备用知识点#
约旦块计算#
$$
重特征值的子约旦块：\\
r_k(A,\lambda_i)=\text{rank}[(A-\lambda_i I)^k];\qquad r_0(A,\lambda_i)=n\\
\omega_k(A,\lambda_i)=[r_{k-1}(A,\lambda_i)-r_{k}(A,\lambda_i)];\qquad \omega_1(A,\lambda_i)表示\lambda_i对应的子约旦块个数\\\\
\omega_{k}(A,\lambda_i)-\omega_{k+1}(A,\lambda_i)：表示以\lambda_i为重特征值的k阶约旦块个数\\
\ \\
单特征值，重特征值的各个约旦块最后拼合即可
$$零极点对消的不确定结论#
$$
(sI-A)^{-1}，(sI-A)^{-1}b也可能存在零极点对消（不确定）
$$$$
影响：\\
1.\quad(sI-A)^{-1}b不一定可判断状态稳定性\\
2.\quad\Phi(t)拉氏变换(sI-A)^{-1}不一定可反解得出|sI-A|，可能零极点相消
$$状态观测器的渐进速度#
$$
G为状态观测器的输出误差反馈矩阵，影响系统的渐进速度\\
使\widehat{x}以一定速度与精度趋近于系统真实状态x\\
默认定义：\widetilde{x}=x-\widehat{x}\quad \widetilde{y}=y-\widehat{y}\\
\begin{array}{rl}
\dot{\widetilde{x}}&=\dot{x}-\dot{\widehat{x}}\\
&=Ax+Bu-[(A-GC)\widehat{x}+Gy+Bu]\\
&=Ax-(A-GC)\widehat{x}-GCx\\
&=(A-GC)(x-\widehat{x})\\
&=(A-GC)\tilde{x}
\end{array}\\
故\tilde{x}(t)=e^{(A-GC)t}\tilde{x}(0)
$$观测器分离特性证明#
$$
u=v+K\widehat{x}\\
\left\{\begin{array}{rl}
\dot{x}&=Ax+Bu\\
&=Ax+BK\widehat{x}+Bv\\
&=Ax+BKx-BK(x-\widehat{x})+Bv\\
&=(A+BK)x-BK\tilde{x}+Bv
\end{array}\right.\qquad
\dot{\widetilde{x}}=(A-GC)\widetilde{x}\\
\ \\
\left(\begin{array}{}
\dot{x}\\
\dot{\tilde{x}}
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{}
A+BK & -BK\\
0 & A-GC
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{}
x\\
\tilde{x}
\end{array}\right)+
\left(\begin{array}{}
B\\
0
\end{array}\right)v\\
\ \\
\left|\begin{array}{}
\lambda-(A+BK) & BK\\
0 & \lambda-(A-GC)
\end{array}\right|=0\\
\ \\
|\lambda-(A+BK)|\ |\lambda-(A-GC)|=0
$$