时域分析#
时域尾“1”标准型#
$$ 尾一型：G(s)=\frac{K(2s+1)(-3s+1)}{s^v(s+1)(-2s+1)(5s+1)}（便于计算稳态误差e_{ss}）\\ \ \\ 开环增益、开环放大倍数K： 即尾“1”标准型下的比例系数，不一定是稳态增益(s^v\to0) $$一阶系统单位阶跃响应#
图像重点记忆
典型二阶系统#
$$ 开环满足G(s)=\frac{b}{s(s+a)},且闭环系统为单位负反馈系统，则有\\ G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}\qquad \Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\\ \ \\ s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm \sqrt{\xi^2-1}\ \omega_n \left\{\begin{array}{ll} \xi:&阻尼比\\ \omega_n:&无阻尼自然频率\\ \omega_d:& 有阻尼振荡频率(\omega_n\sqrt{1-\xi^2})（欠阻尼） \end{array}\right.\\ \ \\ 极点位置及阶跃响应曲线:\\ \xi=0（无阻尼）：两个虚根\quad s_{1,2}=\pm j\omega_n\\ 0<\xi<1（欠阻尼）：两个不同的负复极点\quad s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm j\sqrt{1-\xi^2}\omega_n\\ {\color{blue}注：\omega_n代表长度，\xi代表角度（以实部\xi\omega_n把握\beta大小）}\\ \xi=1（临界阻尼）：两个相同的负实极点\quad s_{1,2}=-\omega_n\\ \xi>1（过阻尼）：两个不同的负实极点\quad s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm \sqrt{\xi^2-1}\omega_n\\ \xi<0（负阻尼）：两个正极点（略） $$$$ 注：典型二阶系统传递函数，极点只可能同正、同负或同为零（一般二次方程无此特点） $$二阶欠阻尼系统单位阶跃响应函数#
$$ h(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_n t}}{\sqrt{1-\xi^2}}\sin(\sqrt{1-\xi^2}\ \omega_nt+\beta)\quad (\tan\beta=\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi})\quad 周期震荡曲线 $$不同输入下的系统响应间的关系#
$$ \begin{array}{ll} &输入&输出\\ 单位脉冲& r_{\delta}(t)=\delta(t) & c_{\delta}(t)=c'_p(t) \\ 单位阶跃& r_p(t)=1(t) & c_p(t)=c'_v(t)\\ 单位斜坡& r_v(t)=t & c_v(t)=c'_a(t)\\ 单位加速度&r_a(t)=\frac{t^2}{2}&\cdots \\ \end{array}\\ 针对同一系统，输入满足导数关系，输出间同样满足导数关系 $$动态性能指标#
含零点的动态性能公式不考
$$ t_p, \ \sigma\%,\ t_s,\ t_r $$ $$ 二阶欠阻尼系统极点：-\xi\omega_n\pm j\sqrt{1-\xi^2}\ \omega_n\quad (0<\xi<1)\\ 实部:\xi\omega_n\quad 虚部：\sqrt{1-\xi^2}\ \omega_n\quad（ \xi影响角度，\omega_n影响长度） $$$$ t_p=\frac{\pi}{\sqrt{1-\xi^{2}}\omega_n} \qquad （峰值时间） $$$$ \sigma\%=e^{-\frac{\pi}{\tan\beta}} \times100\%=e^{-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\pi}\times100\%\\ 注：c_{\max}(t)=e_{ss}\cdot(1+\sigma\%) $$$$ t_s=\frac{3.5}{\xi\omega_n}, \quad t_s=\frac{3}{\xi\omega_n} (\Delta=0.05) , \ t_s=\frac{4}{\xi\omega_n} (\Delta=0.02) $$$$ t_r=\frac{\pi-\beta}{\sqrt{1-\xi^2}\omega_n}\qquad （上升时间） $$二阶系统动态性能与极点位置的关系#
$$ 借助实部\xi \omega_n,虚部\sqrt{1-\xi^2}\omega_n,\beta(\beta=\arctan\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi})判断\\ t_p,t_s,\sigma\%由以上构成 $$$$ 工程最佳参数：\xi=\frac{\sqrt{2}}{2}=0.707\qquad \sigma\%=e^{-\pi}=4.3\% $$稳定性定义#
