““线性定常系统综合””#
考情分析#
系统解耦不考
三大线性反馈控制#
$$ 系统\Sigma(A,B,C)，假设D=0 $$$$ 状态反馈控制律：u=Kx+v, \quad u=KX \qquad \Sigma_K((A+BK),B,C) $$$$ 输出反馈控制律：u=Hy+v=HCx+v,\quad u=HCx\qquad \Sigma_H((A+BHC),B,C) $$$$ 输出到\dot{x}反馈：\dot{x}=Ax+Gy+Bu\qquad \Sigma_G((A+GC),B,C) $$ $$ 注意区别：(A-BK)\quad (A-BHC)\quad (A-GC)\\ $$极点配置的前提#
$$ 定理一：状态反馈\Sigma(A+bK,b,c)对系统任意配置极点的充要条件：\Sigma(A,b,c)完全能控\\ \ \\ 定理二：输出到\dot{x}的线性反馈\Sigma(A+Gc,b,c)对系统实现闭环极点任意配置的充要条件：\Sigma(A,b,c)完全能观 $$系统的极点配置#
离散极点配置同理
极点配置“基本”只考SISO系统
系统镇定#
$$ 系统\Sigma(A,b,c)通过极点配置使其极点均具有负实部 $$状态观测器原理#
$$ 系统极点的任意配置离不开全状态变量，但系统的状态变量不都是易于观测的\\ 状态观测器构造出与系统等价的全状态可观测系统，用于提供系统状态 $$状态观测器的可实现性#
$$ 定理：若线性系统\Sigma(A,b,c)完全能观，则其状态矢量x可由输出y与输入u进行重构 $$全维状态观测器方程#
全维观测器“基本”只考SISO系统
$$ 存在前提：判定系统\Sigma(A,b,c)能观性\\ \ \\ 类似输出到\dot{x}的反馈情形\\ \dot{\widehat{x}}=A\widehat{x} +bu + G(y-\widehat{y})\\ \dot{\widehat{x}}=(A-Gc)\widehat{x} +bu + Gy=\underbrace{A\widehat{x}+bu+G(y-\widehat{y})}_{结构图表达式}\\ 对A-Gc配置极点，解出G：|\lambda I-(A-Gc)|=f^*(\lambda)，G代入状态观测器方程即可 $$$$ 注：可构造能控、能观标准型\ 全维状态观测器，与降维状态观测器线性变换处理方式相似同理，考研不太会涉及 $$状态观测器的渐进速度#
$$ G为状态观测器的输出误差反馈矩阵，影响系统的渐进速度\\ 使\widehat{x}以一定速度与精度趋近于系统真实状态x\\ 默认定义：\widetilde{x}=x-\widehat{x}\quad \widetilde{y}=y-\widehat{y}\\ \begin{array}{rl} \dot{\widetilde{x}}&=\dot{x}-\dot{\widehat{x}}\\ &=Ax+Bu-[(A-GC)\widehat{x}+Gy+Bu]\\ &=Ax-(A-GC)\widehat{x}-GCx\\ &=(A-GC)(x-\widehat{x})\\ &=(A-GC)\tilde{x} \end{array}\\ 故\tilde{x}(t)=e^{(A-GC)t}\tilde{x}(0) $$降维状态观测器标准型#
$$ \begin{array}{}\overline{y}=(0,I)\left(\begin{array}{} \overline{x}_1\\ \overline{x}_2 \end{array}\right)=\overline{x}_2\\ \left\{\begin{array}{} \dot{\widehat{\overline{w}}}=(\overline{A}_{11}-\overline{G}\ \overline{A}_{21})\widehat{\overline{x}}_1+(\overline{A}_{12}-\overline{G}\ \overline{A}_{22})\overline{y}\ +(\overline{B}_1-\overline{G}\ \overline{B}_2)u \quad （“上减\overline{G}下”）\\ \widehat{\overline{x}}_1=\widehat{\overline{w}} \ +\overline{G}\ \overline{y} \end{array}\right. & \end{array} $$$$ \begin{array}{}\overline{y}=(I,0)\left(\begin{array}{} \overline{x}_1\\ \overline{x}_2 \end{array}\right)=\overline{x}_1\\ \left\{\begin{array}{} \dot{\widehat{\overline{w}}}=(\overline{A}_{22}-\overline{G}\ \overline{A}_{12})\widehat{\overline{x}}_2+(\overline{A}_{21}-\overline{G}\ \overline{A}_{11})\overline{y}\ +(\overline{B}_2-\overline{G}\ \overline{B}_1)u\quad （“下减\overline{G}上”）\\ \widehat{\overline{x}}_2=\widehat{\overline{w}} \ +\overline{G}\ \overline{y} \end{array}\right. \end{array} $$降维状态观测器方程#
降维状态观测器“基本”只考SISO系统
