。对 $A(\lambda)$ 的列作初等列变换，相当于用相应的 $n$ 阶初等矩阵右乘 $A(\lambda)$ 。定义如果 $A(\lambda)$ 经过有限次的初等变换之后变成 $B(\lambda)$ ，则称 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价，记之为

$$ A(\lambda) \simeq B(\lambda) $$

等价的性质：

自反性：$A(\lambda) \simeq A(\lambda)$
对称性：$A(\lambda) \simeq B(\lambda) \Rightarrow B(\lambda) \simeq A(\lambda)$
传递性：$A(\lambda) \simeq B(\lambda),\ B(\lambda) \simeq C(\lambda) \Rightarrow A(\lambda) \simeq C(\lambda)$

注：
等价是有限次初等变换，无限次不行。
反例：无限次左（右）乘 $\begin{bmatrix} 0.9 & 0 \\ 0 & 0.9 \end{bmatrix}$

λ-矩阵的Smith标准形#

任意一个非零的 $m \times n$ 维的 $\lambda$ -矩阵都等价于一个对角矩阵，即

$$ A(\lambda) \simeq \begin{bmatrix} d_1(\lambda) & & & & \\ & d_2(\lambda) & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & d_r(\lambda) & \\ & & & & 0 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 0 \end{bmatrix} $$

其中 $r \geq 1$ ，$d_i(\lambda)$ 是首项系数为1的多项式且

$$ \underbrace{d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)}_{d_i是d_{i+1}因子} \quad (i=1,2,\cdots,r-1) $$

称这种形式的 $\lambda$ -矩阵为 $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形。

$$ d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_r(\lambda) $$

称为 $A(\lambda)$ 的不变因子。（即使是1，也是不变因子）

引理-化简Smith标准型#

设 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的左上角元素 $a_{11}(\lambda) \neq 0$ ，并且 $A(\lambda)$ 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与 $A(\lambda)$ 等价的矩阵 $B(\lambda)$ ，它的左上角元素也不为零，但是次数比 $a_{11}(\lambda)$ 低。

引理的意义：

反复应用，一定可以找到一个与 $A(\lambda)$ 等价的矩阵 $B(\lambda)$ ，它的左上角元素也不为零，但是能整除整个矩阵中的所有元素。
把第一行第一列其它元素都化为0。

定义符号：$\forall a(\lambda) \in R[\lambda]$ ，记 $\partial a(\lambda)$ 为多项式 $a(\lambda)$ 的次数。

定义化简举例（繁）#

例 2.1.2#

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} 1-\lambda & \lambda^2 & \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+\lambda^2 & \lambda^2 & -\lambda^2 \end{bmatrix} $$

将其化成 Smith 标准形。

解：

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} 1-\lambda & \lambda^2 & \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+\lambda^2 & \lambda^2 & -\lambda^2 \end{bmatrix} \overset{c_1+c_3,\ r_3-r_1}{\simeq} \begin{bmatrix} 1 & \lambda^2 & \lambda \\ 0 & \lambda & -\lambda \\ 0 & 0 & -\lambda^2-\lambda \end{bmatrix} $$ $$ \overset{c_2-\lambda^2 c_1,\ c_3-\lambda c_1}{\simeq} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -\lambda \\ 0 & 0 & -\lambda^2-\lambda \end{bmatrix} \overset{c_3+c_2,\ -c_3}{\simeq} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^2+\lambda \end{bmatrix} $$ $$ \simeq \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda(\lambda+1) \end{bmatrix} $$

例 2.1.3#

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda(\lambda+1) & & \\ & \lambda & \\ & & (\lambda+1)^2 \end{bmatrix} $$

将其化成 Smith 标准形。

解：

$$ A(\lambda) \overset{c_3+c_2}{\simeq} \begin{bmatrix} \lambda(\lambda+1) & & \\ & \lambda & \lambda \\ & & (\lambda+1)^2 \end{bmatrix} \overset{r_3-(\lambda+2)r_2}{\simeq} \begin{bmatrix} \lambda(\lambda+1) & & \\ & \lambda & \lambda \\ & -\lambda(\lambda+2) & 1 \end{bmatrix} $$ $$ \simeq \begin{bmatrix} 1 & & \\ & \lambda(\lambda+1) & \\ & & \lambda(\lambda+1)^2 \end{bmatrix} $$

