““频域分析””#
考情分析#
Nichols图、等M圆法不考
频域尾“1”标准型#
$$ G(s)=\frac{K(\frac{s}{\omega_1}+1)(\frac{s}{\omega_2}-1)}{s^v(-\frac{s}{\omega_3}+1)(\frac{s}{\omega_3}+1)[(\frac{s}{\omega_4})^2+bs+1]}（便于得知转折频率\omega_i\quad \omega_i>0） $$频率分析特点#
由开环频率特性分析负反馈闭环特性
正、余弦输入下的稳态输出#
$$ y(t)=|\Phi(j\omega_0)|\sin[\omega _0t+\theta+\angle\Phi(j\omega_0)]{\color{blue}（仅代表稳态输出）}\\ \left.\begin{array}{l} |\Phi(j\omega)|_{\omega=\omega_0}\\ \angle\Phi(j\omega)|_{\omega=\omega_0} \end{array}\right\}复数拆项计算更便捷 $$$$ 注：\cos(\omega_0 t+\theta)与\sin(\omega_0 t+\theta)同理，直接代入幅值比、相角差即可 $$频域基本概念#
$$ 正弦输入r(t)=\sin\omega t下，c_{ss}(t)=|G(j\omega)|\sin(\omega t+\angle{G(j\omega)}){\color{blue}（稳态输出）}\\ 频率特性（{\color{blue}以复数向量处理-关键}）： \left\{\begin{array}{l} |G(j\omega)|\quad 模长相乘除，与象限无关\quad \sqrt{1+(\frac{\omega}{\omega_i})^2}\\ \angle{G(j\omega)}\quad 相角相加减 \end{array}\right. $$$$ 对数频率特性：\\ L(\omega)=20\lg|G|=20\lg\frac{|K||j\frac{\omega}{\omega_1}+1||-j\frac{\omega}{\omega_2}-1|\cdots |j\frac{\omega}{\omega_m}+1|}{|-j\frac{\omega}{\tau_1}+1||j\frac{\omega}{\tau_2}+1|\cdots |j\frac{\omega}{\tau_n}-1|}（\text{Bode}折线图几何关系计算）(\frac{s}{\omega_1}+1)\rightarrow \left\{\begin{array}{} \frac{\omega_c}{\omega_1} & \omega_c>\omega_1\\ 1 & \omega_c<\omega_1 \end{array}\right.\\ \ \\ G(j\omega)对数幅频特性与象限无关，20\lg[\sqrt{1+(\frac{\omega}{\omega_i})^2}] $$$$ 相频特性： \varphi(\omega)=\angle G(j\omega)=\arctan\frac{\omega}{\omega_1}+\arctan\frac{\omega}{\omega_2}+\cdots-90\degree\cdot v-\arctan\frac{\omega}{\omega_i}-\cdots\\ $$$$ 注：传递函数处理为频域标准型，\\ 补：若K<0 \left\{ \begin{array}{} 对数幅频特性以|K|绘制，对数相频特性起始(2k+1)\pi\\（不唯一，故无法相角裕度判稳）\\ Nyquist幅频特性起始于负半轴 \end{array} \right. $$复频域四象限相角对应#
$$ \left\{\begin{array}{l} 第一象限复数(j\frac{\omega}{\omega_i}+1\ 或\ jb+a)，\arctan\frac{\omega}{\omega_i}\quad 或\arctan\frac{b}{a}\\ 第二象限复数(j\frac{\omega}{\omega_i}-1\ 或\ jb-a)，180\degree-\arctan\frac{\omega}{\omega_i}\quad或180\degree-\arctan\frac{b}{a}\\ 第三象限复数(-j\frac{\omega}{\omega_i}-1\ 或\ -jb-a)，-180\degree +\arctan\frac{\omega}{\omega_i}\quad或-180\degree+\arctan\frac{b}{a}\\ 第四象限复数(-j\frac{\omega}{\omega_i}+1\ 或\ -jb+a)， -\arctan\frac{\omega}{\omega_i}\quad或-\arctan\frac{b}{a} \end{array}\right. $$传函子环节存在三、四象限情形#
