状态空间表达式的解#
连续状态转移矩阵及其性质#
$$ 定义：x(t)=\Phi(t)x_0=e^{At}x_0\\ e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+\cdots+\frac{1}{n!}A^nt^n+\cdots $$$$ \begin{array}{ll} 性质一：\Phi(t)\Phi(\tau)=\Phi(t+\tau)\quad & 即e^{At}e^{A\tau}=e^{A(T+\tau)}\\ \ \\ 性质二：\Phi(t-t)=I\quad &即e^{A(t-t)}=\Phi(0)=I\\ \ \\ 性质三：[\Phi(t)]^{-1}=\Phi(-t)\quad &即[e^{At}]^{-1}=e^{-At}\\ \ \\ 性质四：\dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)=\Phi(t)A & \dot{\Phi}(0)=A\\ \ \\ 性质五：当且仅当AB=BA时，e^{At}e^{Bt}=e^{(A+B)t} &（对于n\times n方阵A,B） \end{array} $$$$ 注：e^{At}为一种记法，与指数运算高度统一 $$状态转移矩阵的计算#
考研考查最多三维矩阵，灵活选择使用
$$ 变换为对角线标准型：T^{-1}AT=\Lambda\\ {\color{blue}前提：可相似对角化}\\ \Phi(t)=e^{At}=T(I+\Lambda t+\frac{1}{2!}\Lambda^2t^2+\cdots+\frac{1}{n!}\Lambda^nt^n+\cdots)T^{-1}= T \left( \begin{array}{} e^{\lambda_1t}&\\ &e^{\lambda_2t}\\ &&\ddots\\ &&&e^{\lambda_nt} \end{array} \right) T^{-1} $$ $$ 拉氏反变换（阶次\leqslant 3时）：e^{At}=\mathscr{L^{-1}}[(sI-A)^{-1}]\quad （实则对矩阵中元素\mathscr{L}^{-1}）\\ sX(s)-x(0)=AX(s)\\ x(t)=\mathscr{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0) $$线性定常非齐次的解#
$$ x(t)=\underbrace{\Phi(t)x(0)}_{初始状态转移}+\underbrace{\int_0^t\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau}_{激励状态转移}\quad (实则对矩阵中元素积分) $$$$ 推导：sX-x(0) =AX(s) + BU(s) \\ \Rightarrow (sI-A)X(s)=x(0)+BU(s)\\ \Rightarrow X(s)= (sI-A)^{-1}x(0)+ \underbrace{(sI-A)^{-1}BU(s)}_{\mathscr{L}^{-1}略} $$离散定常非齐次的解#
$$ \begin{array}{rl} x(k)&=\underbrace{G^kx(0)}_{初始状态转移}+\underbrace{\sum_{j=0}^{k-1}G^{(k-1)-j}Hu(j)}_{激励状态转移}\\ \ \\ &=G^{k}x(0)+G^{k-1}Hu(0)+G^{k-2}Hu(1)+\cdots++GHu(k-2)+Hu(k-1) \end{array} $$状态转移矩阵反解系统#
考查状态转移矩阵的性质
求解状态转移矩阵典例#
