状态空间表达式#
考情分析#
线性系统离散化不考
连续、离散系统的表达式#
$$ 连续：\begin{array}{l} \dot{x} =Ax + Bu \\ y=Cx+Du \end{array}（系统矩阵A为方阵） $$$$ 离散：\begin{array}{l} x(k+1) =Gx(k) +Hu(k)\\ y(k)=Cx(k)+Du(k) \end{array}\\ $$连续系统与离散系统对比#
总括衍生，离散系统考查较弱
$$ 离散系统与连续系统诸多性质极其相似： $$$$ \left.\begin{array}{}系统实现相通\\ 非奇异变换相通 \end{array}\right\} “积分元”\frac{1}{s}对应“延迟元”z^{-1}(T) \quad \#\quad \frac{\frac{1}{s}}{1+\frac{\lambda}{s}}对应\frac{\frac{1}{z}}{1+\frac{\lambda}{z}} $$$$ \mathscr{L}变换对应Z变换 $$$$ 传递函数阵计算公式（零初始条件）：\\ \left\{\begin{array}{l} sX(s) =AX(s)+ BU(s) \\ Y(s)=CX(s) \end{array}\right.\Rightarrow Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(z)\\ \ \\ \left\{\begin{array}{l} zX(z)=GX(z)+HU(z)\\ Y(z)=CX(z) \end{array}\right.\Rightarrow Y(z)=C(zI-G)^{-1}HU(z)\\ 注：根据状态空间表达式，计算离散、连续传递函数仅字母有异 $$非奇异变换及其性质#
$$ 状态空间表达式非唯一，线性变换系统等价\\ 连续：\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du \end{array} \right.\xrightarrow{x=Tz,\quad z=T^{-1}x} \left\{ \begin{array}{l} \dot{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu\\ y=CTz+Du \end{array} \right. $$$$ 性质：\\ 不改变系统传递函数阵\\ 不改变特征方程、特征值\\ 不改变能控、能观性 $$SISO能控标准Ⅰ型实现#
离散系统实现同理
$$ {\color{blue}分母为首“1”型}\\ W(s)=\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=b_n+\frac{(b_{n-1}-a_{n-1}b_n)s^{n-1}+\cdots+(b_1-a_1b_n)s+(b_0-a_0b_n)}{s^n+a_{n-1}s^{n-1} +\cdots+a_1s+a_0}\\ 友矩阵： A= \begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0 \\ 0&0&1&\cdots&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&0&\cdots&1 \\ -a_0&-a_1&-a_2&\cdots &-a_{n-1} \end{pmatrix}\qquad b=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \ \\ c=((b_0-a_0b_n),(b_1-a_1b_n),\cdots,(b_{n-1}-a_{n-1}b_n))\qquad d=b_n $$$$ 注：连续、离散系统传递函数实现一致\\ 若分子阶次低于分母，则c仅由b_0,b_1,\cdots,b_{n-1}顺序构成 $$SISO能观标准Ⅰ型实现#
离散系统实现同理
$$ W(s)=\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\\ 友矩阵： A= \begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0 \\ 0&0&1&\cdots&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&0&\cdots&1 \\ -a_0&-a_1&-a_2&\cdots &-a_{n-1} \end{pmatrix}\qquad b=\begin{pmatrix} \beta_{n-1}\\ \beta_{n-2}\\ \vdots \\ \beta_1\\ \beta_0 \end{pmatrix}\\ \ \\ c=(1,0,\cdots,0,0)\qquad d=\beta_n\\ \ \\ \begin{pmatrix} 1 \\ a_{n-1}&1&&\text{{\huge 0}} \\ a_{n-2}&a_{n-1}&1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots \\ a_0&a_1&\cdots &a_{n-1}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_n\\ \beta_{n-1}\\ \beta_{n-2}\\ \vdots \\ \beta_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{} b_n\\ b_{n-1}\\ b_{n-2}\\ \vdots\\ b_0 \end{pmatrix}\qquad （按行计算，一般不超三阶） $$$$ 注：连续、离散系统传递函数实现一致\\ 能观标准Ⅰ型实现的计算矩阵为n+1维；能观标准Ⅰ型的变换矩阵为n维 $$MIMO系统能控、能观标准型实现#
