横向知识点对比#

稳定判据对比#

$$ 劳斯稳定判据\\ \ \\ \text{Nyquist}稳定判据\\ \ \\ 对数稳定判据\\ \ \\ 相角裕度、幅值裕度 $$

临界稳定反求参数#

$$ \left\{\begin{array}{l} 劳斯判据（全零行）：D(s)=0\\ 特征方程D(j\omega)=0：实部、虚部均为0 ，可解得参数与振荡\omega \end{array}\right. $$

$$ \text{Nyquist}稳定判据：G(j\omega)虚部为0，实部为-1，可解得参数与振荡\omega\quad （分类讨论，具体情况具体分析） $$

备用知识点#

动态性能指标计算器方法#

$$ 使用\textbf{{\color{red}=}}列方程，利用\text{solve}方法解一元方程 $$

典型环节传递函数#

典型问题：已知模型，构造系统

$$ G(s)=-\frac{R_2}{R_1}\qquad G(s)=-\frac{1}{R_1C_1s}\qquad G(s)=-\frac{R_2}{R_1(R_2C_2s+1)} $$

Nyquist稳定判据证明#

$$ F(s)=1+G(s)H(s)=\frac{D(s)}{N(s)} $$

$$ \omega:0\to +\infty \left\{\begin{array}{l} \Delta\angle D(s)=(n-z)\frac{\pi}{2}-z\frac{\pi}{2}=(n-2z)\frac{\pi}{2}\\ \ \\ \Delta\angle N(s)=(n-p)\frac{\pi}{2}-p\frac{\pi}{2}=(n-2p)\frac{\pi}{2}\\ \ \\ \Delta\angle F(s)=(n-2z)\frac{\pi}{2}-(n-2p)\frac{\pi}{2}=(p-z)\pi \end{array}\right.故Z=P-2N_1（N_1表示包围圈数，逆正顺负） $$

$$ \omega:-\infty\to +\infty \left\{\begin{array}{l} \Delta\angle D(s)=(n-z)\pi-z\pi=(n-2z)\pi\\ \ \\ \Delta\angle N(s)=(n-p)\pi-p\pi=(n-2p)\pi\\ \ \\ \Delta\angle F(s)=(n-2z)\pi-(n-2p)\pi=(p-z)2\pi \end{array}\right.故Z=P-N_2（N_2表示包围圈数，逆正顺负） $$

二阶开环频域特性及闭环性能#

$$ 对数特性公式 \left\{\begin{array}{l} \gamma=\arctan\frac{2\xi}{\sqrt{\sqrt{1+4\xi^4}-2\xi^2}}\\ \omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\xi^4}-2\xi^2} \end{array}\right.\\ \gamma一定时，\omega_c越大，闭环系统快速性越好，t_s,t_p越小\\ \omega_c一定时，\gamma越大，闭环系统平稳性越好，\sigma\%越小 $$

Bode图折线原理#

完整代表系统折线

$$ G(s)=\frac{6}{s(\frac{s}{10}+1)[(\frac{s}{100})^2+\frac{s}{100}+1]} $$

$$ 0<\omega<10： \left\{\begin{array}{rl} L(\omega)&=20\lg\frac{6}{\omega}\\ &=\underline{20\lg6}-20\lg\omega\\ \ \\ &A(\omega)\approx\frac{6}{\omega} \end{array}\right. $$

$$ 10<\omega<100： \left\{\begin{array}{rl} L(\omega)&=20\lg\frac{6}{\omega\cdot\frac{\omega}{10}}\\ &=20\lg6-20\lg\omega-20\lg\frac{\omega}{10}\\ &=\underline{20\lg6}-20\lg\omega-20\lg\omega+\underline{20\lg{10}}\\ \ \\ &A(\omega)\approx\frac{6}{\omega\cdot\frac{\omega}{10}} \end{array}\right. $$

$$ \omega>100： \left\{\begin{array}{rl} L(\omega)&=20\lg\frac{6}{\omega\cdot\frac{\omega}{10}\cdot(\frac{\omega}{100})^2}\\ &=20\lg6-20\lg\omega-20\lg\frac{\omega}{10}-20\lg(\frac{\omega}{100})^2\\ &=\underline{20\lg6}-20\lg\omega-20\lg\omega+\underline{20\lg{10}}-40\lg\omega+\underline{40\lg100}\\ \ \\ &A(\omega)\approx\frac{6}{\omega\cdot\frac{\omega}{10}\cdot(\frac{\omega}{100})^2} \end{array}\right. $$

$$ 注：“元变化率”：-20\lg\omega\\ 分段折线过点(1,\sum “\_\_”)\\ 二阶振荡环节[(\frac{s}{\omega_n})^2+2\xi \frac{s}{\omega_n }+1]折线视作[(\frac{s}{\omega_n})^2+1]处理\\ {\color{blue}A(\omega)表示幅频} $$

截止频率范围确定补充#

$$ G(s)=\frac{K}{s(\frac{s}{\omega_1}+1)(\frac{s}{\omega_2}+1)[(\frac{s}{\omega_3})^2+2\xi\frac{s}{\omega_n}+1]} $$

$$ 试探反解：令A(\omega_c)=\frac{K}{\omega_c\cdot \frac{\omega_c}{\omega_1}}=1，若\omega_1<\omega_c<\omega_2，即为所求\\ 若L(\omega)单减不增， \left.\begin{array}{l} \omega_c<\omega_1\\ \omega_c>\omega_2 \end{array}\right\}即为所求，需另确定范围 $$

