““不定积分””#
考情分析#
- 只有f(x)连续时，才考原函数相关性质
- 不定积分只考三大方法：凑微分法、换元积分法、分部积分法
不定积分计算偏大，所求均是人为构造出来的，三大方法掌握到位，把握好切入点
章节概述#
- 不定积分与定积分关系： 关联性极其弱，仅在牛顿-莱布尼茨公式中有关联
- 不定积分理论薄，极考计算
不定积分核心在于凑基本积分公式的形式，不同解法间不甚相通
不定积分书写规范#
$$ \int f(x)dx=F(x)+C（C为任意常数） $$原函数与不定积分的定义#
$$ 如果在{\color{blue}区间I}上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x\in I，都有F'(x)=f(x)\\ 则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数, 称\int f(x)dx=F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分 $$$$注：定义区间\neq定义域，{\color{blue}区间是连续的}，仅是定义域的子集\ 求原函数的过程应以不改变f(x)定义区间为前提（原函数之间应只差常数）\
- 三角函数变形（非恒等变形）可能会对间断点产生影响，姑且不计\
- \ln|x|去绝对值号：在不改变函数定义域的情况下，直接去掉$$
原函数存在定理#
$$ f(x)在区间I上连续，则存在可导函数F(x),使对任一\ x\in I,都有F'(x)=f(x)\\ （区间I可开可闭） $$$$ f(x)在区间I内均有定义，则\\ \left\{ \begin{array}{ll}存在可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点必无原函数{\color{blue}（导函数不可能出现此三种情况；假设存在反证）}\\ \\ 存在振荡间断点可能有原函数 \end{array} \right.\\ \ \\ f(x)在区间I内存在{\color{blue}无定义点}，则区间I不存在原函数，可讨论各分段的原函数 $$$$ 注：\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C仅在(-\infty,0)或(0,+\infty)上存在原函数（区间一定是连续的） $$原函数的奇偶性、周期性#
前提：连续函数的原函数
$$ f(x)\quad 奇 \Longrightarrow \int f(x)dx \quad 偶\\ f(x)\quad 偶 \quad 且\quad F(0)=0 \Longrightarrow \int f(x)dx \quad奇\quad（唯一,且等于\int_0^xf(t)dt）\\ f(x)\quad T \quad 且\quad \int_0^Tf(x)dx=0 \Longleftrightarrow \int f(x)dx \quad T $$基本积分公式#
$$ x^k (k\neq -1), \ \frac{1}{x}\qquad e^x, \ a^x(a>0\ 且\ a\neq1)\qquad \ln x,\log_ax\qquad \sin x,\cos x\qquad \tan x,\cot x\\ \sec x(\frac{1}{\cos x}),\csc x(\frac{1}{\sin x})\qquad \sec^2x,\csc^2x\qquad \sec x\tan x,\csc x\cot x\\ \frac{1}{1+x^2},\ \frac{1}{a^2+x^2},\ \frac{1}{x^{2}-a^{2}} ,\ \frac{1}{a^{2}-x^{2}}\qquad \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}},\ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}},\ \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\qquad {\color{blue}\sqrt{x^2+a^2}},{\color{blue}\sqrt{x^2-a^2}}, {\color{blue}\sqrt{a^2-x^2}} $$ $$ \begin{array}{ll} \int x^{k} \mathrm{~d} x=\frac{1}{k+1} x^{k+1}+C (k \neq-1); & \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln|x|+C \\ \\ \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+C; & \int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a>0\ 且 \ a\neq 1) \\ \\ \int \ln x\ dx=x\ln x-x+C; & \int \log_ax\ dx=x\log_ax-\frac{x}{\ln a}+C\\ \\ \int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C; & \int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C \\ \\ \int \tan x \mathrm{~d} x=-\ln |\cos x|+C； & \int \cot x \mathrm{~d} x=\ln |\sin x|+C \\ \\ \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x}=\int \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C; & \int \frac{\mathrm{d} x}{\sin x}=\int \csc x \mathrm{~d} x=\ln |\csc x-\cot x|+C \\ \\ \int \sec ^{2} x \mathrm{~d} x=\tan x+C; & \int \csc ^{2} x \mathrm{~d} x=-\cot x+C \\ \\ \int \sec x \tan x \mathrm{~d} x=\sec x+C; & \int \csc x \cot x \mathrm{~d} x=-\csc x+C\\ \\ \hdashline\\ \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\arctan x+C; & \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C(a>0)\\ \ \\ \int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C; &\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C\\ \\ \hdashline\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\arcsin x+C; & \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)\\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \mathrm{~d} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C; & \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \mathrm{~d} x=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+C(|x|>|a|)\\ \ \\ \hdashline\\ {\color{blue}\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C}\\ \ \\ {\color{blue}\int \sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C}\\ \ \\ {\color{blue}\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C} \end{array} $$不定积分性质#
$$ \int [af(x)+bg(x)]dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx $$$$ \bigg[\int f(x)dx\bigg]'=f(x) \quad \int f'(x)dx=f(x)+C,\quad \int d[f(x)]=f(x)+C\\ (公式已成，说明可导、存在原函数) $$$$ {\color{blue}\left(\int f(e^x)dx\right)'=f(e^x)}\quad {\color{blue}\left(\int f'(e^x)dx\right)'=f'(e^x)}\quad {\color{blue}\int d[f(e^x)]=f(e^x)} $$原函数性质#
- 原函数若存在，必为无穷个
- 定义区间内，原函数必可导，故必连续
留数法(单根，重根)#
$$ 单根：\frac{c_i}{s-p_i} $$$$ c_i=\lim\limits_{s\to p_i}[(s-p_i)F(s)] \\ $$$$ 重根：\frac{c_m}{(s-p_1)^m},\frac{c_{m-1}}{(s-p_1)^{m-1}},\cdots $$$$ c_m=\lim\limits_{s\to p_1}[(s-p_1)^m F(s)] \\ c_{m-1}=\lim\limits_{s\to p_1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[(s-p_1)^{m} F(s)]\frac{1}{1!} \\ c_{m-2}=\lim\limits_{s\to p_1}\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}s^2}[(s-p_1)^{m} F(s)]\frac{1}{2!} \\ $$万能公式#
$$ \sin x,\cos x,\tan x,\ dx $$ $$ u=\tan\frac{x}{2}, 即\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\tan x=\frac{2u}{1-u^2},dx=\frac{2}{1+u^2}du $$$$ \int R(\sin x,\cos x)dx =\int R(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2})\frac{2}{1+u^2}du $$三角函数 n 次方的积分#