$$ W(s)=\boldsymbol\beta_n+\frac{\boldsymbol\beta_{n-1}s^{n-1}+\boldsymbol\beta_{n-2}s^{n-2}+\cdots+\boldsymbol\beta_1s+\boldsymbol\beta_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\quad （\beta_n提取与\text{SISO}方式一致）\\ \boldsymbol\beta_{n-1},\boldsymbol\beta_{n-2},\cdots,\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_0为m\times r为矩阵，m为输出矢量的维数，r为输入矢量的维数 $$$$ 能控标准Ⅰ型：\\ A= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_r&\textbf{I}_r&\mathbf{0}_r&\cdots&\mathbf{0}_r \\ \mathbf{0}_r&\mathbf{0}_r&\textbf{I}_r&\cdots&\mathbf{0}_r \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \mathbf{0}_r&\mathbf{0}_r&\mathbf{0}_r&\cdots&\textbf{I}_r \\ -a_0\textbf{I}_r&-a_1\textbf{I}_r&-a_2\textbf{I}_r&\cdots &-a_{n-1}\textbf{I}_r \end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix} \mathbf{0}_r\\ \mathbf{0}_r\\ \vdots \\ \mathbf{0}_r \\ \textbf{I}_r \end{pmatrix}\\ \ \\ C=(\boldsymbol\beta_0,\boldsymbol\beta_1,\cdots,\boldsymbol\beta_{n-1})\quad D=\boldsymbol\beta_n $$$$ 能观标准Ⅱ型：\\ A= \begin{pmatrix} \mathbf{0}_m&\mathbf{0}_m&\cdots&\mathbf{0}_m& -a_0\textbf{I}_m\\ \textbf{I}_m&\mathbf{0}_m&\cdots&\mathbf{0}_m&-a_1\textbf{I}_m \\ \mathbf{0}_m&\textbf{I}_m&\cdots&\mathbf{0}_m &-a_2\textbf{I}_m\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots &\vdots\\ \mathbf{0}_m&\mathbf{0}_m&\cdots&\textbf{I}_m &-a_{n-1}\textbf{I}_m\\ \end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix} \boldsymbol\beta_0\\ \boldsymbol\beta_1\\ \boldsymbol\beta_2\\ \vdots\\ \boldsymbol\beta_{n-1} \end{pmatrix}\\ \ \\ C=(\mathbf{0}_m, \mathbf{0}_m, \cdots , \mathbf{0}_m, \textbf{I}_m)\quad D=\boldsymbol\beta_n $$$$ 注：能控标准Ⅰ型与能观标准Ⅱ型不是简单转置关系 $$约旦标准型实现#
离散系统实现同理
$$ 思路：传递函数因式分解 $$$$ 单根：G(s)=\frac{a}{s-\lambda_1}+\frac{b}{s-\lambda_2}+\frac{c}{s-\lambda_3}+\cdots\\ A= \left(\begin{array}{l} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\lambda_3 \end{array}\right)\quad b= \left(\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\\ \ c= \left(\begin{array}{l} a & b & c \end{array}\right)\\ 或A= \left(\begin{array}{l} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\lambda_3 \end{array}\right)\quad b= \left(\begin{array}{l} a\\ b\\ c \end{array}\right)\\ \ c= \left(\begin{array}{l} 1 & 1 & 1 \end{array}\right) $$$$ 重根：G(s)=\frac{a}{(s-\lambda_1)^3}+\frac{b}{(s-\lambda_1)^2}+\frac{c}{(s-\lambda_1)}\\ A= \left(\begin{array}{l} \lambda_1&1\\ &\lambda_1&1\\ &&\lambda_1 \end{array}\right)\quad b= \left(\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\\ \ c= \left(\begin{array}{l} a&b&c \end{array}\right) $$$$ 注：同时含有单根、复根，矩阵拼接即可\\ {\color{blue}只考查输入一维系统} $$约旦标准型#
