离散域#
考情分析#
模拟化校正不考，动态性能不考，动态误差系数法不考
离散域的分析方法很匮乏
离散域“延迟因子”标准型#
$$ G(z)=\frac{0.4z^{-1}(1+0.3z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.5z^{-1})}\qquad(最小拍校正形式；便于获取零极点，负的z^{-1}系数即为零极点) $$$$ 注：物理可实现系统(z的多项式n\geqslant m) $$离散域基本概念#
$$ Z变换定义：E(z)=Z[e^*(t)]=E^*(s)|_{z=e^{Ts}}=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)z^{-n} $$脉冲传递函数#
$$ 零初始条件下，离散系统输出Z变换对输入Z变换之比 $$香农采样定理#
$$ \omega_s=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\geqslant 2\omega_{\max}（连续信号频谱的上限频率）\\ \ \\ 注：\omega_s为角频率，T为周期，f为频率 $$常见函数Z变换#
$$ \delta(t),\delta(t-kT), \ 1(t), \ t, \ \frac{t^2}{2}, \ a^{\frac{t}{T}}, \ e^{-aT} $$ $$ \begin{array}{} f(t)或f(k)& F(z)\\ \delta(t) & 1\\ \delta(t-kT) & z^{-k}\\ 1(t) &\frac{1}{1-z^{-1}} & \frac{z}{z-1}\\ \ \\ t & \frac{Tz^{-1}}{(1-z^{-1})^2} & \frac{Tz}{(z-1)^2}\\ \ \\ \frac{t^2}{2} & \frac{T^2z^{-1}(1+z^{-1})}{2(1-z^{-1})^3} & \frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}\\ \ \\ a^{\frac{t}{T}},a^k & \frac{1}{1-az^{-1}} & \frac{z}{z-a}\\ \ \\ e^{-at},e^{-akT} & \frac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}} & \frac{z}{z-e^{-aT}} \end{array} $$$$ 零阶保持器：Z\left[\frac{1-e^{-Ts}}{s}KG(s)\right]=K(1-z^{-1})Z\left[\frac{G(s)}{s}\right];\qquad Z\left[\frac{1-e^{-Ts}}{s}e^{-Ts}G(s)\right]=z^{-1}(1-z^{-1})Z\left[\frac{G(s)}{s}\right] $$Z变换基本定理#
实质上是对连续信号离散后的信号进行Z变换
$$ 线性性质：\\ Z[a\cdot e_1(t) +b \cdot e_2(t)] = aE_1(z)\pm bE_2(z) $$$$ 实位移定理（延迟、超前）：\\ \left\{ \begin{array}{l} Z[e(t-nT)]=Z^{-n}E(z) \\ Z[e(t+nT)]=Z^n[E(z)-\sum_{k=0}^{n-1}e(kT) \cdot z^{-k}] \end{array} \right. $$$$ 复位移定理：\\ Z[e(t) \cdot e^{\mp at}]=E(z \cdot e^{\pm aT}) $$$$ 初值定理：\\ \lim\limits_{n\to 0}e(n)=\lim\limits_{z\to\infty}E(z) $$$$ 终值定理：\\ \lim\limits_{n\to \infty}e(n)=\lim\limits_{z\to1}(z-1)E(z) $$Z变换#
$$ 部分分式法（通法）：F(s)展开为部分分式，常见函数Z变换对应 $$$$ {\color{grey}}\\ {\color{grey}留数法（单根）： E[z]=\sum \text{Res}[E(s) \cdot \frac{z}{z-e^{Ts}}]\big|_{s=s_i}} \\ {\color{grey}\text{Res}[E(s) \cdot \frac{z}{z-e^{Ts}}]=\lim\limits_{s\to s_i}[(s-s_i) \cdot E(s) \cdot \frac{z}{z-e^{Ts}}]} $$$$ 注：含重根时，留数法可能存在理论问题\\ Z变换的计算考查不会很复杂，无须深究 $$Z反变换#
$$ 部分分式法：\frac{X(z)}{z}展开成部分分式，分母的z乘至部分分式的分子位置\\ \ \\ 注：Z反变换的通式计算考查很简单，一般只考纯单根\\ 部分分式法通用性不强，适用单根，重根一般不易对应时域表达式\quad如\frac{T^2z(1+z)}{2(z-1)^3}\\ $$ $$ 长除法（无穷项）：z^{-1}的升阶长除法 $$离散稳定判定#
$$ 1.特征根判定（二阶解根用韦达定理）：\\ 解D(z)=0的根，单位圆内稳定；单位圆上临界稳定；单位圆外不稳定\\ 2.劳斯判据:双线性变换：z=\frac{\omega+1}{\omega-1}代入D(z)，通分后分子为D^*(\omega)，对D^*(\omega)=0使用劳斯判据即可\\ 3.朱利二阶系统判别，特征多项式D(z)=z^2+a_1z+a_0 \left\{ \begin{array}{} |D(0)|=|a_0|<1\\ D(1)=1+a_1+a_0>0\\ D(-1)=1-a_1+a_0>0 \end{array} \right.\\ 4.\star\star含参数的离散根轨迹与单位圆的关系\star\star $$$$ 注：离散稳定性与连续稳定性无必然联系\\ $$离散域静态误差系数及稳态误差（单位反馈）#
稳态误差计算前提：先判断稳定性
直接用“静态误差系数”计算稳态误差即可
