“““非线性系统分析”””#

考情分析#

只考几类典型的非线性特性、非线性校正不考

非线性分析题型方法对应#

$$ \begin{array}{l} 相平面分析\#微分方程 & 相平面分析\#系统框图\\ \ \\ 描述函数法\#微分方程 & 描述函数法\#系统框图 \end{array} $$

奇点（平衡点）#

$$ \ddot{x}+f(x,\dot{x})=0\Leftrightarrow\frac{d\dot{x}}{dx}=-\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}（非所有二阶非线性微分方程均有此形式）\\ \ \\ 奇点(x_0,\dot{x_0})：\\ 满足 \left\{\begin{array}{} \dot{x}=0\\ f(x,\dot{x})=0 \end{array}\right.的点\Leftrightarrow 满足\left\{\begin{array}{} \dot{x}=0\\ \ddot{x}=0 \end{array}\right.的点 $$

$$ 注：线性二阶系统只有一个平衡点（一个奇点），即原点(x,\dot{x}_0)=(0,0) $$

纯滞环继电特性#

$$ u(t)= \left\{ \begin{array}{} M, &e(t)>h;&e>-h,\dot{e}(t)<0\\ -M, &e(t)<-h; &e<h,\dot{e}(t)>0 \end{array} \right. $$

$$ 注：明显存在问题，但各教材统一，记住即可 $$

二阶系统相平面图#

$$相轨迹运动方向： \left\{\begin{array}{} \dot{x}>0&上半平面向右\\ \dot{x}<0&下半平面向左 \end{array} \right.$$ $$\star渐近线：\dot{x}=\lambda_1x,\quad \dot{x}=\lambda_2x$$ $$ 左图微分方程中存在常数时，曲线按奇点平移即可 $$

相平面分析基本概念#

$$ 仅适用于一阶、二阶形如\ddot{x}=f(\dot{x},x)线性，或非系统的分析 $$ $$ 相平面中，当二阶特征方程\xi\geqslant1时，一定不产生极限环 $$

相平面绘制的两大方法#

相轨迹绘制基本只用分段线性化，特别要求时才用等倾斜线法

$$ 分段线性化（解析法）：\\ 形如\ddot{x}+f(x,\dot{x})=0的方程 \ \\ \left\{ \begin{array}{ll} \dot{x}=0\\ \ddot{x}=0 \end{array} \right.代入原方程解x_0, 在奇点(x_0,\dot{x}_0)即(x_0,0)处线性化：\\ s^2+as+b=0\left\{\begin{array}{l} a=\frac{\partial{f}}{\partial{\dot{x}}}\big|_{(x_0,\dot{x}_0)}\\ b=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\big|_{(x_0,\dot{x}_0)} \end{array}\right.\quad 即(x-x_0)''+\frac{\partial{f}}{\partial{\dot{x}}}\big|_{(x_0,\dot{x}_0)}(x-x_0)'+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\big|_{(x_0,\dot{x}_0)}(x-x_0)=0 $$

$$ 等倾斜线法（图解法）：适用范围有限\\ {\color{blue}前提：}可化为等倾斜线方程的形式\\ \ddot{x}+\dot{x}+x=0\qquad {\color{blue}相轨迹方程}\\ 令\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{-\dot{x}-x}{\dot{x}}=\alpha\\ \ \\ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=-\frac{1}{\alpha+1}x（-\frac{1}{\alpha+1}为倾斜线的斜率）\qquad {\color{blue}等倾斜线方程}\\ \ \\ \frac{d\dot{x}}{dx}=\alpha（经过\dot{x}=-\frac{1}{\alpha+1}x倾斜线的曲线斜率为\alpha） \end{array}\right. $$

本质非线性与非本质非线性分析#

$$ 本质非线性系统：未经过线性化处理，准确的相轨迹\\ 例：\ddot{x}+\dot{x}+|x|=0\quad \left\{\begin{array}{l} \ddot{x}+\dot{x}+x=0 & x>0\\ \ddot{x}+\dot{x}-x=0 &x<0 \end{array}\right.\qquad {\color{blue}开关线方程\ x=0} $$

$$ 非本质非线性方程：经过线性化处理，近似的相轨迹\\ 例：\ddot{x}+3\dot{x}+x^2=0\\ 在奇点(0,0)处线性化：\ddot{x}+3\dot{x}=0 $$

非线性微分方程的相平面分析#

$$ 光滑、无法分区间讨论情形：绘制奇点附近的相轨迹\\ 1.\ddot{x}+f(x,\dot{x})=0求奇点(x_0,\dot{x}_0)\\ 2.奇点附近线性化\quad (x-x_0)''+\frac{\partial{f}}{\partial{\dot{x}}}\big|_{(x_0,\dot{x}_0)}(x-x_0)'+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\big|_{(x_0,\dot{x}_0)}(x-x_0)=0\\ 3.拉氏变换求特征根，对比二阶线性系统特征根，判断奇点类型，对应绘制 $$

$$ 划分区域讨论情形：分别绘制不同区间在奇点附近的相轨迹\\ 例：\ddot{x}+\dot{x}+|x|=0\\ \left\{\begin{array}{} \ddot{x}+\dot{x}+x=0 & x\geqslant 0\\ \ddot{x}+\dot{x}-x=0 & x< 0 \end{array} \right. $$