$$ 理论分析中：\\ \begin{array}{} 稳定 & 临界稳定 & 不稳定\\ “渐进稳定” & “随遇稳定” & “越偏越远” \end{array}\\ \ \\ 工程实践中：\\ 闭环极点全部位于S平面的左半平面，系统稳定\\ 只要右半平面，或虚轴上存在闭环极点，系统不稳定（临界稳定、不稳定） $$$$ 注：存在虚根\Leftrightarrow 临界稳定\Leftarrow 李雅普诺夫稳定（有界稳定）\\ 等价于状态稳定：开环传递函数、闭环传函存在相同的零、极点一定不能消去 $$ $$ {\color{grey}齐次连续线性时不变系统为临界稳定的充分必要条件是：}\\ {\color{grey}系统传递函数中每个极点的实部都为非正值，}\\ {\color{grey}且其中有一个或多个极点实部为零，}\\ {\color{grey}且均为相异的单根，}\\ {\color{grey}而其他的极点实部为负值} $$稳定判定方法#
简单情形，解因式，判极点位置
$$ 三阶以下首先考虑因式分解 $$劳斯稳定判据
$$ 闭环特征方程D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0\\ 稳定要求（临界稳定视作不稳定）：\\ 1.各项系数 a_i>0或a_i<0 (i=0,1,2,\cdots)\\ 2. 劳斯表第一列大于零且无虚根（虚根为临界稳定）\\ 注：\ a_i\ne 0 （i=1,2,\cdots,n-1\quad n阶系统不缺中间项\quad a_0=0为临界稳定）\\ {\color{blue}特殊}：二阶系统各项系数均同号，即稳定 $$$$ 劳斯表列法（行元素“隔阶”列写）：\\ \begin{array}{} s^4 & 1 & 7 & 10 \\ s^3 & 5 & 2 \\ s^2 & \frac{5\times7-1\times2}{5} & \frac{5\times10-0}{5} \\ s^1 & \cdots \\ s^0 & \cdots \end{array}\\ 根的位置：\\ 1.不稳定极点个数a=变号次数\\ 2.特征方程纯虚根个数b=辅助方程纯虚根个数\\ 3.稳定极点个数=方程阶数-a-b $$$$ 注：{\color{blue}劳斯判别法姑且用即可，勿深究各类情况}\\ 实根也可能在辅助方程中解得\\ 局限性：无法判断含延迟环节e^{-\tau s}的系统稳定性\\ \ \\ 特殊情况：\\ 1.\ 0 (\varepsilon\rightarrow 0^+)继续计算，取极限判正负\\ 2. 全零行 \rightarrow 由上一行系数列写辅助函数P(s)，求导作为本行数值\\ 辅助方程P(s)的解是原特征方程D(s)解的一部分 $$稳态误差定义#
哈工大默认输出端
$$ E_R(s)=\frac{1}{H(s)}[R(s)-B(s)]=\frac{1}{H(s)}R(s)\Phi_e(s)\quad （梅森公式不可用） $$$$ E_N(s)=-C_N(s)=-\frac{1}{H(s)}B_N(s)=-\frac{1}{H(s)}N(s)\Phi_{en}(s)即为扰动产生的误差 $$静态误差系数及稳态误差（单位反馈）#
稳态误差计算前提：先判断稳定性
静态误差系数法前提：无输入前馈
$$ 开环传递函数：G(s)=\frac{K}{s^v}\frac{(\tau_1s+1)\cdots(\tau_m+1)}{(T_1s+1)\cdots(T_ns+1)}\\ \left\{\begin{array}{l}K为开环放大倍数\\ v为系统型别，即无静差度（定义不严格，根据可跟踪的信号即可判断型别） \end{array}\right. $$直接用“静态误差系数”计算稳态误差即可
$$ 通法：e_{ss}=\lim\limits_{s\to 0}s\cdot E(s)=\lim\limits_{s\to0}s\cdot R(s)\Phi_e(s)\\ \ \\ \begin{array}{ll} 静态误差系数：&稳态误差：\\ k_p=\lim\limits_{s\to0}G(s) &e_{ssp}=\frac{A}{1+k_p}&\lim\limits_{s\to0}\frac{A}{1+G(s)} \\ k_v=\lim\limits_{s\to0}sG(s) &e_{ssv} =\frac{A}{k_v}&\lim\limits_{s\to0}\frac{A}{sG(s)}\\ k_a=\lim\limits_{s\to0}s^2G(s) &e_{ssa}=\frac{A}{k_a}&\lim\limits_{s\to0}\frac{A}{s^2G(s)} \end{array}（A为相对于单位输入的系数） $$若非单位反馈
$$ e^*_{ss}=\lim\limits_{s\to 0}sE(s)=\lim\limits_{s\to 0}s\frac{1}{H(s)}R(s)\Phi_e(s) $$$$ 注： \Phi_e(s)=1-\Phi(s)（ 典型框图下满足：单位负反馈，无前馈，输入无预置传函） $$动态误差系数法#
$$ \Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=c_0+c_1s+c_2s^2+\cdots（s的升阶长除法：除数、被除数均升阶书写）\\ e(t)=c_0r(t)+c_1r'(t)+c_2r''(t)+\cdots $$$$ 注：\Phi(s)在s=0邻域内展开，t\to \infty\\ 稳态误差随时间的变换规律，即误差的稳态分量 $$有理因式的时域反变换#