Smith标准形的唯一性#

行列式因子#

k 阶子式

$m \times n$ 阶矩阵 $A$ 任意 $k$ 行和任意 $k$ 列交点上的元素按原次序组成的行列式称为 $A$ 的 $k$ 阶子式。

k 阶行列式因子

$A(\lambda)$ 为一个 $\lambda$ -矩阵且 $\operatorname{rank}(A(\lambda)) = r$ 。对于任意的正整数 $k$ ，$1 \leq k \leq r$ ，$A(\lambda)$ 必有非零 $k$ 阶子式，$A(\lambda)$ 的全部 $k$ 阶子式的首1（降幂排列）最高公因式 $D_k(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的 $k$ 阶行列式因子

初等变换不改变 $\lambda$ -矩阵的行列式因子。

推论：等价矩阵具有相同的行列式因子，因此也具有相同的秩。

行列式因子与不变因子的关系#

设 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形为

$$ A(\lambda) \simeq \begin{bmatrix} d_1(\lambda) & & & \\ & d_2(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & 0 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 0 \end{bmatrix} $$

上面的标准形的各阶行列式因子为

$$ \begin{aligned} D_1(\lambda) &= d_1(\lambda) \\ D_2(\lambda) &= d_1(\lambda)d_2(\lambda) \\ &\vdots \\ D_r(\lambda) &= d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_r(\lambda) \end{aligned} $$

显然，有

$$ \begin{aligned} d_1(\lambda) &= D_1(\lambda) \\ d_2(\lambda) &= \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)} \\ &\vdots \\ d_r(\lambda) &= \frac{D_r(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)} \end{aligned} $$

由于 $A(\lambda)$ 与上面的 Smith 标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 $A(\lambda)$ 的各阶行列式因子为

$$ D_1(\lambda), D_2(\lambda), \cdots, D_r(\lambda) $$

而

$$ d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_r(\lambda) $$

又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到：

$A(\lambda)$ 的 Smith 标准形是唯一的。

相互求解例题#

求下列 $\lambda$ -矩阵的 Smith 标准形。

(1)

$$ \begin{bmatrix} \lambda-a & c_1 & & \\ & \lambda-a & c_2 & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda-a & c_{n-1} \\ & & & & \lambda-a \end{bmatrix} $$

其中 $c_i \neq 0,\ i=1,2,\cdots,n-1$

(2)

$$ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \lambda+2 \\ 0 & 1 & \lambda+2 & 0 \\ 1 & \lambda+2 & 0 & 0 \\ \lambda+2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

矩阵等价推论（行列式因子与不变因子）#

$m \times n$ 维 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价的充要条件：

对于任何的 $k$ ，它们的 $k$ 阶行列式因子相同。
它们具有相同的不变因子（组）。[包含1也必须一样多]
它们具有相同的 Smith 标准形。

推论 A：$\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件为 $A(\lambda)$ 与单位矩阵等价。

推论 B：$\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件为 $A(\lambda)$ 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

推论 C：$A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵 $P(\lambda)$ 与 $Q(\lambda)$ ，使得

$$ B(\lambda) = P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda) $$

初等因子和等价条件#

$\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的不变因子为

$$ d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_r(\lambda) $$

在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：

$$ \begin{aligned} d_1(\lambda) &= (\lambda-\lambda_1)^{e_{11}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{12}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{e_{1s}} \\ d_2(\lambda) &= (\lambda-\lambda_1)^{e_{21}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{22}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{e_{2s}} \\ &\cdots\cdots \\ d_r(\lambda) &= (\lambda-\lambda_1)^{e_{r1}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{r2}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{e_{rs}} \end{aligned} $$

其中 $\lambda_1, \cdots, \lambda_s$ 是互异的复数，$e_{ij}$ 是非负整数。因为 $d_i \mid d_{i+1}(\lambda)\ (i=1,\cdots,r-1)$ ，所以满足如下关系：

$$ \begin{aligned} 0 \leq e_{11} \leq e_{21} \leq \cdots \leq e_{r1} \\ 0 \leq e_{12} \leq e_{22} \leq \cdots \leq e_{r2} \\ \cdots\cdots \\ 0 \leq e_{1s} \leq e_{2s} \leq \cdots \leq e_{rs} \end{aligned} $$