$$ 存在前提：判定系统\Sigma(A,b,c)能观\\ \ \\化标准型（先判断是否为标准型）：\\ x=T\overline{x}，变换矩阵T，使\overline{y}=(0,I)\overline{x}\\ T^{-1}= \left(\begin{array}{} C_0\\ C \end{array}\right)\quad C_0保证T可逆即可（考试中越简单越好，主对角）\\ \left(\begin{array}{} \dot{\overline{x}}_1\\ \dot{\overline{x}}_2 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{} \overline{A}_{11}&\overline{A}_{12}\\ \overline{A}_{21}&\overline{A}_{22} \end{array}\right) \left(\begin{array}{} \overline{x}_1\\ \overline{x}_2 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{} \overline{B}_1\\ \overline{B}_2 \end{array}\right)u \\ \overline{y}=(0,I)\left(\begin{array}{} \overline{x}_1\\ \overline{x}_2 \end{array}\right)=\overline{x}_2\qquad {\color{blue}（利用I的维数区分子系统\overline{A}_{ij}的维数）} $$$$ 观测器方程：\left\{\begin{array}{} \dot{\widehat{\overline{w}}}_1=(\overline{A}_{11}-\overline{G}\ \overline{A}_{21})\widehat{\overline{x}}_1+(\overline{A}_{12}-\overline{G}\ \overline{A}_{22})\overline{y}\ +(\overline{B}_1-\overline{G}\ \overline{B}_2)u\qquad \textcircled{1}\\ \widehat{\overline{x}}_1=\widehat{\overline{w}} \ +\overline{G}\ \overline{y}\qquad\textcircled{2}\\ \end{array}\right.\\ 对矩阵(\overline{A}_{11}-\overline{G}\ \overline{A}_{21})进行极点配置：|\lambda I-(\overline{A}_{11}-\overline{G}\ \overline{A}_{21})|=f^*(\lambda)，解得\overline{G} $$$$ \widehat{\overline{x}}= \left(\begin{array}{} \widehat{\overline{x}}_1\\ \widehat{\overline{x}}_2 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{} \widehat{\overline{w}}+\overline{G}\overline{y}\\ \overline{y} \end{array}\right)\\ 状态估计方程：\widehat{x}=T\widehat{\overline{x}}=T\left(\begin{array}{} \widehat{\overline{w}}+\overline{G}\overline{y}\\ \overline{y} \end{array}\right)\\ 画结构图时，已知系数，\textcircled{2}式代入\textcircled{1}式\\ 先画\widehat{\overline{w}}的状态结构，再组合\widehat{\overline{w}},\overline{y}得\widehat{\overline{x}}，T变换得\widehat{x} $$$$ 注：若系统为降维标准型，则无需进行T线性变换，运算时去掉\overline{\Delta}上的一杠符号\\ 实际上\overline{y}=cT\overline{x}=cx=y $$利用状态观测器实现状态反馈#
$$ 前提：系统能控能观才可利用状态观测器进行状态反馈任意极点配置 $$$$ 受控系统\Sigma_0\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=Ax+bu\\ y=cx \end{array} \right.\qquad 状态观测器\Sigma_G \left\{\begin{array}{c} \dot{\widehat{x}}=(A-Gc)\widehat{x}+Gy+bu\\ \\ \dot{\widehat{x}}=A\widehat{x} +bu + G(y-\widehat{y}) \end{array} \right.\\ 由于极点设计的分离性：|sI-\overline{A}|=|sI-(A+BK)||sI-(A-GC)|\\ 观测器的极点、状态反馈的极点分开设计\\ \ \\ 画结构图时，先绘制观测器（一般\dot{x}=Ax更方便），状态反馈最后从观测器状态变量引至输入即可 $$$$ 注： 极点设计的分离性，全维、降维状态观测器均满足，无需深究\\（状态反馈在状态观测器上，而非原系统上）\\ 绘制的增益G框，反馈K框等均只包含系数\\ \left\{\begin{array}{l}状态观测器特征值决定状态误差的衰减速度\\ 系统特征值决定系统稳定的速度\\ \end{array}\right.（特征值仅决定衰减速度，不决定相关系数） $$极点配置典例#
非线性方程的空间表达式#
