数学建模#
考情分析#
简单电路网络，简单力学系统，机电系统（会预给公式）的建模
计算传递函数：微分方程整理，框图化简
电气网络#
$$ \begin{array}{}电阻：u_R=R\ i_R& 电容：i_C=C\frac{du_C}{dt}& 电感：u_L=L\frac{di_L}{dt}\\ &I(s)=CsU(s)&U(s)=LsI(s)\\ Z_R=R & Z_C=\frac{1}{Cs} & Z_L=Ls \end{array} $$$$ \begin{array}{l}串联分压：U_1=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}U & U_2=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}U & I=\frac{1}{Z_1+Z_2}U\\ \ \\ 并联分流：I_1=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}I & I_2=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}I & U=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}I \end{array} $$$$ 运算放大器（正负极口）：u_+=u_-\quad i_+=i_-=0 $$$$ 并联阻抗Z=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\quad容阻并联Z=\frac{R}{sRC+1} $$ $$ 重要技巧：戴维宁或诺顿等效，三角星型转换\\ \Delta\to Y : \frac{R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}\\ \ \\ Y \to \Delta : \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_1R_3}{R_{1}} $$ $$ 注：复杂电气网络无简单办法，或阻抗Z整理，或拉氏动态方程整理 $$力学系统公式及技巧#
$$ \begin{array}{cl} 牛顿第二定律：&f=ma\\ 阻尼器（粘性摩擦力）：&f=Bv=B\frac{dy(t)}{dt}\\ 弹簧：&f=ky(t)\\ 转矩：&T=J\frac{d\omega}{dt}=J\frac{d\Omega}{dt}=J\frac{d^2\theta}{dt^2}\quad(\omega,\Omega均为角速度)\\ &T=rF\sin\theta（0<\theta<\frac{\pi}{2}）\\ 粘性摩擦力矩（旋转摩擦力矩）：&T_B=k\omega=k\frac{d\theta}{dt} \end{array} $$$$ 技巧：\\ 注意区分“力的传递”\ \ “力的分担”\ \ “力的余额”\\ 传递：一端施力，中间各段受力相等\\ 分担：中间施力，施点两侧为分担；\quad 或并联结构\\ 余额（非阻力）：物块加速度的力 $$转动惯量#
$$ 质点、薄圆柱壳、细圆环：J=mr^2\\ 实心圆盘、实心圆柱：J=\frac{mr^2}{2}\\ $$机电系统#
电机系统不考查原理（题目会提供）
微分方程列写技巧及注意#
$$ 须将体现所有部件的微分方程列写完整 $$ $$ 小偏差线性化： 微分方程在某点附近分别对各x,\dot{x},\ddot{x}求偏导，即为对应项的系数 $$方框图注意#
$$ 前馈上面画，反馈下面画\\ 方框图等效变换不完全等效，输入输出间等效 $$梅森增益公式#
$$ G(s)=\frac{\sum_{k=1}^np_k\Delta_k}{\Delta}\\ \Delta=1-\sum L_a+\sum L_bL_c-\sum L_dL_eL_f+\cdots\quad （互不接触的回路增益乘积之和）\\ p_k：第k条前向通路总增益\\ \Delta_k：\Delta中与第k条前向通路接触的回路增益置0（或在方框图中去掉） $$$$ 注：（考查不会太复杂）\\ \left\{\begin{array}{l} 前向通路、回路均不可包含{\color{blue}重复点，重复段}（点接触视为接触）\\ 前向通路不可包含回路\\ 输入前馈无法形成回路，单独两回路也无法形成回路 \end{array}\right.\\ \ \\ \left\{\begin{array}{l} 信号流图中比较点、引出点合并易有歧义（理应先比较后引出）\\ 若同质的两点间增益为1，应视作一个点；非同质的两点间增益为1，不宜合并（易有歧义） \end{array}\right.\\ \ \\ 注意变量定义位置，勿固化（R(s),E(s),C(s)）\\ {\color{blue}多输入多输出系统同理，特征式一致，分子对应输入、输出间列写即可}\\ $$梅森增益公式难点与技巧#
$$ 难点：前向通路与回路结合\\ 交叉型\left\{ \begin{array}{l} 一回路“包含”两前向交叉区域，且不“大于”前向联合区域\Rightarrow 三者可结合形成前向通路\\ 一前向“包含”两回路交叉区域，且不“大于”回路联合区域\Rightarrow 三者可结合形成回路 \end{array} \right.\\ 小结论：\\ 回路“包含”前向通路\Leftrightarrow两者可结合形成回路 $$$$ 技巧：规范列写各回路(L_1,L_2,\cdots,L_1L_2\cdots)\\ 方框图求传函，基本只用梅森增益公式\\ \left\{\begin{array}{l} 使用框图化简出现分式时，计算量偏大\\ 灵活使用框图预处理，简化计算 \end{array}\right. $$传递函数的性质#
$$ \Phi(s)=\frac{G_1(s)}{1+G_1(s)H(s)}\quad（反馈相加点取“-”）\\ 开环传函:G_1(s)H(s)\quad （与反馈口“正负”无关）\\ 传递函数：{\color{blue}零初始条件下的\frac{C(s)}{R(s)}} $$$$ \Phi(s)=1-\Phi_e(z)前提：无输入前馈，输入无传函，且整体为单位负反馈 $$$$ 同一框图下\Phi(s)、\Phi_e(s)、多输入多输出等的特征式\Delta相同，但特征多项式D(s)不一定相同\\ 注：若无零极点对消，则D(s)相同；\Phi(s)输出稳定\neq \Phi_e(s)误差稳定\neq\cdots $$$$ 注：G(s)=\frac{M(s)}{N(s)}\quad 对实际物理系统来说，M(s)阶次\leqslant N(s)阶次 $$方框图化简“8字型”（重难点）#
$$ \left\{ \begin{array}{} C_1=H_1(E-C_2)\quad\textcircled{1}\\ C_2=H_2(E-C_1)\quad\textcircled{2} \end{array} \right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{} H_2C_1=H_1H_2(E-C_2)\quad\textcircled{3}\\ H_1C_2=H_1H_2(E-C_1)\quad \textcircled{4} \end{array} \right.\\ \textcircled{3}+\textcircled{4}:\\ H_1C_2+H_2C_1=2EH_1H_2-H_1H_2(C_1+C_2)\\ \textcircled{1},\textcircled{2}代入上式:\\ H_1E-C_1+H_2E-C_2=2EH_1H_2-H_1H_2(C_1+C_2)\\ (H_1+H_2)E-(C_1+C_2)=2EH_1H_2-H_1H_2(C_1+C_2)\\ \frac{C_1+C_2}{E}=\frac{H_1+H_2-2H_1H_2}{1-H_1H_2} $$变量间传递函数问题#
$$ 根据变量关系消元整理（微分方程、拉氏方程）\\ 若只求传递函数，直接列写拉氏方程 $$$$ 注：方框图起不到辅助作用 $$电路网络典例#
力学系统典例#
复杂力学典例1#
复杂系统难以分析，分块列写动力学方程
复杂力学典例2#
灵活设中间变量，辅助分析