初等因子的定义#

在上式中，所有指数大于零的因子

$$ (\lambda-\lambda_j)^{e_{ij}},\quad e_{ij} > 0,\ i=1,\cdots,r,\ j=1,\cdots,s $$

称为 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的初等因子。

注：1不算初等因子，因为 “$a = a \cdot 1 \cdot 1 \cdots$ ”

初等因子举例#

例 2.3.1#

如果 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的不变因子为

$$ \begin{aligned} d_1(\lambda) &= 1 \\ d_2(\lambda) &= \lambda(\lambda-1) \\ d_3(\lambda) &= \lambda(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2 \\ d_4(\lambda) &= \lambda^2(\lambda-1)^3(\lambda+1)^3(\lambda-2) \end{aligned} $$

则 $A(\lambda)$ 的初等因子为

$$ \lambda,\ \lambda,\ \lambda^2,\ \lambda-1,\ (\lambda-1)^2,\ (\lambda-1)^3,\ (\lambda+1)^2,\ (\lambda+1)^3,\ (\lambda-2) $$

问题：
知道不变因子，能否判断 $\operatorname{rank}(A(\lambda))$ ？
知道初等因子，能否判断 $\operatorname{rank}(A(\lambda))$ ？

例 2.3.2#

如果 $5 \times 6$ 阶 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为4，其初等因子为

$$ \lambda,\ \lambda,\ \lambda^2,\ \lambda-1,\ (\lambda-1)^2,\ (\lambda-1)^3,\ (\lambda+i)^3,\ (\lambda-i)^3 $$

求 $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形。

解：先将初等因子降幂排列，写出不变因子，注意秩。

$$ \begin{aligned} d_4(\lambda) &= \lambda^2(\lambda-1)^3(\lambda+i)^3(\lambda-i)^3 \\ d_3(\lambda) &= \lambda(\lambda-1)^2 \\ d_2(\lambda) &= \lambda(\lambda-1) \\ d_1(\lambda) &= 1 \end{aligned} $$

再写出 Smith 标准形，注意维数。

等价条件#

矩阵等价#

$m \times n$ 维 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价的充要条件是它们：

有相同的秩，且
有相同的初等因子。

注：与 Smith 标准形、$k$ 阶行列式因子、不变因子的判定不同，初等因子必须判定秩是否一样。

分块矩阵初等因子#

$\lambda$ -矩阵

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} B(\lambda) & \\ & C(\lambda) \end{bmatrix} $$

为分块对角形矩阵，则 $B(\lambda)$ 与 $C(\lambda)$ 的初等因子的全体是 $A(\lambda)$ 的全部初等因子。

推论：$\lambda$ -矩阵

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} A_1(\lambda) & & & \\ & A_2(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_t(\lambda) \end{bmatrix} $$

为分块对角形矩阵，则 $A_1(\lambda), A_2(\lambda), \cdots, A_t(\lambda)$ 的初等因子的全体是 $A(\lambda)$ 的全部初等因子。

例 2.3.3#

求初等因子、秩、不变因子、行列式因子、Smith 标准形

(1)

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \lambda^2 \\ 0 & 0 & \lambda^2-\lambda & 0 \\ 0 & (\lambda-1)^2 & 0 & 0 \\ \lambda^2-\lambda & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

(2)

$$ B(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda^2+\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda+1)^2 & \lambda+1 \\ 0 & 0 & -2 & \lambda-2 \end{bmatrix} $$

例 2.3.4#

求行列式、行列式因子、不变因子、初等因子、Smith 标准形，并比较。

(1) $(\lambda+1)^4 = \lambda^4 + 4\lambda^3 + 6\lambda^2 + 4\lambda + 1$ 的伴随形的特征矩阵

$$ A(\lambda) = \lambda I_4 - \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -4 & -6 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 1 & 4 & 6 & \lambda+4 \end{bmatrix} $$

(2)

$$ B(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda+1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda+1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda+1 \end{bmatrix} $$

(3)

$$ C(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda+1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda+1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda+1 \end{bmatrix} $$

注：灵活运用不变因子、行列式因子、初等因子的对应关系，取易求解

数字矩阵的相似与λ-矩阵的等价#

等价定理#

引理 2.4.1 带余除法/多项式矩阵除法#

设 $B(\lambda) = B_r\lambda^r + B_{r-1}\lambda^{r-1} + \cdots + B_0$ 为 $r$ 次 $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵，且 $B_r \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$|B_r| \neq 0$ 。则对任意 $n \times n$ 矩阵 $A$ ，存在 $P_0(\lambda), R_0(\lambda)$ 和 $P_1(\lambda), R_1(\lambda)$ 使得

$$ A(\lambda) = P_0(\lambda)B(\lambda) + R_0(\lambda) = B(\lambda)P_1(\lambda) + R_1(\lambda) $$