$$ 一次因式：\\ 单根：留数法\\ 重根：\mathscr{L^{-1}}\left[\frac{1}{(s+a)^{n+1}}\right]=e^{-at}\frac{t^n}{n!} $$$$ 二次因式：\\ 单复根：\\ \mathscr{L^{-1}}\left[\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\right]=e^{-at}\cos\omega t\qquad \mathscr{L^{-1}}\left[\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\right]=e^{-at}\sin\omega t\\ \ \\ 注：重复根不考查 $$非零初始条件下的系统响应#
$$ 例：G(s)=\frac{2(s+2)}{(s+1)(s+4)}\quad c(0)=-1,\dot{c}(0)=0,r(t)=1\\ 输入输出微分方程：\ddot{c}+5\dot{c}+4c=2\dot{r}+4r\\ 非零初始条件下的拉氏变换：\\ \ [s^2C(s)-sc(0)-c'(0)]+5[sC(s)-c(0)]+4C(s)=\underbrace{2[sR(s)-r(0)]}_{r(0)=0}+4R(s)\\ s^2C(s)+5sC(s)+4C(s)=\underbrace{\frac{1}{s}(2s+4)}_{输入作用}\underbrace{-(s+5)}_{初始条件}\\ C(s)=\underbrace{\frac{-s-5}{s^2+5s+4}}_{C_0}+\underbrace{\frac{2s+4}{s(s^2+5s+4)}}_{C_r}\qquad（拉氏反变换） $$$$ 注：输入在零时刻给到系统，故输入为零初始条件，c(0)=0,c'(0)=0;\quad r(0)=0\\ {\color{blue}（传递函数G(s)分母阶次决定输出零初始条件阶次，分子阶次决定输入初始条件阶次）} $$由系统响应求传递函数#
$$ 例1：系统单位阶跃响应为y(t)=1+e^{-t}+e^{-2t}，求系统传递函数\\ \ \\ 判断响应为非零初始条件\quad y(0)=3,y'(0)=-3\\ 设零初始条件下的y(t)=1+ae^{-t}+be^{-2t}（零初始与非零初始有相同的模态）\\ 令\left\{\begin{array}{l} y(0)=0\\ y'(0)=0 \end{array}\right. 解得 \left\{\begin{array}{l} a=-2\\ b=1 \end{array}\right.\\ 故Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2}=\frac{2}{s(s+1)(s+2)}，即G(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)} $$$$ 例2：单位阶跃响应为：c(t)=1-1.25e^{-3t}\sin(5t+53.1\degree) =1-0.75e^{-3t}\sin5t-e^{-3t}\cos5t $$$$ 注：单位脉冲响应等也应判断是否零初始条件 $$减小或消除稳态误差的方法#
$$ G(s)增大开环增益K：\\ 列写\Phi_e(s)，判断稳态误差变化 $$$$ G(s)增加串联积分环节（即提升系统型别v）：\\ 列写\Phi_e(s)，判断稳态误差变化（提高系统型别，但会影响系统稳定性） $$$$ \star输入前馈控制（提高系统型别，不影响系统稳定性）：\\ \left\{\begin{array}{} 减小或消除输入信号下的稳态误差\\ 减小或消除干扰输入下的稳态误差 \end{array}\right.\\ 两种方法：\\1.配系数，使得\Phi_e(s)分子为零（一般G_b(s)实现可能有困难）\\ 2.配系数，使得\Phi_e(s)分子阶次满足要求，即提升系统型别 $$劳斯判据的参数范围#
$$ 系统稳定：满足劳斯稳定条件，解参数范围、关系 $$$$ 极点位于s=-a左侧：\\ 令s=s^*-a，拆开后对s^*使用劳斯判据，求参数范围\\ 注：g(s^*)=0缺项、存在正负系数，则参数不存在 $$高阶系统主导极点性能分析#
$$ 瞬态性能指一、二阶系统，若所给系统为高阶，利用主导极点分析\\ \Phi(s)=\frac{10}{(s+5)(s+4.56)(s+0.44)}=\frac{\frac{10}{5\times 4.56}}{(\frac{s}{5}+1)(\frac{s}{4.56}+1)(s+0.44)}\approx\frac{0.44}{s+0.44} $$$$ 注：稳态性能无分系统阶次，直接计算即可\\ 主导极点两类情形\left\{\begin{array}{l}非主导极点实部>5倍的主导极点实部\\ 偶极子相消（相近的零极点，两点之差小于模本身一个数量级） \end{array}\right. $$闭环稳定零、极点对系统性能影响#
不考虑调节时间
$$ 零点：反应变快，\sigma\%\uparrow\quad t_p\downarrow；随着零点向虚轴靠近越加明显 $$$$ 极点：反应变慢， \sigma\%\downarrow\quad t_p\uparrow；随着极点向虚轴靠近越加明显 $$响应曲线反得系统参数典例#