非线性控制框图的相平面分析#

$$ 给定输入r(t)，根据控制系统框图列写：关于误差e的微分方程（探讨e的性质）\\ \left\{\begin{array}{ll} \ddot{e}=0 & |e|<2\\ \ddot{e}+e-2=0 & e>2\\ \ddot{e}+e+2=0 & e<-2 \end{array} \right. \xrightarrow{奇点处线性化} \left\{\begin{array}{lll} s^2=0 &奇点(C,0)& |e|<2\\ s^2+1=0 & 奇点(2,0) & e>2\\ s^2+1=0 & 奇点(-2,0)& e<-2 \end{array} \right.\\ 各区域在对应奇点处分别线性化，得特征方程\\ 利用二阶系统相平面图分段绘制奇点附近的相轨迹\\ 注：当\xi\geqslant1时，奇点附近不存在极限环；否则可能存在 $$

描述函数定义与性质#

$$ 定义：非线性环节在正弦输入f(t)=A\sin\omega t下的基波y(t)=Y\sin(\omega t+\phi)\\ \left\{\begin{array}{} N(A)为一复变函数\\ |N(A)|=\frac{Y}{A},\,\quad \angle N(A)=\phi \end{array}\right. $$

$$ 性质： \left\{\begin{array}{l}N(A)=N_1(A)+N_2(A)\qquad （叠加性质）\\ N(A)\neq N_1(A)\times N_2(A) \end{array}\right.\\ 当非线性特性为单值奇函数时，A_1=0，即N(A)为实数\\ {\color{blue}易混点：y(t)周期仅与\omega有关，与非线性环节无关} $$

$$ 注：非线性环节应为奇对称，保证直流分量A_0为0\\ \ \\{\color{blue}此情形考研不涉及}-当非线性环节包含储能环节，即N特性用微分方程描述时\\ 描述函数才是关于A与\omega的函数，记为N(A,\omega) $$

描述函数的计算#

$$ {\color{blue}一般描述函数N(A)与\omega无关，仅与A有关，输入为x(t)=A\sin t即可} $$

$$ 在正弦输入x(t)=A\sin t{\color{blue}（A>0）}下，根据非线性环节得出y(t)表达式\\ \\ y(t)=A_1\cos t+B_2\sin t=Y\sin( t+\phi)\\ \ \\ \left\{\begin{array}{l} Y=\sqrt{A_1^2+B_1^2}\quad \phi=\arctan\frac{A_1}{B_1}\\ \ \\ N(A)=\frac{B_1+jA_1}{A}=\frac{Y}{A}\angle\phi \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} A_1=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}y(t)\cos t\ dt\\ \ \\ B_1=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}y(t)\sin t\ dt\\ \end{array}\right.（灵活利用奇偶性） $$

$$ 注：物理意义上，t>0，故积分区间应该(0,\quad)\\ $$

典型非线性特性及负倒描述函数#

考试不一定提供描述函数，单值描述函数及其负倒描述曲线均须记忆

$$ 死区特性：N(A)=\frac{2k}{\pi}\left[\frac{\pi}{2}-\arcsin(\frac{a}{A})-\frac{a}{A}\sqrt{1-(\frac{a}{A}^2)}\right]\\ 立方函数(y=x^3)：N(A)=\frac{3}{4}A^2\\ 一般非线性(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^3)：N(A)=\frac{1}{2}+\frac{3}{16}A^2 $$

$$ 注：单值非线性描述函数为实数，多值非线性描述函数为复数\\ 考查多值特性时会补充条件，一般不考 $$

极限环与自持振荡定义#

$$ 离开极限环均在轻微扰动下发生\\ \ \\ 稳定的极限环：t\to \infty时，所有轨迹均收敛于它\\ 不稳定的极限环：t\to \infty时，所有轨迹均远离它\\ 半稳定的极限环：t\to \infty时，部分轨迹收敛于它，部分轨迹远离它 $$

$$ 自持振荡（自激振荡）：\\ 在没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定频率和振幅的周期运动 $$

