““能控性能观性””#
能控、能观性定义#
$$ u(t)对状态矢量x(t)的控制性（对任意状态均能控，则系统能控）：\\ 存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态x(t_0)，转移至指定的任意终端状态x(t) $$$$ y(t)对状态矢量x(t)的观测性（对任意状态均能观，则系统能观）：\\ 对任意给定的u，在有限观测时间内t_f>t_0，使得根据[t_0,t_f]期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t_0)\\ $$离散化对系统性能影响#
$$ 1. 能控或能观的连续系统，离散化后不一定能保持其能控或能观性\\ 2. 不能控或不能观的系统，无论采样周期如何选择，离散化后一定不能控或不能观 $$能控、能观的判定方法#
$$ 是否友矩阵标准型（四类）\\ \ \\ 约旦标准型判据（记，勿深究）\\ \ \\ 能控、能观判别矩阵行、列满秩（核心）\\ \ \\ \text{SISO}系统c(sI-A)^{-1}b，(sI-A)^{-1}b是否零极点对消 $$友矩阵标准型判定#
$$ 系统矩阵A为友矩阵或其转置，对应b,c也应为标准型\\ 观测量，控制量多了不一定能控、能观 $$能控性、能观性判别矩阵#
$$ 行满秩即能控：\\ M=(b, Ab, A^2b, \cdots, A^{n-1}b)\\ M=(B, AB, A^2B, \cdots, A^{n-1}B)\\ M=(H, GH, G^2H, \cdots, G^{n-1}H) $$$$ 列满秩即能观：\\ N=\begin{pmatrix} c \\ cA \\ \vdots \\ cA^{n-1} \end{pmatrix}\quad N=\begin{pmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}\quad N=\begin{pmatrix} C \\ CG \\ \vdots \\ CG^{n-1} \end{pmatrix} $$约旦标准型判断能控、能观#
结论可能存在问题，建议用判别矩阵
$$ 能控性：\\ 互异特征值：每个特征值对应的B阵的各行元素均不全为0，{\color{grey}且线性无关}\\ 相同特征值：对于某重特征值，属于该特征值的各子约旦块的最后一行所对应的B的行均不全为0，且线性无关\\ \ \\ 能观性：\\ 互异特征值：每个特征值对应的C阵的各列元素均不全为0\\ 相同特征值：对于某重特征值，属于该特征值的各子约旦块的首列所对应的C的列均不全为0，且线性无关 $$$$ 注：零向量与其本身线性相关，零向量与任何向量线性相关\\ 重特征值多个约旦块，B为单列（或C为单行），必线性相关 $$输出能控性判别矩阵#
$$ u(t)对y(t)的能控性\\\\ 行满秩即能控： M=(CB,CAB,CA^2B,\cdots,CA^{n-1}B,D) $$零极点对消#
$$ W(s)=c(sI-A)^{-1}b\\ (sI-A)^{-1}=\frac{(sI-A)^*}{|sI-A|} \left\{ \begin{array}{l} 若无零极点对消，分母为s的n阶多项式\\ 若存在零极点对消，分母阶次小于n \end{array} \right. $$能控、能观的充分必要条件#
$$ \Sigma(A,B,C)为最小实现\Leftrightarrow 系统能控且能观\\ \ \\ 单输入系统\Sigma(A,b,c)能控的充分必要条件：\\ W_{ux}=(sI-A)^{-1}b\ 无零极点对消\\ \ \\ 单输入单输出系统\Sigma(A,b,c)能控能观的充分必要条件：\\ W(s)=c(sI-A)^{-1}b\ 无零极点对消 $$$$ 注：多输入多输出系统C(sI-A)^{-1}B无零极点对消\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\ 系统\Sigma(A,B,C)能控能观（最小实现） $$最小实现部分#
$$ 寻找系统\Sigma(A,B,C)最小实现的方法：找出完全能控且能观的部分 $$系统的对偶关系与性质#
$$ 系统\Sigma_1\left\{\begin{array}{l} \dot{x_1}=A_1x_1+B_1u_1\\ y_1=C_1x_1 \end{array}{} \right.\qquad 系统\Sigma_2\left\{\begin{array}{l} \dot{x_2}=A_2x_2+B_2u_2\\ y_2=C_2x_2 \end{array}{} \right.\\ \ \\ 系统\Sigma_1与\Sigma_2互为对偶: A_2=A_1^T\qquad B_2=C_1^T\qquad C_2=B_1^T $$$$ 性质：\\ 对偶系统的传递函数矩阵互为转置\\ \Sigma_1的能控性（能观性）等价于\Sigma_2的能观性（能控性） $$能控标准Ⅰ型与能观标准Ⅱ型#
前提：判定系统能控、能观