$$ 向量关系分析方法:仅适用于K>0时，s为正系数的情况，否则用G(j\omega)的复数本质分析[G]变化趋势 $$$$ 传递函数处理为频域标准型，仅保留一个三、四象限环节，利用复数分析 $$$$ 典例：\\ 单位负反馈系统开环传函：G(s)=\frac{-0.5s+1}{s(0.2s+1)}e^{-\tau_0s}\\ 利用复数分析绘制\text{Nyquist}图、\text{Bode}图\\ G(s)=\frac{-\frac{s}{2}+1}{s(\frac{s}{5}+1)}e^{-\tau_0s}\quad 灵活参照一、二象限环节分析 $$频域稳定判据#
Nyquist稳定判据
$$ \omega=0\to +\infty时 \\ Z=P-2N \left\{\begin{array}{l} N为开环传函G(s)包围(-1,j0)点的圈数（逆正顺负）\\ 即曲线的环绕圈数（点在其外不算包围）\end{array}\right.\\ Z为右半s平面闭环极点个数，P为右半s平面开环极点个数（虚轴焦点不算）\\ \ \\ 注：频域稳定分析{\color{blue}仅考查负反馈系统}\\ \text{Nyquist}曲线穿过(-1,j0)，系统临界稳定\\ 存在积分环节，注意无穷大虚线\\ Z不可能小于0 $$对数稳定判据（主要针对最小相位系统）
$$ N=N_+-N_- \\ \text{Bode}图中，L(\omega)>0的部分（\text{Nyquist}图中单位圆以外），穿越-180°线，N_+往上穿，N_-往下穿\\ 起于负实轴：所有穿越均为\frac{1}{2}穿越，\text{Bode}图中，往上正往下负\\ \ \\ 注：若有不确定，以\text{Nyquist}稳定判据为准 $$幅值裕度与相角裕度#
$$ {\color{blue}分析1+G(j\omega)H(j\omega)对原点的“包围性”以判断负反馈闭环系统的稳定性} $$$$ 相角裕度：\gamma=180\degree+\angle[G_1(j\omega_c)H(j\omega_c)]\\ (|G_1(j\omega_c)H(j\omega_c)|=A(\omega_c)=1)\\ 注：矫正时以近似A(\omega_c)计算，即 \text{Bode}图\omega_c处\\ 其余以准确A(\omega)为准（灵活判断） $$$$ 幅值裕量：K_g=\frac{1}{|G_1(j\omega_g)H(j\omega_g)|}=\frac{1}{A(\omega_g)}\qquad (\varphi(\omega_g)=-180\degree)\\ 增益裕量GM=-20\lg|G_1(j\omega_g)H(j\omega_g)|=-20\lg A(\omega_g)\quad 越大越稳定（幅频特性L(\omega_g),A(\omega_g)越小越好）\\ 注：以准确A(\omega_g)计算 $$$$ \arctan A\pm\arctan B=\theta\rightarrow \frac{A\pm B}{1\mp A B}=\tan\theta\\ \rightarrow \arctan A\pm\arctan B= \arctan\frac{A\pm B}{1\mp AB} $$$$ 注： \left\{\begin{array}{}K_g=1&临界稳定\\K_g>1&稳定\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{}\gamma=0&临界稳定\\\gamma>0&稳定\end{array}\right.\\相角裕度、幅值裕度判稳，非普适性方法，但考研不涉及失效情形 $$二阶闭环频域特性及性能#
$$ \Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi \omega_ns+\omega_n^2}\\ {\color{blue}前提：\xi\leqslant 0.707时，才有以下公式}\\ 谐振峰值：M_r=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}\\ 谐振频率：\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2}\\ 带宽频率：\omega_b=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2+\sqrt{2+4\xi^4-4\xi^2}}\qquad \xi\uparrow \rightarrow \omega_b\uparrow\quad \omega_n\uparrow \rightarrow \omega_b\uparrow\\ 注：|\Phi(j\omega_b)|=0.707|\Phi(j0)|\\ $$$$ 注：M_r=\frac{1}{\sin\gamma}（高阶系统近似公式）\\ 动态性能以时域分析为准\\ 高阶闭环频域特性与动态性能之间关系过于复杂，不考查 $$二阶振荡环节的幅频误差#