$$ 通法：e_{ss}=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)E(z)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)\cdot R(z)\cdot\Phi_e(z)\\ \ \\ \begin{array}{lll} 静态误差系数：&稳态误差：\\ k_p=\lim\limits_{z\to1}G(z)& e_p(\infty)=\frac{A}{1+k_p}&\frac{A}{1+\lim\limits_{z\to1}G(z)}\\ k_v=\lim\limits_{z\to1}(z-1)G(z)&e_v(\infty)=\frac{AT}{k_v}&\frac{AT}{\lim\limits_{z\to1}(z-1)G(z)}\\ k_a=\lim\limits_{z\to1}(z-1)^2G(z)&e_a(\infty)=\frac{AT^2}{k_a}&\frac{AT^2}{\lim\limits_{z\to1}(z-1)^2G(z)} \end{array} $$$$ 注：离散稳态误差用静态误差系数法一般不失效 $$离散域稳态误差#
稳态误差计算前提：先判断稳定性
用梅森增益公式求传函，“直连项”整体Z变换
$$ e_{ss}=e(\infty)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)E(z)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)\cdot \Phi_e(z)\cdot R(z)\\ e_{ss}=e(\infty)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)E(z)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)\cdot[R(z)-B(z)]\\ e_{ss}=e(\infty)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)E(z)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)\cdot[E_R(z)-E_N(z)]（输入+干扰） $$离散输出与连续输出的关系#
$$ \begin{array}{ll} 连续\to 连续 & 连续\to 离散\\ 离散\to 连续 & 离散\to 离散 \end{array} $$$$ 理论上，离散输出与连续输出有本质区别：（较复杂，适当把握即可）\\ 同一系统（连续或离散化），输入给定“符合”的连续与离散信号，其输出必然不同（激励不同，结果必然不同）\\ 同一信号，给到连续或被离散化的系统（连续信号不被等效为离散），其输出也必然不同（单纯的输出离散化系统除外） $$$$ {\color{blue}脉冲响应不变性}：由于脉冲信号本身可视为连续或离散，且只作用某一时刻；\\ 同一系统（连续或离散化）在脉冲信号激励下，连续或离散化输出一致 $$$$ {\color{blue}除脉冲响应外，其余响应的离散与连续基本不“符合”} $$$$ 注：离散化的系统子环节仍为连续 $$求脉冲传递函数与离散输出#
$$ 列写连续域表达式与传递函数 \left\{ \begin{array}{} 子环节间存在“直线”连通，则一起Z变换\\ 子环节间无“直线”连通，则分开Z变换 \end{array}\right. $$$$ 注：考研范围内，此法均适用， 但事实上存在失效情况\\ 脉冲传递函数可能无法求，输入与内部之间无“开关”，或内部耦合无法相消 $$
极点在z平面分布与瞬态响应的关系#
$$ 重根情形较复杂，{\color{blue}定性理解即可}，考研不涉及计算 $$
离散域中的根轨迹#
$$ 前提：脉冲传递函数存在\\ 根据开环传递函数G(z)画根轨迹，根据极点与单位圆之间的关系判稳\\ $$$$ 注：整理为关于z的多项式 $$最小拍校正#
$$ 标准型：G(z)=\frac{0.4z^{-1}(1+0.3z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.5z^{-1})} $$$$ \Phi(z)=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}\quad 纯延迟因子，G(z)单位圆上、外的零点\\ \Phi_e(z)=\frac{1}{1+D(z)G(z)}\quad 输入分母（z^{-1}形式），G(z)单位圆上、外的极点\\ 注：\Phi_e(z)的“极点因子”与“输入分母因子”{\color{blue}不应叠加}，取阶次高者即可 $$$$ {\color{blue}保证三条原则}：延迟因子，单位圆上、外的零极点，\Phi(z)与\Phi_e(z)为z^{-1}齐次\\ 对应设z^{-1}的多项式，解未知系数 \left\{ \begin{array}{l} \Phi(z)=az^{-1}(1+bz^{-1})\cdots\\ \Phi_e(z)=(1+z^{-1})(1+cz^{-1})\cdots \end{array} \right.\quad \Phi(z)=1-\Phi_e(z)解参数\\ 整体思路：“灵活凑，满足三原则, 灵活设系数”\\ 凑不出来设高阶,\quad a(1+z^{-1})(1+bz^{-1})\\ 调整拍数取决于具体系统，不一定 $$$$ 反解校正传函：D(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z)\Phi_e(z)}\quad $$$$ 注： 最小拍校正需满足\Phi(z)=1-\Phi_e(z)，即无前馈，无输入传函，且单位负反馈；其它情形不考，难以使用 $$无波纹系统#
$$ 无波纹系统（样点间脉动）：采样点间的实际连续系统无波动\\ 结论：判断\Phi(z)是否包含G_d(z)的全部零点，包含则无波纹；否则有波纹 $$离散系统的差分方程或输出#
$$ \Phi(z)=\frac{0.368z^{-1}+0.264z^{-1}}{1-z^{-1}+0.632z^{-1}} $$$$ 差分方程：\\ C(z)=\Phi(z)\cdot R(z)=\frac{0.368z^{-1}+0.264z^{-2}}{1-z^{-1}+0.632z^{-2}}\cdot R(z)\\ (0.368z^{-1}+0.264z^{-2})R(z)=(1-z^{-1}+0.632z^{-2})C(z)\\ 0.368r(n-1)+0.264r(n-2)=c(n)-c(n-1)+0.632c(n-2) $$$$ 系统输出（差分方程代入，或长除法）：\\ C(z)=\Phi(z)\cdot R(z)=\frac{0.368z^{-1}+0.264z^{-2}}{1-z^{-1}+0.632z^{-2}}\cdot \frac{1}{(1-z^{-1})}\\ C(z)=0.368z^{-1}+z^{-2}+1.4z^{-3}+\cdots\\ c(t)=0.368\delta(t-T)+\delta(t-2T)+1.4\delta(t-3T)+\cdots $$已知稳态误差反解参数范围#
