预备知识#
泰勒展开#
$$ 灵活凑\Delta\to0,泰勒展开 $$ $$ x_0=0,x\to0时 $$ $$ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots+ \frac{x^n}{n !}+\circ(x^n)\\ \mathrm{a}^x=e^{x\ln a}=1+x\ln a+\frac{(x\ln a)^2}{2!}+ \cdots+ \frac{(x\ln a)^n}{n !}+\circ(x^n)\\ \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}+\circ(x^n) $$ $$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\circ(x^n)\\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+ x^n+\circ(x^n) $$$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} +\circ(x^{2n+1})\\ \cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}+\circ(x^{2n})\\ \arctan x =x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots +\frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}+\circ(x^{2n+1}) $$$$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\circ(x^{n})\quad {\color{blue}（\alpha为任意常数，此式可无限展开）} $$记前两项：
$$ \tan x =x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots +\frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} +\circ(x^{2n-1})\\ \arcsin x =x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} +\circ(x^{2n+1}) $$数列重要公式#
$$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} $$$$ S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} $$$$ 1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$三角函数常用公式#
$$ \begin{array}{lll} \sin^2x+\cos^2x=1 & 1+\tan^2x=\sec^2x & 1+\cot^2x=\csc^2x \\ \\ \sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha &\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ \\ \sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta & \cos(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta & \tan(\alpha\pm \beta)=\frac{\tan\alpha\pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta}\\ \end{array}\\ \sin(\pm \frac{k\pi}{2}\pm \alpha)\quad \cos() \quad \tan()诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（\alpha视为锐角） $$积化和差、和差化积#
积化和差：
$$ \begin{array}{l} \sin\alpha \cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\ \\ \cos\ \alpha \sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\ \\ \cos\ \alpha \cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\ \\ \sin\ \alpha \sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)] \end{array} $$和差化积（由积化和差公式反得）：
$$ \theta=(\alpha+\beta),\gamma=(\alpha-\beta)\\ \left\{\begin{array}{l} \textcircled{1}拆项整理\\ \textcircled{2}反解变量 \left\{\begin{array}{l} \alpha=\frac{\theta+\gamma}{2}\\ \ \\ \beta=\frac{\theta-\gamma}{2} \end{array}\right. \end{array}\right. $$因式分解公式#
$$ a^3-b^3, a^3+b^3 $$ $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$换底公式#
$$ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} $$常用不等式（等号成立条件）#
不等式灵活使用，形式多样本质不变，勿固化
$$ ||a|-|b|| \leqslant |a\pm b| \leqslant |a|+|b| $$$$ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}\leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} {(a,b>0,a=b时等号成立;\quad 高维同样成立)}\\ {\color{blue}注：灵活取平方} $$$$ \begin{array}{l} \sin x \leqslant x \leqslant \tan x \\ \arctan x \leqslant x \leqslant \arcsin x \\ \ln(x+1) \leqslant x \leqslant e^x-1 \end{array} $$$$ \frac{1}{1+x}<\ln(1+\frac{1}{x})< \frac{1}{x} \ \ (x>0)\qquad\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\ \ (x>0)\\ {\color{blue}注：\Delta>0前提下，灵活替换x} $$$$ 柯西不等式：\\ (ac+bd)^2\leqslant (a^2+b^2)(c^2+d^2) (等号成立条件\frac{a}{c}=\frac{b}{d})\\ (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2\leqslant\bigg(\sum_{i=1}^nx_i^2\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^n y_i^2\bigg) $$双阶乘#
$$ (2n)!!=2\cdot 4 \cdot 6\cdots=2^n\cdot n! $$$$ (2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots $$函数图像1#
$$ x^u(u=-1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,2,3)\\ a^x(a>0且a\neq1),e^x \\ \log_ax(a>0 且a\neq 1) ,\ln x\\ \sin x,\cos x\\ $$
函数图像2#
$$ \tan x,\cot x\\ \sec x,\csc x \\ \arcsin x,\arccos x\\ \arctan x,arccot x $$
取整函数#
$$ x-1<[x] ≤x $$
符号函数#
$$ {sgn}\ x=\left\{\begin{array}{} -1 & , & x < 0 \\ 0 & , & x = 0 \\ 1 & , & x > 0 \end{array} \right. $$摆线#
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=2(t-\sin t)\\ y=2(1-\cos t) \end{array} \right.\qquad a=2时 $$
星形线#
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=a\cos^3 t\\ y=a\sin^3 t \end{array} \right.\quad 顶点距离原点为a $$
双纽线#
$$ 直角坐标：(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\\ 极坐标：r^2=2a^2\cos2\theta $$