$$ \Delta L(\omega_r)=L(\omega)-L_{渐}(\omega)=20\lg\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}>0\quad （仅为谐振时，谐振处的误差） $$$$ \Delta L(\omega_n)=L(\omega)-L_{渐}(\omega)=20\lg\frac{1}{2\xi}\quad （转折频率处的误差，{\color{blue}无论谐振与否}） $$$$ 注：\text{Bode}图中用来确定\xi\\ 二阶微分环节取负（-20\lg\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}、-20\lg\frac{1}{2\xi}）\\ 惯性环节转折处误差为-3dB $$高阶系统经验公式#
系统校正性能指标转化关键
$$ \sigma=0.16+0.4(\frac{1}{\sin\gamma}-1)\\ t_s=\frac{\pi}{\omega_c}\left[2+1.5\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)+2.5\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)^2\right] $$$$ 高阶可定性认为：\\ \gamma越大，闭环系统平稳性越好，\sigma\%越小\\ \omega_c越大，闭环系统快速性越好，t_s,t_p越小（前提：保证稳定，即保证相角裕度足够大） $$高频段小惯性环节等效#
$$ G(s)=\frac{K}{s(T_1s+1)(T_2s+1)(T_3s+1)}\quad （T_i较小）\\ G'(s)\approx \frac{K}{s(Ts+1)}\quad (T=T_1+T_2+T_3) $$典型环节的Nyquist图#
$$ 比例环节G(j\omega)=K：点(K,0)\\ 微分环节G(j\omega)=j\omega：上半轴(0\to +\infty)\\ 积分环节G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}：下半轴(-\infty\to0) $$$$ 惯性环节G(j\omega)=\frac{1}{j\omega T\pm 1}：右半面下半圆（稳定）、左半面下半圆（不稳定）\\ 一阶微分环节G(j\omega)=j\omega T\pm 1：直线s=-1上半，直线s=1上半（下半部分不考虑） $$$$ 二阶微分环节G(s)=T^2s^2+2\xi Ts+1\\ 二阶振荡环节G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}：起于(1,0)，终于(0,0);\\ \xi>0稳定，下半弧；\xi<0不稳定，上半弧\\ 0<\xi\leqslant0.707有谐振， \xi=0为无穷振荡\\ 注：0<\xi<1时为振荡环节；\xi>1时图像类似，但非振荡环节 $$$$ 延迟环节G(s)=e^{-\tau s}：幅频特性为1，相频特性为-\tau\omega\frac{180\degree}{\pi}=-57.3\degree\tau\omega\quad （顺时针旋转的半径为1的圆）\\ 注：延迟环节不影响幅频特性，使相角减小 $$$$ {\color{blue}注：G(j\omega)加负号，\text{Nyquist}曲线关于原点对称} $$典型环节的Bode图#
$$ {\color{blue}\text{Bode}图在转折点按折线绘制，无须准确曲线} $$$$ 比例环节G(j\omega)=K \left\{\begin{array}{} L(\omega)=20\lg K\\ \varphi(\omega)=0\degree \end{array}\right.\\ \ \\ 微分环节G(j\omega)=j\omega\left\{\begin{array}{} L(\omega)=20\lg \omega\\ \varphi(\omega)=90\degree \end{array}\right.\\ \ \\ 积分环节G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}\left\{\begin{array}{} L(\omega)=-20\lg \omega\\ \varphi(\omega)=-90\degree \end{array}\right. $$$$ 惯性环节G(j\omega)=\frac{1}{j\omega T\pm1} \left\{\begin{array}{} L(\omega)=-20\lg \sqrt{1+\omega^2T^2}\\ \varphi(\omega)=-\arctan\omega T（稳定）\\ \varphi(\omega)=-180\degree+\arctan\omega T（不稳定） \end{array}\right.