其中 $\partial R_0(\lambda) < \partial B(\lambda) = r$ ，$\partial R_1(\lambda) < \partial B(\lambda) = r$ 。

定理 2.4.1#

设 $A, B$ 为两个 $n$ 阶数字矩阵，则 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是：$\lambda I - A$ 与 $\lambda I - B$ 相似

定理 2.4.2#

设 $A, B$ 为两个 $n$ 阶数字矩阵，则 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $\lambda I - A$ 与 $\lambda I - B$ 等价

根本原因：不变因子相同决定了矩阵的唯一有理标准形（A能控、能观标准型）

定理 2.4.3#

两个同阶的方阵$A,B$ 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵$\lambda I-A$ 和$\lambda I-B$ 有相同的初等因子

定理 2.4.4#

两个同阶的方阵$A,B$ 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵$\lambda I - A$ 与 $\lambda I - B$ 有相同的行列式因子（或不变因子）

对于任意一个数字矩阵$A$ ，$|\lambda I-A|\neq 0$ （仅取特征值时为0），所以$rank(\lambda I-A)=n$
行列式因子、不变因子、初等因子（秩已知）是一一对应的

注：数字方阵$A$ 的特征矩阵$\lambda I-A$ 的特征多项式次数、全部初等因子次数和、全部不变因子的次数和、A 的阶数相等

例 2.4.1#

设 $\varepsilon \neq 0$ ，

$$ A = \begin{bmatrix} a & 1 & & \\ & a & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & a \end{bmatrix}_{n \times n} $$

(1) 求 $A$ 与

$$ B = \begin{bmatrix} a & \varepsilon & & \\ & a & \ddots & \\ & & \ddots & \varepsilon \\ & & & a \end{bmatrix}_{n \times n} $$

是否相似？

注：$A$ 的 Smith 标准形、初等因子与 $B$ 的初等因子相同，故 $A \sim B$ 。

例 2.4.2#

$\begin{bmatrix} a & 1 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & a & 0 & \\ & & & a & 1 & \\ & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & a & 1 \\ & & & & & & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1 & & & & \\ & \ddots & \ddots & & & \\ & & a & 1 & & \\ & & & a & \varepsilon & \\ & & & & a & 1 & \\ & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & a & 1 \\ & & & & & & & a \end{bmatrix}$

设 $\varepsilon \neq 0$ ，$A, B$ 如上，证明 $A$ 与 $B$ 不相似。

注：$A$ 的 Smith 标准形、初等因子与 $B$ 的不同，故 $A\nsim B$ 。

矩阵的Jordan标准形#

定义 2.5.1 (Jordan块与Jordan标准形)#

$n_i$ 阶 $\lambda$ -矩阵

$$ J_i = \begin{bmatrix} a_i & 1 & & \\ & a_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & a_i \end{bmatrix}_{n_i \times n_i} $$

称为 Jordan 块。设 $J_1, J_2, \cdots, J_s$ 为 Jordan 块，则

$$ J = \begin{bmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s \end{bmatrix} $$

称为 Jordan 标准形。

每个 Jordan 块 $J_i$ 的初等因子为 $(\lambda - a_i)^{n_i}$ 。所有 Jordan 块的初等因子全体为

$$ (\lambda-a_1)^{n_1},\ (\lambda-a_2)^{n_2},\ \cdots,\ (\lambda-a_s)^{n_s} $$

同一特征值可出现在多个 Jordan 块中。

定理 2.5.1#

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，其初等因子为

$$ (\lambda-a_1)^{n_1},\ (\lambda-a_2)^{n_2},\ \cdots,\ (\lambda-a_s)^{n_s}, \quad \sum_{i=1}^{s} n_i = n $$

则 $A$ 相似于 Jordan 标准形 $J$ ，即存在可逆矩阵 $P$ 使得

$$ A \sim J = P^{-1}AP $$

其中

$$ J = \begin{bmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s \end{bmatrix}, \quad J_i = \begin{bmatrix} a_i & 1 & & \\ & a_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & a_i \end{bmatrix}_{n_i \times n_i} $$