$$ 注：哈工大教材定义，自持振荡为稳定的极限环(\text{page\ 409}) $$

描述函数法判定自持振荡#

灵活结合使用，考查情形不会太复杂

$$ 传递函数通法\quad \Phi=\frac{G_1}{1+G_1+G_1G_2G_3N(A)}\\ 列写特征方程：D(s)=1+G_1+G_1G_2G_3N(A)=0（未约分直接列写）\\ 利用\frac{G_1G_2G_3}{1+G_1}=-\frac{1}{N(A)}判断\\ 令G=\frac{G_1G_2G_3}{1+G_1}\\ 最小相位系统 \left\{ \begin{array}{l} G(j\omega)不包围-\frac{1}{N(A)} &稳定\\ G(j\omega)包围-\frac{1}{N(A)} & 不稳定\\ G(j\omega)与-\frac{1}{N(A)}相交 & 极限环（可能自持振荡）\\ \end{array}（包围方向等勿要考虑） \right.\\ 非最小相位系统：依据Nyquist判据对应即可（Z=P-2N）\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$

$$ 非线性环节等效标准化（关于稳定性判别的等效）：\\ 按信号流向先等效为一个前向通路的非线性环节（{\color{blue}r=0可忽略}，乱序会导致等效结果不同）\\ 且反馈通路为单位负反馈，等效后用G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}判断 $$

$$ 自持振荡（稳定极限环）判定：由不稳定区域至稳定区域的交点 $$

$$ 注：描述函数法为工程近似方法，{\color{blue}会使用即可}，理论问题不清晰 $$

等效线性部分传函#

$$ 传递函数通法求等效传递函数结果不唯一\\ \Phi(s)=\frac{G_1}{1+G_1+G_1H_1N(A)} \left\{\begin{array}{ll} 前向通路：N(A)\#\frac{G_1}{1+G_1}& 回路：H_1\\ 前向通路：\frac{G_1}{1+G_1} & 回路：N(A)\# H_1 \end{array}\right. $$

自持振荡的振幅与角频率#

$$ -\frac{1}{N(A)}在实轴上（只考此情形）：\\ 令G(j\omega)的虚部为零，解\omega\\ 代入G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}，解A即可 $$

非线性控制框图处理典例1#

$$ 注：r(t)=1(t),\dot{r}=\ddot{r}=0\\ 框图处理的“决断点”在b处，可上升为一般特点，灵活分析 $$

非线性控制框图处理典例2#

$$ 0.5\ddot{c}+\dot{c}=u= \left\{\begin{array}{} 8e_1,&|e_1|<0.5\\ 4,&e_1>0.5\\ -4,&e_1<-0.5 \end{array}\right.\quad 关系式\left\{\begin{array}{l} e_1=-0.5\dot{c}-c\\ c=-e \end{array}\right.\\ 代入整理得：-0.5\ddot{e}-\dot{e}= \left\{\begin{array}{} 0.5\dot{e}+e,& |0.5\dot{e}+e|<0.5\\ 4,& 0.5\dot{e}+e>0.5\\ -4,& 0.5\dot{e}+e<-0.5 \end{array}\right. $$

相轨迹分析系统性能指标#

所见即所得

描述函数法信号关系典例#

$$ 等效处理，线性部分G(s)=\frac{10ke^{-\tau s}}{s(s+2)^2} $$

$$ (1)\quad G(s)=\frac{10k}{s(s+2)^2}\Rightarrow G(j\omega)=\frac{10k}{-4\omega^2+j(4\omega-\omega^3)}\\ 令\text{Im}[G(j\omega)]=0，得\omega=2，此时G(j\omega)=-\frac{5k}{8}\\ \left\{\begin{array}{l} 自振：-\frac{1}{N(A)}=-\frac{5k}{8}\Rightarrow k=\frac{2\pi}{5}A\\ \ \\ 输入振幅：A= \frac{10}{4} \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} k=\pi\\ A=\frac{5}{2} \end{array}\right. $$

$$ (2)\quad G(j\omega)与-\frac{1}{N(A)}相交（即实轴相交）：\\ \varphi(\omega)\big|_{\omega=1}=-90\degree-2\arctan\frac{1}{2}-57.3\degree \tau=-180\degree\Rightarrow \tau=0.643\\ \ \\ G(j)=-\frac{1}{N(A)}=-\frac{5}{8}\pi\Rightarrow -k=-\frac{5\pi}{16}，即k=0.98 $$

$$ 注：c(t)振幅仅在暗示A的大小，不可按频率特性传递分析，按自振G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}解参数即可（理论问题不清晰） $$

微分方程的描述函数分析典例1#

$$ 系统满足方程\ddot{x}+\dot{x}+x-\frac{1}{2}x^3=0 $$

$$ \ddot{x}+\dot{x}+x=-\frac{1}{2}(-x)^3=y\\ \ \\ 等效为两部分 \left\{\begin{array}{l} 线性部分：\ddot{x}+\dot{x}+x=y\Rightarrow G(s)=\frac{X(s)}{Y(s)}=\frac{1}{s^2+s+1} \\ \ \\ 非线性部分：-\frac{1}{2}(-x)^3=y\Rightarrow N(A)=-\frac{1}{2}x^3 \end{array}\right. $$

7-非线性系统分析