$$ 定义：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其余都是零\\主对角线上方的对角线的系数若不为0只能为1，且这1左方和下方的系数（都在主对角线上）有相同的值\\ \ \\ 即\quad约旦标准型的对角元素为矩阵特征值\lambda_i，紧邻对角线的上方元素为0或1，其余元素均为0 $$$$ 性质：\\ 1.任何矩阵均可约旦对角化\\ 2.约旦标准型中，重特征值有可能对应多个子约旦块（此类矩阵不考）\\ {\color{blue}某重特征值对应的几何重数=此特征向量对应的子约旦块个数}\\ 例： \left( \begin{array}{} 3 & 1 & -1\\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{array} \right)\quad \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=2\\ A的约旦标准型为\left( \begin{array}{} 2 &0&0\\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) $$约旦标准型的变换阵#
$$ 单特征值：求特征矢量即可\\ x=Tz\qquad T=(P_1,P_2,\dots, P_n) $$$$ 重特征值(单根部分用单根方法求)：\\ 此法由“单一标准型”反推得，仅可求重特征值仅对应一个约旦块情形\\ \lambda_1P_1-AP_1=0\qquad {\color{blue}（P_1只能是一维特征向量，即几何重数为1）}\\ \lambda_1P_2-AP_2=-P_1\\ \qquad\qquad\ \vdots\\ \lambda_1P_q-AP_q=-P_{q-1}\\ $$$$ 注： 对角线标准型即为特征根均互异的约旦标准型 $$传递函数阵及其性质#
离散系统同理
$$ 传递函数阵：\left\{\begin{array}{ll} W_{ux}(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=(sI-A)^{-1}b & W_{ux}(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=(sI-A)^{-1}B\\ \ \\ W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=c(sI-A)^{-1}b+d & W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D \end{array}\right. $$$$ 子系统组合的传递函数阵：\\ 并联连接：W(s)=W_1(s)\pm W_2(s)\\ 串联连接：W(s)=W_2(s) W_1(s)\quad （注意次序，“后”乘“前”；\quad 输入、输出维数对应）\\ 负反馈连接： \left\{\begin{array}{} W(s)=W_1(s)[I+W_2(s)W_1(s)]^{-1}\\ W(s)=[I+W_1(s)W_2(s)]^{-1}W_1(s) \end{array}\right.\quad （注意次序\quad 1,2,1；\quad W_1(s)，W_2(s)维数对偶） $$模拟结构图绘制典例#
$$ \left.\begin{array}{l} 能控标准型\\ 能观标准型 \end{array}\right\}关键在系统的友矩阵绘制， \left\{\begin{array}{} A(x_n\to x_1\ +\ “归首”)\\ A^T(x_1\to x_n\ +\ “尾散”) \end{array}\right.b,c直接引出即可 $$$$ 约旦标准型：\\ 系统矩阵绘制 \left\{\begin{array}{l} 单根：独立\\ 重根：x_n\to x_1\ +\ “元回路” \end{array}\right.\quad 正反馈系数对应特征值\lambda；\quad b,c直接引出即可 $$$$ 一般结构图：关键在确定状态变量先后关系（最多三阶，考查不会复杂） $$状态变量选取及状态空间表达式建立#
整理思路：列写所有变量关系，消去中间变量
$$ 一阶环节 \frac{1}{s},\quad\frac{s-1}{s+2},\quad \frac{3}{0.5s+1}\\ 每个一阶环节后对应一个状态变量\\ 变量间关系“去分式”后对应：\\ X_2=\frac{s-1}{s+2}X_1\\ X_2(s+2)=(s-1)X_1\longrightarrow \dot{x}_2+2x_2=\dot{x}_1-x_1\\ 等式整理合并为 \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=Ax+bu\\ y=cx \end{array}\right.变量对应绘制模拟结构图即可 $$$$ 注：线性系统均可消元整理出来 $$约旦标准化（对角化）题型#
各有特点，灵活运用
$$ 系统实现：求出传递函数G(s)=c(sI-A)^{-1}b\\ 因式分解(\frac{a}{s-\lambda_1}+\frac{b}{s-\lambda_2}+\cdots)，利用约旦标准型实现进行标准化\\ $$ $$ 约旦变换：计算变换矩阵x=Tz进行线性变换\\ \overline{A}=T^{-1}AT \quad \overline{b}=T^{-1}b\quad \overline{c}=cT $$