$A \sim J$ 意味着 $\exists P \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$|P| \neq 0$ ，使得 $AP = PJ$ 。

Jordan块的推导#

设 $A$ 可对角化，即 $A = P \Lambda P^{-1}$ ，其中

$$ \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$

则 $A[p_1\ p_2\ \cdots\ p_n] = [p_1\ p_2\ \cdots\ p_n]\Lambda$ ，即

$$ A p_i = p_i \lambda_i $$

特征向量 $p_i$ 和特征值 $\lambda_i$ 构成基本 Jordan 链。

一个 Jordan 链#

$$ A[p_{1,i}\ p_{2,i}\ \cdots\ p_{n_i,i}] = [p_{1,i}\ p_{2,i}\ \cdots\ p_{n_i,i}] \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i \end{bmatrix} $$

对应的循环关系：

$$ \begin{aligned} (A - \lambda_i I)p_{1,i} &= 0 \\ (A - \lambda_i I)p_{2,i} &= p_{1,i} \quad \Rightarrow \quad (A-\lambda_i I)^2 p_{2,i} = 0 \\ (A - \lambda_i I)p_{3,i} &= p_{2,i} \quad \Rightarrow \quad (A-\lambda_i I)^3 p_{3,i} = 0 \\ &\cdots\cdots \\ (A - \lambda_i I)p_{n_i,i} &= p_{n_i-1,i} \quad \Rightarrow \quad (A-\lambda_i I)^{n_i} p_{n_i,i} = 0 \end{aligned} $$

链方向：$p_{n_i,i} \rightarrow p_{n_i-1,i} \rightarrow \cdots \rightarrow p_{1,i}$

例 2.5.1#

求下列矩阵的 Jordan 标准形：

$$ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

解：先求 $\lambda I - A$ 的 Smith 标准形（通过初等变换）：

$$ \lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda+1 & -1 & 0 \\ 4 & \lambda-3 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda-2 \end{bmatrix} \simeq \begin{bmatrix} 1 & & \\ & \lambda-1 & \\ & & (\lambda-1)^2(\lambda-2) \end{bmatrix} $$

不对，应重新计算。实际上初等因子为 $(\lambda-1)^2, \lambda-2$ 。

因此 $A$ 的 Jordan 标准形为

$$ J = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

例 2.5.2#

求矩阵

$$ A = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{bmatrix} $$

的 Jordan 标准形及变换矩阵 $P$ 。

解：先求 $\lambda I - A$ 的 Smith 标准形：

$$ \lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{bmatrix} \simeq \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)^2 \end{bmatrix} $$

初等因子为 $\lambda-1,\ (\lambda-1)^2$ 。

Jordan 标准形为

$$ J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

设 $P = [X_1\ X_2\ X_3]$ ，由 $AP = PJ$ 得

$$ \begin{cases} (I-A)X_1 = 0 \\ (I-A)X_2 = 0 \\ (I-A)X_3 = -X_2 \end{cases} $$

解得 $\alpha_1 = [-1, 1, 0]^T$ ，$\alpha_2 = [3, 0, 1]^T$ 。

取 $X_1 = \alpha_1$ ，由 $(I-A)X_2 = 0$ 得 $X_2 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$ 。为使 $[I-A, -X_2]$ 有解且 $\neq 0$ ，取 $k_1 = k_2 = 1$ ：

$$ X_2 = \alpha_1 + \alpha_2 = [2, 1, 1]^T $$

再由 $(I-A)X_3 = -X_2$ 解得 $X_3 = [2, 0, 1]^T$ 。

因此

$$ P = [X_1\ X_2\ X_3] = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Jordan标准形的唯一性#

Jordan 标准形（不计 Jordan 块的排列顺序）由 $A$ 唯一确定。这通过以下等价关系链得到：

$A$ 的 Jordan 标准形 $\Rightarrow$ Smith 标准形 $\Rightarrow$ 不变因子 $\Rightarrow$ 初等因子 $\Rightarrow$ Jordan 块 $\Rightarrow$ Jordan 标准形。

总结：

Jordan 标准形由 $A$ 唯一确定（块的顺序除外）。
每个特征值 $\lambda_i$ 对应的所有 Jordan 块的阶数 = $\lambda_i$ 的代数重数。
特征值 $\lambda_i$ 的几何重数 = 对应 Jordan 块的个数。