$$ \int \sin^nx dx与\int \cos^nx dx;\quad \int \sec^nxdx与\int \csc^nxdx;\quad \int \tan^nxdx 与\int \cot^nxdx $$ $$ \int \sin^nx dx与\int \cos^nx dx\\ \left\{ \begin{array}{l} \int \sin^{2k+1}x dx=-\int (1-\cos^2x)^k d(\cos x)......\\ \\ \int \sin^{2k}x dx=\int (\frac{1-\cos2x}{2})^k dx......\\ 或I=-\int\sin^{2k-1}xd(\cos x)=-[\cos x\sin^{2k-1}-(2k-1)\int\cos^2x\sin^{2k-2}xdx]=-[\cos x\sin^{2k-1}-(2k-1)(\int\sin^{2k-2}xdx-I)]\\ \\ \int \cos^nx dx同理 \end{array} \right. $$$$ \int \sec^nxdx与\int \csc^nxdx\\ \left\{ \begin{array}{l} \int \sec^{2k}xdx=\int (\tan^2+1)^{k-1}d(\tan x)\ \overset{t=\tan x}{\xlongequal{\quad\quad\quad}}\int (t^2+1)^kdt\\ \\ I=\int \sec^{2k+1}xdx=\int \sec^{2k-1}xd(\tan x)=\tan x\sec^{2k-1}x-(2k-1)I +(2k-1)\int \sec^{2k-1}xdx\\ \\ \int \csc^nxdx同理 \end{array} \right. $$$$ \int \tan^nxdx 与\int \cot^nxdx \left\{ \begin{array}{l} \int \tan^{n}x dx=\int \tan^{n-2}(\sec^2x-1)dx=\int \tan^{n-2}d(\tan x)-\int \tan^{n-2}dx......\\ \\ \int \cot^nx dx同理 \end{array} \right. $$无法不定积分的函数（有原函数，但无法用初等函数表达）#
$$ \int c\ e^{(ax+b)^{2}} d x,\int\frac{e^x}{x}dx;\ \int \frac{\sin x}{x} d x; \ \int \frac{\cos x}{x} d x\\ \ \\ \int\frac{1}{\ln x}dx,\int\frac{x^n}{\ln x}dx(n\neq1);\int\sin x^2dx,\int\cos x^2dx $$$$ 注：不可积分的函数很多 $$凑微分法#
凑微分方法是不定积分的底层方法
$$ 形式无突破口：考虑“消去”，“整理”\\ 加减凑、乘除凑、倍角公式凑，拆分凑等等 $$$$ 注：\int\frac{\Delta'}{\Delta}dx:\ln|\Delta| $$不定积分的第一类换元#
$$ \int f[x,\varphi(x)]d[\varphi(x)]\xlongequal{t=\varphi(x)}\int f[\varphi^{-1}(t),t]dt\\ 若为f[x,\varphi(x)]情形，t=\varphi(x)需反解\\ 若为f[\varphi(x)]情形，t=\varphi(x)无需反解 $$不定积分的第二类换元#
$$ \int f(x)dx\xlongequal{x=\varphi(t)}\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt\\ x=\varphi(t)需单调，计算完谨记t=\varphi^{-1}(x)回代 $$$$ 注：t取值范围，值域对应，单调区间（不定积分换元法需反解）\\ \int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx\xlongequal{x=\sec t，t\in()}\int\frac{1}{\tan^4 t}\sec t\tan tdt\qquad \times （值域无法对应）\\ 严格意义上来讲，要求值域对应，单调区间对应，但考研考查不至如此 $$有理分式的裂项#
假分式、真分式及裂项通式
$$ 假分式：直接用长除法化简（简便） $$$$ 真分式：\\ 1.分母寻找因式:试根法（阶数不会很高）\\ 若分母无法分解为一次、二次实因式，则另寻他法（偏题，极少数）\\ 2.裂项求分子：一阶因式裂项用“留数法”\\ 一阶、二阶因式组合，用“待定系数法”结合“留数法”\\ \frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+c)(dx^5+ex^2)}=\frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}+\frac{Dx^4+Ex^3+Fx^2+Gx+H}{dx^5+ex^2}\\ \ \\ 分子通式总比分母低一阶 $$$$ 注：同根放同式，否则通分后分子必捆绑其式\\ \frac{1}{(x-1)(x^2-1)}\rightarrow\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-1}=\frac{(x-1)......}{(x-1)(x^2-1)} \quad \times\\ 化简为最简形式，再进行后续积分 $$有理分式的分解原则及计算#
$$ 一次单因式：\frac{A}{ax+b} $$$$ k重一次因式：\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(ax+b)^k}\\ 注：留数法的标准形式 $$$$ 二次单因式:\frac{Ax+B}{px^2+qx+r} \left\{\begin{array}{l} \frac{A}{px^2+qx+r}: \frac{a}{(x+b)^2+c}\xrightarrow{t=x+b}\int\frac{a}{t^2+c}dt\\ \ \\ \frac{Ax+B}{px^2+qx+r}: \frac{\lambda(2px+q)}{px^2+qx+r}+\frac{\mu}{{px^2+qx+r}} \end{array}\right. $$$$ k重二次因式：\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r}+\frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2}+\cdots+\frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}\\ 