李雅普诺夫稳定性分析#
考情分析#
线性时变系统、非线性系统的李雅普诺夫方程法不考
李雅普诺夫方法选择#
$$
\begin{array}{}
第一法\#线性系统（特征值；\quad 连续，离散） & 第一法\#非线性系统（平衡点线性化；\quad 临界失效）\\
\ \\
第二法\#线性系统（李雅普诺夫方程；\quad连续，离散）& 第二法\#非线性系统（李雅普诺夫函数；定义法）
\end{array}
$$李雅普诺夫第一法（连续系统）#
$$
状态稳定性（平衡状态x_e=0处渐进稳定的充要条件）：\\
系统矩阵A的所有特征值均具有负实部，即|\lambda I-A|=0根的实部均为负值\\
\left\{\begin{array}{l}
低阶|\lambda I-A|=0解根\\
高阶|\lambda I-A|=0用劳斯判据
\end{array}\right.\\
注：状态稳定性与(sI-A)^{-1}b实部均为负值有区别，可能零极点相消
$$$$
\text{BIBO}稳定性（有界输入输出稳定的充要条件）：\\
W(s)=c(sI-A)^{-1}b的极点全部位于s的左半平面
$$$$
注：状态稳定\Rightarrow \text{BIBO}稳定\\
W(s)=c(sI-A)^{-1}b可能零极点对消，从而状态不稳定\\
\text{BIBO}稳定，且能控能观\Rightarrow 系统渐进稳定（一维系统成立）
$$李雅普诺夫第一法（离散系统）#
$$
状态稳定性（平衡状态x_e=0处渐进稳定的充要条件）：\\
系统矩阵G的所有特征值均位于单位圆内\\
\left\{\begin{array}{l}
低阶|\lambda I-G|=0解根\\
高阶|\lambda I-G|=0用劳斯判据
\end{array}\right.\\
注：状态稳定性与(zI-G)^{-1}b的根均在单位圆内有区别，可能零极点相消
$$$$
\text{BIBO}稳定性（有界输入输出稳定的充要条件）：\\
W(s)=c(zI-G)^{-1}b的极点全部位于单位圆内
$$非线性系统线性化判稳#
$$
非线性系统：\dot{x}=f(x)\\
令\dot{x}=0解得平衡点x_e\\
A=\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{x_e}=
\left.\left(
\begin{array}{}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}&\cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
\ \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}&\cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\
\ \\
&\cdots&\cdots\\
\ \\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1}&\frac{\partial f_n}{\partial x_2}&\cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\\
\end{array}
\right)\right|_{x_e}
$$$$
A即为系统在平衡点处线性化后的系统矩阵\\
\ \\
渐进稳定：A的所有特征值均具有负实部\\
不稳定：A的特征值中存在正实部\\
\ \\
失效：A的特征值中存在虚根，稳定性无法根据A判断
$$李雅普诺夫第二法#
$$
平衡点x_e处的稳定性{\color{blue}}：系统在微小扰动下保持一定状态的性能\\
取正定函数V(x)\quad （仅在x_e处V(\textbf{x})=0）\\
\dot{\textbf{x}}表达式代入\dot{V}(x)
\left\{
\begin{array}{ll}
\dot{V}负定&\left\{\begin{array}{}
平衡点附近&渐进稳定\\
||x||\to \infty,V(x)\to \infty&大范围渐进稳定
\end{array}\right.\\
\dot{V}半负定&\left\{\begin{array}{}
存在\dot{V}(x)恒为零&李雅普诺夫稳定\\
除x_0=0外，\dot{V}(x)不恒为零，且||x||\to \infty,V(x)\to \infty&大范围渐进稳定
\end{array}\right.\\
\dot{V}正定&不稳定
\end{array}
\right.
$$$$
\dot{V}(x)不恒为零：\\
典例（考研V(x)均不难找，先列系数为1的，求导代入后调整系数）：\\
V(x)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2,\quad \dot{V}(x)=-2x_3^2\quad 半负定\\
x_1,x_2\neq0,x_3=0时，\dot{V}(x)=0，但\dot{x}_3=-2x_1^2+3x_2-x_3^2\not\equiv 0\\
即，轻微扰动下，系统无法保持\dot{V}(x)\equiv0，且||x||\to \infty,V(x)\to \infty，故系统大范围渐进稳定
$$$$
注：李雅普诺夫函数仅可在x_e=0处判断稳定性\\
李雅普诺夫第二法仅为充分判据，以上条件均不满足代表没找到可定性的V(x)
$$李雅普诺夫方程#
$$
线性定常连续系统的渐进稳定判据（在x_e=0处）：\\
A^TP+PA=-Q\qquad(Q一般取I)\\
解出P，若P正定，则系统大范围渐进稳定
$$$$
线性定常离散系统的渐进稳定判据（在x_e=0处）：\\
G^TPG-P=-Q\qquad(Q一般取I)\\
解出P，若P正定，则系统大范围渐进稳定
$$
$$
注：P为对称矩阵，利用此特性反解参数
$$极限环判定#
$$
非线性微分方程组为特殊凑得
\left\{\begin{array}{l}
\dot{V}(x)=0判定极限环\\
\dot{V}(x)正定、负定判定极限环稳定性
\end{array}\right.
$$