零化多项式与最小多项式#

多项式的定义#

$$ f(\lambda) = a_m\lambda^m + a_{m-1}\lambda^{m-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 $$

为 $\lambda$ 的多项式。对 $\lambda$ -矩阵，定义矩阵多项式。

矩阵多项式在Jordan标准形下的形式#

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$J$ 为 Jordan 标准形，$A = PJP^{-1} = P\operatorname{diag}(J_1, J_2, \cdots, J_r)P^{-1}$ 。

对多项式 $f(\lambda) = a_m\lambda^m + a_{m-1}\lambda^{m-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ ，有

$$ f(A) = a_m(PJP^{-1})^m + a_{m-1}(PJP^{-1})^{m-1} + \cdots + a_1(PJP^{-1}) + a_0 I $$ $$ = P\left(a_m J^m + a_{m-1}J^{m-1} + \cdots + a_1 J + a_0 I\right)P^{-1} = P f(J) P^{-1} = P \operatorname{diag}(f(J_1), f(J_2), \cdots, f(J_r))P^{-1} $$

定义 2.6.1 ($\lambda$ -矩阵)#

设 $A$ 为 $\lambda$ -矩阵，$f(\lambda) = a_m\lambda^m + a_{m-1}\lambda^{m-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ 为 $\lambda$ 的多项式，则

$$ f(A) = a_m A^m + a_{m-1}A^{m-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I $$

称为 $A$ 的 $\lambda$ -矩阵多项式。

注：若 $f(\lambda) = (a_1\lambda - b_1)^{n_1}(a_2\lambda - b_2)^{n_2}\cdots(a_s\lambda - b_s)^{n_s}$ ，则 $f(A) = 0$ 当且仅当各因子对应的条件满足。

定理 2.6.2 (零化多项式)#

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，若 $\exists$ 非零多项式

$$ f(\lambda) = a_m\lambda^m + a_{m-1}\lambda^{m-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 $$

使得 $f(A) = 0$ ，则称 $f(\lambda)$ 为 $A$ 的零化多项式。$A$ 的次数最低的首一零化多项式称为 $A$ 的最小多项式。

$A^m$ 可由 $A^{m-1}, A^{m-2}, \cdots, I$ 线性表示（Cayley-Hamilton 定理）。若 $f(\lambda)$ 为 $A$ 的零化多项式，$g(\lambda)$ 为任意多项式，则 $f(\lambda)g(\lambda)$ 也是零化多项式。

Jordan标准形下的零化多项式#

$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$f(A) = 0 \Leftrightarrow f(J) = 0 \Leftrightarrow f(J_i) = 0,\ i=1,2,\cdots,r$

对 Jordan 块

$$ J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{n_i \times n_i} = \lambda_i I_{n_i} + N_{n_i} $$

其中 $N_{n_i}^{n_i} = 0$ 。

定理 2.6.3 (最小多项式)#

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$A$ 的所有不同的初等因子中，每个特征值取最高幂次的乘积，即为 $A$ 的最小多项式 $m(\lambda)$ 。

Jordan标准形的最小多项式#

对 Jordan 块 $J_i$ ，最小多项式为 $(\lambda - \lambda_i)^{n_i}$ 。

由 $\det(\lambda I - J_i) = (\lambda - \lambda_i)^{n_i}$ ，所有 Jordan 块的初等因子为 $(\lambda - \lambda_i)^{n_i}$ 。

由 Jordan 标准形推导最小多项式：设 $J = \operatorname{diag}(J_1, J_2, \cdots, J_r)$ ，则 $m(\lambda)$ 为每个不同特征值对应的最大 Jordan 块阶数。

Cayley-Hamilton 定理#

定理 2.6.1：$\forall A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$|\lambda I - A|$ 为 $A$ 的零化多项式，即 $p_A(A) = 0$ ，其中 $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 为特征多项式。

最小多项式的性质#

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ：

$A$ 的最小多项式 $m(\lambda)$ 整除任何零化多项式。
$A$ 的最小多项式与特征多项式有相同的根（特征值）。
若 $A$ 可对角化，$m(\lambda)$ 无重根；反之，若 $m(\lambda)$ 无重根则 $A$ 可对角化。
相似矩阵有相同的最小多项式。