$$ \begin{array}{ll} 能控标准Ⅰ型：&能观标准Ⅱ型：\\ \overline{A}=T^{-1}_{c1}AT_{c1}= \begin{pmatrix} 0&1&\cdots&0&0 \\ 0&0&\cdots&0&0 \\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&0&1 \\ -a_0&-a_1&\cdots &-a_{n-2}&-a_{n-1} \end{pmatrix} & \overline{A}=T^{-1}_{o2}AT_{o2}= \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0 \\ 1&0&\cdots&0&-a_1 \\ 0&1&\cdots&0&-a_2 \\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\ 0&0&\cdots &1&-a_{n-1} \end{pmatrix}\\ \overline{b}=T^{-1}_{c1}b= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} & \overline{b}=T^{-1}_{o2}b= \begin{pmatrix} \beta_0\\ \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_{n-1} \end{pmatrix} \\ \overline{c}=cT_{c1}=(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-1}) & \overline{c}=cT_{o2}=(0, 0, 0, \cdots, 1)\\ \ \\ T_{c1}=(A^{n-1}b, A^{n-2}b, \dots, Ab, b) \begin{pmatrix} 1 \\ a_{n-1}&1&&\text{{\huge 0}} \\ \vdots&\vdots&\ddots \\ a_2&a_3&\cdots&1 \\ a_1&a_2&\cdots &a_{n-1}&1 \end{pmatrix} & T_{o2}^{-1}= \begin{pmatrix} 1&a_{n-1}&\cdots&a_2&a_1\\ &1&\cdots&a_3&a_2 \\ &&\ddots&\vdots&\vdots \\ &\text{{\huge 0}}&&1&a_{n-1} \\ &&&&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cA^{n-1}\\ cA^{n-2}\\ \vdots\\ cA\\ c \end{pmatrix} \end{array} $$ $$ 标准化步骤： \left\{\begin{array}{l} 1.特征多项式|\lambda I-A|=0求得a_i\\ 2. 计算变换矩阵T \end{array}\right. $$$$ 注：(cT_{c1})^T=T_{o2}^{-1}b\\ 能观标准Ⅰ型实现的计算矩阵为n+1维\\ 能控标准Ⅰ型的变换矩阵为n维 $$能观标准Ⅰ型与能控标准Ⅱ型#
前提：判定能控、能观
$$ \begin{array}{ll} 能观标准Ⅰ型：&能控标准Ⅱ型：\\ \overline{A}=T^{-1}_{o1}AT_{o1}= \begin{pmatrix} 0&1&\cdots&0&0 \\ 0&0&\cdots&0&0 \\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&0&1 \\ -a_0&-a_1&\cdots &-a_{n-2}&-a_{n-1} \end{pmatrix} & \overline{A}=T^{-1}_{c2}AT_{c2}= \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0 \\ 1&0&\cdots&0&-a_1 \\ 0&1&\cdots&0&-a_2 \\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\ 0&0&\cdots &1&-a_{n-1} \end{pmatrix}\\ \overline{b}=T^{-1}_{o1}b= \begin{pmatrix} \beta_0\\ \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_{n-1} \end{pmatrix} & \overline{b}=T^{-1}_{c2}b= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \overline{c}=cT_{o1}=(1, 0, 0, \cdots, 0)&\overline{c}=cT_{c2}=(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-1})\\ \ \\ T_{o1}^{-1}= \begin{pmatrix} c\\ cA\\ \vdots\\ cA^{n-1} \end{pmatrix}& T_{c2}=(b, Ab, \cdots, A^{n-1}b) \end{array} $$$$ 注：(\overline{c})^T=\overline{b}，即(cT_{c2})^T=T_{o1}^{-1}b $$能控、能观标准化题型#