\\ \ \\ 一阶微分环节G(j\omega)=j\omega T\pm 1 \left\{\begin{array}{} L(\omega)=20\lg \sqrt{1+\omega^2T^2}\\ \varphi(\omega)=\arctan\omega T（稳定）\\ \varphi(\omega)=180\degree-\arctan\omega T（不稳定） \end{array}\right. $$$$ 二阶振荡环节G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}： \omega_n为\text{Bode}图转折频率，准确曲线在转折频率处有上谐振，即凸尖峰\\ 0<\xi\leqslant0.707有谐振， \xi=0无穷振荡，即在\omega=\omega_n处L(\omega)趋于\infty\\ \ \\ 二阶微分环节G(s)=\frac{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}{\omega_n^2}：L(\omega)与\varphi(\omega)均与振荡环节关于实轴对称（若系数对应） $$$$ 延迟环节G(s)=e^{-\tau s}：对数幅频特性为0\ (20\lg1)，相频特性为-\tau\omega\frac{180\degree}{\pi}=-57.3\degree\tau\omega（弧度制无需深究）\\ 注：延迟环节不影响幅频特性，使相角减小 $$$$ {\color{blue}注：G(j\omega)加负号，\text{Bode}图幅频不变，相频相差\pm 180\degree} $$通用相角计算方法#
$$ 分部法：各因式相角叠加\\ 二阶典例：\Phi(j\omega)=\frac{K}{[1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2]+2\xi\frac{\omega}{\omega_n}j}\\ \left\{\begin{array}{ll} (\frac{\omega}{\omega_n})^2<1时，\varphi(\omega)=-\arctan\frac{2\xi\frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}\\ (\frac{\omega}{\omega_n})^2=1时，\varphi(\omega)=-180\degree \ \\ (\frac{\omega}{\omega_n})^2>1时，\varphi(\omega)=-\left[180\degree-\arctan\frac{2\xi\frac{\omega}{\omega_n}}{(\frac{\omega}{\omega_n})^2-1}\right] \\ \end{array}\right.\quad（灵活推广）\\ \ \\ 整体法：\Phi(j\omega)直接处理为实部、虚部，一次\arctan即可 $$坐标图规范#
$$ \text{Nyquist}图：实轴\text{Re}，虚轴\text{Im}；\quad 标注[G]\\ \text{Bode}图：虚轴{L(\omega)/dB}，实轴\omega(rad/s) $$最小相位系统Nyquist图绘制#
由开环传递函数绘制
$$ 最小相位系统\text{Nyquist}图：G(s)=\frac{K(\frac{s}{\omega_1}+1)(\frac{s}{\omega_2}+1)}{s^v(\frac{s}{\omega_3}+1)(\frac{s}{\omega_3}+1)[(\frac{s}{\omega_4})^2+bs+1]}\\ 起始段\left\{\begin{array}{cl} K\angle 0\degree,& v=0\\ 虚线\ \infty\cdot \angle -90\degree v ,& v\neq 0 \end{array}\right.\\ 注：复根对应相角相消后，初始相角仍为0，轨迹仍始于正实轴\\ 1.\ s平面中，s=j\omega(\omega=0\to +\infty)\\ 据向量关系定性分析|G(j\omega)|与\angle G(j\omega)变化趋势（仅一、二象限），所得绘制于[G]平面中\\ 2.\ 若需要绘制渐近线，整理G(j\omega)为实部、虚部求极限 $$ $$ 注：s\to j+\infty时，任何角度都为90\degree，由此反推初始角度\\ 重点在0^+,+\infty时的图像，中间图像大致即可\\ K仅对\text{Nyquist}曲线进行放大缩小，不改变曲线形状 $$准确Nyquist图绘制：
$$ 整理G(j\omega)为实部与虚部，灵活计算 $$非最小相位系统Nyquist图绘制#
$$ 典例：G(s)=\frac{10(s+0.5)}{s(s+1)(s-1)}\\ G(j\omega)整理为实部、虚部\\ G(j\omega)=\frac{-10\omega^2}{\omega^2(1+\omega^2)}+j\frac{5\omega}{\omega^2(1+\omega^2)}\\ G(j0^+)=-10+j\infty，增补\infty\cdot \angle -90\degree\cdot v虚线，0^+\to \infty部分据向量关系分析趋势即可\\ \omega=0\to -\infty部分由\omega=0\to +\infty部分关于实轴对称即可 $$
Nyquist曲线穿越虚轴点#
$$ G(s)=\frac{10(s+1)}{(s+5)(s-1)} $$
系统Bode图绘制#
由开环传递函数绘制