定理 2.6.2 推论#

设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ ，$B \in \mathbb{C}^{n \times p}$ ，则

$$ \operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(AB) \leq n - \operatorname{rank}(A) $$

等价于

$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n $$

分块对角矩阵的最小多项式#

设 $A = \operatorname{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_r)$ ，$m_1(\lambda), m_2(\lambda), \cdots, m_r(\lambda)$ 分别为 $A_i\ (i=1,2,\cdots,r)$ 的最小多项式，则 $A$ 的最小多项式为

$$ m(\lambda) = \operatorname{lcm}(m_1(\lambda), m_2(\lambda), \cdots, m_r(\lambda)) $$

Jordan标准形与Smith标准形、最小多项式的关系#

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，其 Jordan 标准形、$\lambda I - A$ 的初等因子、Smith 标准形、最小多项式之间的关系：

$$ A \sim J = \begin{bmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_r \end{bmatrix}, \quad \lambda I - A \simeq \begin{bmatrix} d_1(\lambda) & & & \\ & d_2(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n(\lambda) \end{bmatrix} $$

其中 $d_{i-1} \mid d_i$ 。$A$ 的最小多项式 $m(\lambda) = d_n(\lambda)$ （最后一个不变因子）。

例 2.6.1#

求下列矩阵的 $\lambda$ -矩阵多项式：

(1)

$$ J = \begin{bmatrix} 5 & & \\ & 5 & 1 \\ & & 5 \end{bmatrix} $$

(2) $A$ 的初等因子为 $(\lambda-1),\ (\lambda-1)^2,\ \lambda,\ \lambda^3$ 。

例 2.6.2#

设

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad f(\lambda) = \lambda^5 - 2\lambda^4 - 2\lambda^3 - \lambda^2 - 4\lambda $$

求 $f(A)$ 。

解：$|\lambda I - A| = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda-3)(\lambda+1)$ 。

由 Cayley-Hamilton，$A^2 - 2A - 3I = 0$ ，即 $A^2 = 2A + 3I$ 。

用长除法：$f(\lambda) = (\lambda^2 - 2\lambda - 3)(\lambda^3 + \lambda + 1) + r(\lambda)$ ，其中 $r(\lambda)$ 为余式。

则 $f(A) = A + 3I$ （余式在 $A$ 处的值）。

实际上：

$$ f(A) = A + 3I = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $$

数字矩阵的有理标准形#

定义 2.7.1#

设 $A \in F^{n \times n}$ ，其特征矩阵 $\lambda I - A$ 的不为常数的不变因子为：

$$ \varphi_{1}(\lambda),\ \varphi_{2}(\lambda),\ \cdots,\ \varphi_{k}(\lambda) $$

其中

$$ \varphi_{i}(\lambda) = \lambda^{n_{i}} + a_{1,i}\lambda^{n_{i}-1} + \cdots + a_{n_{i}-1,i}\lambda + a_{n_{i},i}, \qquad i = 1,2,\cdots,k $$

且 $n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{k} = n$ 。

则 $A \sim F$ ，其中

$$ F = \begin{bmatrix} C_{1} & & & \\ & C_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & C_{k} \end{bmatrix}, \qquad C_{i} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ -a_{n_{i},i} & -a_{n_{i}-1,i} & \cdots & -a_{1,i} & 0 \end{bmatrix} $$

称为 $A$ 的有理规范形（有理标准形）。

回忆：第一能控规范形、第二能控规范形。
注意：传函与状态空间方法在描述能力上的差异。

定理 2.7.1#

设

$$ C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & & & 1 \\ -a_{n} & -a_{n-1} & \cdots & -a_{1} \end{bmatrix} $$

若 $\lambda_{i}$ 是方程

$$ \lambda^{n} + a_{1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_{n} = 0 $$

的一个解（即 $C$ 的一个特征值），则属于 $\lambda_{i}$ 的特征向量为：

$$ p_{i} = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_{i} & \cdots & \lambda_{i}^{n-1} \end{bmatrix}^{T} $$

推论#

若特征方程

$$ \lambda^{n} + a_{1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_{n} = 0 $$

有 $n$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，则

$$ C = P\,\mathrm{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n})\,P^{-1} $$

其中 $P$ 为 Vandermonde 矩阵：

$$ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{1}^{n-1} & \lambda_{2}^{n-1} & \cdots & \lambda_{n}^{n-1} \end{bmatrix} $$