$$ 若仅求标准型，直接求W(s)，利用\text{SISO}系统实现更快捷（标准化的通用方法较繁琐） $$$$ 注：能控、能观标准化的考查仅为\text{SISO}系统，且阶数\leqslant3 $$能控性、能观性分解#
能控、能观的分解与能观I型、能控Ⅱ型的标准化本质相似（较深不必深究）
$$ \begin{array}{ll} 能控性分解：&能观性分解：\\ 标准形式：& 标准形式：\\ \widehat{A}=R^{-1}_c AR_c= \begin{pmatrix} \widehat{A}_{11} & \widehat{A}_{12} \\ \\ 0 & \widehat{A}_{22} \end{pmatrix} & \widehat{A}=R^{-1}_o AR_o= \begin{pmatrix} \widehat{A}_{11} & 0\\ \\ \widehat{A}_{21} & \widehat{A}_{22} \end{pmatrix}\\ \widehat{B}=R^{-1}_{c}B= \begin{pmatrix} \widehat{B}_1 \\ \\ \hdashline \\ 0 \end{pmatrix} & \widehat{B}=R^{-1}_0B= \begin{pmatrix} \widehat{B}_1 \\ \\ \hdashline \\ \widehat{B}_2 \end{pmatrix}\\ \widehat{C}=CR_c= \left( \begin{array}{c:c} \widehat{C}_1 & \widehat{C}_2 \end{array} \right) & \widehat{C}=CR_0= \left( \begin{array}{c:c} \widehat{C}_1 &0 \end{array} \right)\\ \ \\ 变换矩阵：R_c=(R_1, R_2, \cdots, R_{n_c}, \cdots, R_n) & 变换矩阵：R^{-1}_o= \begin{pmatrix} R_1\\ R_2\\ \vdots \\ R_{n_o} \\ \vdots \\ R_n \end{pmatrix}\\ \begin{array}{l} 前n_c个列矢量是能控性判别阵M的n_c个线性无关的列\\ 其余n-n_c个列矢量保证变换矩阵可逆即可 \end{array} & \begin{array}{l} 前n_o个行矢量是能观性判别阵N的n_o个线性无关的行\\ 其余n-n_o个行矢量保证变换矩阵可逆即可 \end{array}\\ \ \\ \Sigma(\widehat{A}_{11},\widehat{B}_1,\widehat{C}_1)能控 \qquad{\color{blue}（能控子系统维数为n_c）}& \Sigma(\widehat{A}_{11},\widehat{B}_1,\widehat{C}_1)能观\qquad {\color{blue}（能观子系统维数为n_o）} \end{array} $$ $$ 注：{\color{blue}涉及矩阵运算很多，R^{-1},R；考查不会超过三阶}\\ 对角线上为子系统，A下标从后往前读表示输出方向 $$能控能观结构分解的标准形式#
$$ \widehat{A}= \begin{pmatrix} A_{11} & 0 & A_{13} & 0 \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} \\ 0 & 0 & A_{33} & 0 \\ 0 & 0 & A_{43} &A_{44} \end{pmatrix}\qquad \widehat{B}= \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \ \\ \widehat{C}= \ \begin{pmatrix} \ \ C_1\ &\ 0\ &\ \ C_3\ &\ \ 0\ \ \end{pmatrix} $$$$ 注：能控右上角，能观左下角 $$能控能观性结构分解#
能控、能观的分解与能观I型、能控Ⅱ型的标准化本质相似（较深不必深究）
$$ \Sigma(A,B,C)能控性分解x=R_c\left(\begin{array}{}x_c\\x_{\overline{c}}\end{array}\right)\\ \qquad \begin{array}{rl} \left(\begin{array}{}\dot{x}_c\\\dot{x}_{\overline{c}}\end{array}\right)=&R_c^{-1}AR_c\left(\begin{array}{}x_c\\x_{\overline{c}}\end{array}\right)+R^{-1}Bu =\left(\begin{array}{}\overline{A}_1&\overline{A}_2\\ 0 & \overline{A}_4\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{}x_c\\x_{\overline{c}}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{} \overline{B}\\ 0 \end{array}\right)u\\ \\ y=&CR_c\left(\begin{array}{} x_c\\x_{\overline{c}}\end{array}\right) =(\overline{C}_1,\overline{C}_2)\left(\begin{array}{}x_c\\x_{\overline{c}}\end{array}\right) \end{array} $$ $$ \begin{array}{} 不能控子系统\Sigma_{\overline{c}}(\overline{A}_4,0,\overline{C}_2)能观性分解x_{\overline{c}}= R_{02}\left(\begin{array}{} x_{\overline{c}\ o}\\ x_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right) & 能控子系统\Sigma_c(\overline{A}_1,\overline{B},\overline{C}_1)能观性分解 x_{c}= R_{01}\left(\begin{array}{} x_{c\ o}\\ x_{c\ \overline{o}} \end{array}\right)\\ \ \\ \begin{array}{} \dot{x_{\overline{c}}}=\overline{A}_4x_{\overline{c}}\\ \ \\ \begin{array}{rl} \left(\begin{array}{} \dot{x}_{\overline{c}\ o}\\ \dot{x}_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right)=& R_{02}^{-1}\overline{A}_4R_{02}\left(\begin{array}{} x_{\overline{c}\ o}\\ x_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right)\\ = & \left(\begin{array}{} A_{33}&0\\ A_{43}&A_{44} \end{array}\right) \left(\begin{array}{} x_{\overline{c}\ o}\\ x_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right) \end{array}\\ \ \\ y=\overline{C}_2 R_{02}\left(\begin{array}{} x_{\overline{c}\ o}\\ x_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right)=(C_3,0)\left(\begin{array}{} x_{\overline{c}\ o}\\ x_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right) \end{array} & \begin{array}{} \dot{x}_c=\overline{A}_1x_c+\overline{A}_2x_{\overline{c}}+\overline{B}u\\ \ \\\left(\begin{array}{} \dot{x}_{c\ o}\\ \dot{x}_{c\ \overline{o}} \end{array}\right)= R_{01}^{-1}\overline{A}_1R_{01}\left(\begin{array}{} x_{c\ o}\\ x_{c\ \overline{o}} \end{array}\right)+ R_{01}^{-1}\overline{A}_2R_{02} \left(\begin{array}{} x_{\overline{c}\ o}\\ x_{\overline{c}\ \overline{o}} \end{array}\right)+R_{01}^{-1}\overline{B}u\\= \left(\begin{array}{} A_{11}&0\\ A_{21}&A_{22} \end{array}\right)x_c+ \left(\begin{array}{} A_{13}&0\\ A_{23}&A_{24} \end{array}\right)x_{\overline{c}}+ \left(\begin{array}{} B_1\\ B_2 \end{array}\right)u\\ y=\overline{C}_1R_{01}\left(\begin{array}{}x_{co}\\x_{c\overline{o}}\end{array}\right)=(C_1,0)\left(\begin{array}{}x_{co}\\x_{c\overline{o}}\end{array}\right) \end{array} \end{array} $$ $$ 注：{\color{blue}涉及矩阵运算多；考查不会超过三阶}\\ 每一步判断能控、能观性\left\{\begin{array}{l} 能控或能观，相应不用分解\\ 一维子系统无需分解，直接判断即可\\ 非一维不能观子系统才需分解 \end{array}\right. $$传递函数不同能控、能观性实现#