朱利稳定判据#

稳定要求、朱利表列法

$$ 稳定要求：\\ 1.D(1)>0\\ 2. 最高次幂：\left\{\begin{array}{}奇数，D(-1)<0\\偶数，D(-1)>0\end{array}\right.\\ 3. 朱利表第一组首列"<"，其余行首列">" $$

$$ 朱利表列法（剩三列为止）：\\ \begin{array}{} & Z^0 & Z^1 & Z^2 & Z^3 \\ 1 & -39 & 119 & -117 & 45 \\ 2 & 45 & -117 & 119 & -39 \\ \\ 3 & \underbrace{ \left|\begin{array}{} -39 & 45 \\ 45 & -39 \end{array}\right|}_{-504} & \underbrace{\left|\begin{array}{} -39 & -117\\ 45 & 119 \end{array}\right|}_{624} & \underbrace{\left|\begin{array}{} -39 & 119\\ 45 & -117 \end{array}\right|}_{-792}\\ \ \\ 4 &-792 & 624 &-504 \\ \\ 5 & \cdots \end{array} $$

Z正反变换留数法#

怀疑此方法有问题

$$ Z变换：\text{Res}[E(s) \cdot \frac{z}{z-e^{Ts}}]=\frac{1}{(r-1)!}\lim\limits_{s\to s_i}\frac{d^{r-1}}{ds^{r-1}}[(s-s_i)^r \cdot E(s) \cdot \frac{z}{z-e^{Ts}}]（对s求导，z视作常数） $$

$$ Z反变换：\\ 单根\text{ Res}[E(z)z^{n-1}]=\lim\limits_{z\to z_i}[(z-z_i) \cdot E(z) \cdot z^{n-1}]\\ 重根\text{ Res}[E(z)z^{n-1}]=\frac{1}{(r-1)!}\lim\limits_{z\to z_i}\frac{d^{r-1}}{dz^{r-1}}[(z-z_i)^r \cdot E(z) \cdot z^{n-1}] $$

$$ 注：具体原理未知，且与部分分式所得结果不同 $$

离散根输出求解#

$$ Y(z)=\Phi(z)R(z)=\frac{k\prod_{i=1}^m(z-z_i)}{\prod_{j=1}^n(z-p_j)}\frac{z}{z-1}\\ 当特征方程{\color{blue}无重根时}：Y(z)=\frac{Az}{z-1}+\sum_{j=1}^n\frac{B_j z}{z-p_j}\\ 瞬态分量\left\{ \begin{array}{l} 实根：y(kT)=\sum_{j=1}^nB_j\ p_j^k\\ \ \\ 复根（偏，无须掌握）：y(kT)=\sum_{j=1}^nC_j\lambda_j^k\cos(k\theta_j+\phi_j)\\ p_j=a\pm jb\quad\lambda_j=\sqrt{a^2+b^2}=|p_j|\quad\theta_j=\arctan\frac{b}{a} \end{array} \right. $$

离散系统频率分析法#

方法简单，但原理未知，考频低，姑且搁置

$$ G(z)=K\frac{0.368(z+0.7)}{z^2-1.368z+0.368}利用频率分析系统稳定性 $$

相平面分析典例#

$$ 典例（难点）：摩擦非线性特性的随动系统，速度反馈的非线性控制系统 $$

自持振荡的必要条件#

$$ \frac{N(A)G(j\omega)R}{1+N(A)G(j\omega)}=C \longrightarrow [N(A)\cdot G(j\omega)+1 ]C=N(A)\cdot G(j\omega)R\\ R=0且t\to \infty时（激励响应消失）\\ C\neq0且[N(A)\cdot G(j\omega)+1]=0 \Leftrightarrow 系统存在极限环\\ \ \\ \ [N(A)\cdot G(j\omega)+1]=0为自持振荡的必要条件 $$

傅里叶公式推演#

$$ A_1=\frac{1}{l}\int_0^{2l}y(t)\cdot\cos\frac{\pi}{l} t\ dt\xlongequal{\omega=\frac{\pi}{l}}\frac{\omega}{\pi}\int_0^\frac{2\pi}{\omega}y(t)\cos\omega t\ dt=\underbrace{\frac{1}{\pi}\int_0^\frac{2\pi}{\omega}y(t)\cos\omega t\ d(\omega t) \xlongequal{u=\omega t}\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}y(\frac{u}{\omega})\cos u\ du}_{规范步骤} $$

离散稳定性的频率判别法#

$$ 双线性变换z=\frac{w+1}{w-1}后，w视作s，对G(w)利用\text{Nyquist}判据或相角裕度判稳 $$

$$ 注：未见考点姑且搁置 $$

拓展知识点#

欧拉公式

$$ a+bj=re^{j\theta} \left\{\begin{array}{} r=\sqrt{a^2+b^2}\\ \theta=\arctan\frac{b}{a} \end{array} \right. $$

长除法#

$$ 升阶长除法：商的阶数逐项递增\\ 降阶长除法：商的阶数逐项递减 $$

计算问题#

不可使用计算器问题#

$$ 情形一：数值会特别设置，便于计算\\ 部分计算方式不统一的情形，也要灵活观察，选择题目暗示的计算方式 $$

$$ 情形二：数值确实较特殊，试卷会特别提供计算结果\\ 也应注意观察，依照数值暗示进行计算，勿臆定 $$

8-其他