数字矩阵的 McMillan 标准形#

定义 2.8.1#

对于任意有理分式矩阵 $G(\lambda) \in F^{m \times n}(\lambda)$ ：

$$ G(\lambda) = \left[ \frac{a_{ij}(\lambda)}{b_{ij}(\lambda)} \right]_{m \times n} $$

存在单位模矩阵 $U(\lambda) \in F^{m \times m}[\lambda]$ 、$V(\lambda) \in F^{n \times n}[\lambda]$ ，使得

$$ U(\lambda)\,G(\lambda)\,V(\lambda) = \begin{bmatrix} \frac{d_{1}(\lambda)}{\varphi_{1}(\lambda)} & & & \\ & \frac{d_{2}(\lambda)}{\varphi_{2}(\lambda)} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \frac{d_{r}(\lambda)}{\varphi_{r}(\lambda)} & \\ & & & & 0 \end{bmatrix}_{m \times n} $$

其中

$d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)$ （多项式整除关系）
$\varphi_{i+1}(\lambda) \mid \varphi_{i}(\lambda)$
$d_{i}(\lambda), \varphi_{i}(\lambda)$ 均为首一多项式（最高次项系数为 1）

称为 $G(\lambda)$ 的 McMillan 标准形。

例子：MIMO 系统的零点#

考虑一个线性定常 2 输入 2 输出系统，其传递函数矩阵为：

$$ y(s) = G(s)\,u(s), \qquad G(s) = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{(s+1)(s+2)} & \dfrac{s+4}{(s+1)(s+2)} \\[2ex] \dfrac{s}{(s+1)(s+2)} & \dfrac{s-1}{(s+1)(s+2)} \end{bmatrix} $$

求：它的阻塞零点（blocking zero）和传输零点（transmission zero）。

零点定义#

$z$ 是 阻塞零点：对任意 $u_{0}$ ，以 $u_{0}e^{zt}$ 为输入的零状态响应为 0，即 $G(z) = 0_{m \times n}$ 。
$z$ 是 传输零点：可使 $G(z)$ 降秩，对所有满足 $G(z)u_{0} = 0$ 的 $u_{0}$ ，以 $u_{0}e^{zt}$ 为输入的零状态响应为 0。

求解过程#

提取分母最小公倍式后，考察分子多项式矩阵：

$$ A(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & \lambda+4 \\ \lambda & \lambda-1 \end{bmatrix} $$

通过初等变换：

$$ A(\lambda) \begin{bmatrix} 1 & \lambda+4 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \lambda^{2}+3\lambda+1 \end{bmatrix} $$

因此 $G(s)$ 的 McMillan 标准形为：

$$ G(s) \;\sim\; \frac{1}{(\lambda+1)(\lambda+2)} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \lambda^{2}+3\lambda+1 \end{bmatrix} $$

结论#

$G(s)$ 没有阻塞零点（因 $G(z) \neq 0$ ）。
由 $\lambda^{2}+3\lambda+1 = 0$ 得一对复传输零点：

$$ z_{1} = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}, \qquad z_{2} = \frac{-3-\sqrt{5}}{2} $$

对应的零点方向分别为：

$$ q_{1} = \begin{bmatrix} \lambda+4 \\ -1 \end{bmatrix}_{\lambda = z_{1}} = \begin{bmatrix} \dfrac{5+\sqrt{5}}{2} \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad q_{2} = \begin{bmatrix} \lambda+4 \\ -1 \end{bmatrix}_{\lambda = z_{2}} = \begin{bmatrix} \dfrac{5-\sqrt{5}}{2} \\ -1 \end{bmatrix} $$

验证（猜一个输入）#

取输入方向 $u_{0} = \begin{bmatrix} \frac{5+\sqrt{5}}{2} & -1 \end{bmatrix}^{T}$ ，指数 $z_{1}$ ：

$$ y(s) = G(s)\,u_{0}\,\frac{1}{s - z_{1}} $$

其输出不含激励的振型（denominator 中消去 $s - z_{1}$ ），故对应一个零点。

2.9 本质：各种标准形#

核心是 初等因子。
关键思想：能够找到一种特殊形式的矩阵块，使其初等因子具有要求的形式。

各类标准形（有理标准形、McMillan 标准形等）的统一本质，在于对 不变因子 / 初等因子 的结构化分解。