$$ \text{Bode}图：几何折线图\\ 低频段（高、陡为佳）\qquad 决定系统稳态误差e_{ss}\\ G_0(s)=\frac{K}{s^v}\left\{\begin{array}{} 20\lg|G_0|=20\lg K-20\cdot v\cdot\lg \omega\\ \angle G=-90\degree\cdot v\end{array}\right.\quad 静态误差系数法分析e_{ss}\\ \ \\ 中频段（缓、宽为佳）\qquad 决定系统动态性能(\sigma\%,t_s)\\ \left\{ \begin{array}{lcc} &L(\omega)&\varphi(\omega)变化趋势{\color{blue}（一、二象限复数）}\\ 极点处 &-20dB/dec&趋向"-"90\degree\\ 零点处 &+20dB/dec&趋向"+"90\degree \end{array} \right.\\ \ \\ 高频段（低、陡为佳）\qquad 决定系统抗高频干扰能力 $$Bode图绘制规范#
关键：低频段及其延长线
$$ G(s)=\frac{K(\frac{s}{\omega_i}+1)\cdots}{s^v(\frac{s}{\omega_j}+1)\cdots}\\ 1.斜率（-20，-40，\cdots）\\ 2.特殊点 \left\{\begin{array}{l} {\color{blue}“轴点”(1,20\lg K)}\quad （若存在\omega_i<1，则低频段延长线过“轴点”）\\ 各转折频率\omega\\ 截止频率\omega_c\\ \end{array}\right.\\ 3.低频段延长线及横轴交点(\sqrt[v]{K},0)\quad \frac{K}{\omega^v}=1\\ 注：\omega_c 已知时，估值A(\omega_c)=1方便解K\\ 灵活推广（坐标点）：A(\omega_1)=10dB $$截止频率计算方法#
$$ G(s)=\frac{K}{s(\frac{s}{\omega_1}+1)(\frac{s}{\omega_2}+1)[(\frac{s}{\omega_3})^2+2\xi\frac{s}{\omega_n}+1]} $$$$ 关键：确定\omega_c范围（若范围已知，则一步到位） $$$$ 确定范围：{\color{blue}转折频率夹逼（便捷）}\\ A(\omega_1)>1,A(\omega_2)<1，则\omega_1<\omega_c<\omega_2\\ 若L(\omega)单减不增， \left\{\begin{array}{l} A(\omega_1)<1，则\omega_c<\omega_1\\ A(\omega_3)>1，则\omega_c>\omega_3 \end{array}\right.\\ \ \\ 计算：试探反解\\ 令A(\omega_c)=\frac{K}{\omega_c\cdot \frac{\omega_c}{\omega_1}}=1，即可解得\omega_c $$$$ 注：考研范围内，{\color{blue}L(\omega)单减不增} $$最小相角系统#
$$ 开环零、极点都在左半s平面或虚轴上 $$$$ 注：L(\omega)已知情况下，最小相角系统确定 $$特殊Nyquist曲线#
$$ 含(s^2+1)环节的系统 $$ $$ G(s)=\frac{k(s^2+1)}{s(s+5)} $$
Nyquist曲线反求传函#
$$ 单位负反馈系统\text{Nyquist}图如下，G(j\sqrt{2})=-j\sqrt{2}，求系统传函 $$
Bode图反求传函典例#
相角裕度稳定题型#
$$ 相角裕度判稳：G(s)=\frac{e^{-3 s}}{s(s+1)}\qquad （主要用相角裕度法） $$$$ 相角裕度反求参数：\\G(s)=\frac{e^{-\tau s}}{s(s+1)}，求稳定的\tau的范围 \left\{\begin{array}{l} A(\omega_c)=1\\ \gamma(\omega_c)=0\degree \end{array}\right.\\ \ \\ G(s)=\frac{Ke^{-2s}}{s},\quad K>0，求稳定的K的范围 \left\{\begin{array}{l} \gamma(\omega_c)=0\degree\\ A(\omega_c)=1 \end{array}\right.\\ \ \\ G(s)=\frac{K}{(\tau s+1)^3},\quad \gamma(\omega_c)=45\degree，求K\left\{\begin{array}{l} \gamma(\omega_c)=180\degree-3\arctan\tau\omega=45\degree\Rightarrow\omega=\frac{1}{\tau}\\ A(\omega_c)=\frac{K}{\sqrt{(j\frac{1}{\tau}\cdot\tau)^2+1^2}^3}=\frac{K}{\sqrt{2}^3}=1 \end{array}\right.\\ 注：用精确A(\omega)计算 $$对数稳定判据典例#
$$ 最小相位系统，判断稳定性 $$
含延迟环节的Nyquist曲线#
$$ 开环传函G(s)=\frac{Ke^{-2s}}{s}，求系统稳定时K的取值范围 $$