注：考研阶数不高，试凑即可出来 $$$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{A}{(px^2+qx+r)^k}:\frac{A}{[(x+b)^2\pm c^2]^k}\xrightarrow {t=x+b}\int\frac{A}{(t^2\pm c^2)^k}dt(c>0) \xlongequal["-"\quad 一次因式情形]{"+"\quad t=c\tan u,u\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \int\frac{A}{c^{2k-1}(\sec u)^{2k-2}}du=\int \frac{A}{c^{2k-1}}\cos^{2k-2}udu\\ \frac{Ax+B}{(px^2+qx+r)^k}=\frac{\lambda(2px+q)}{(px^2+qx+r)^k}+\frac{\mu}{(px^2+qx+r)^k} \end{array}\right. $$含根式的积分#
三角代换、无理代换
三角代换（内代换，注意限定单调区间）：
$$ \sqrt{x^2\pm a^2},\ \sqrt{a^2\pm x^2},\sqrt{2x-x^2}\\ x=\varphi(t) ，且单调\\ 三角函数回代需画“三角”\\ \ \\ 注：\sqrt{x^2-a^2}\left\{\begin{array}{lll} x\in[a,+\infty),& x=a\sec t, &t\in[0,\frac{\pi}{2})\\ x\in(-\infty,-a],& x=-a\sec t, &t\in(-\frac{\pi}{2},0] \end{array}\right. $$无理代换（整体代换）：
$$ 简单根式：整体代换(\sqrt{1+x},\sqrt{1+\frac{1}{x}}) $$乘、除、简单复合的积分#
使用分部积分法
$$ 参考选择顺序（例）：\arcsin x,\ln x,x^k,\sin x,e^x $$$$ 注：中途勿切换函数\\ 无从下手时首先考虑分部积分（破解形式） $$$$ 典例：I=\int \sin(\ln x)dx=x\sin(\ln x)-\int \cos(\ln x)dx=x\sin(\ln x)-[x\cos(\ln x)+\underbrace{\int \sin(\ln x)dx}_{I}] $$三角函数的不定积分#
换元法、化简整理、万能公式
换元法：利用反三角导数
$$ \int \frac{1}{\sqrt{\sin x}\cdot \cos x}dx(t=\sqrt{\sin x}) $$$$ \int\frac{1}{1+2\tan x}dx(t=\tan x) $$化简整理：
$$ 化简分母，善用倍角公式、半角公式、辅助角公式等\\ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} \sin^2x+\cos^2x=1\\ \sin2x=2\sin x\ \cos x,\\ \cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\\ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}, \cos^2x=\frac{\cos2x+1}{2}\\ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\\ \end{array} \right. & \left\{ \begin{array}{} 1+\tan^2x=\sec^2x\\ 1+\cot^2x=\csc^2x\\ \end{array} \right. \end{array} $$万能公式（一般较繁琐）：……
循环复现分部积分公式#
指数函数与sinx、cosx相乘
$$ \int e^{ax}\sin bx\ dx=\frac{\left|\begin{array}{cc}(e^{ax})'& (\sin bx)'\\ \\ e^{ax}&\sin bx\end{array}\right|}{a^2+b^2}+C $$分部积分表格法#
$$ \int uv dx $$$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|} \hline u的各阶导数& u & u' & u'' & \cdots & \begin{array}{lr}u^{(n+1)}\\&(-1)^{n+1}\end{array}\\ \hline v的各阶原函数 & v& v^{(-1)}& v^{(-2)}&\cdots&v^{(-n-1)}\\ \hline \end{array} $$$$ 右下斜对角逐个相乘（任意位置停均可）：\\ (-1)^0\cdot uv^{(-1)}+(-1)^1\cdot u'v^{(-2)}+\cdots+(-1)^n\cdot u^{(n)}v^{(-n-1)}+ (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)}v^{(-n-1)}dx\\ 若u为n阶多项式，(-1)^{n+1} \int u^{(n+1)}v^{(-n-1)}dx=0，且之后各项均为0 $$不定积分重要经验#
$$ 选择题，直接选项求导（稳定） $$分段函数求原函数#
- 各区间分开求
- 原函数在分段点处连续，解C1,C2关系
不定积分“变量对应”题型#
复合函数、积分变量对应
复合函数：
$$ f(\ln x)=\frac{\ln(1+x)}{x},求\int f(x)dx（令x=\ln t,参考前式变量代换即可） $$$$ 其余求解类型，或解f(x) $$积分变量对应：
$$ \quad\int f(x)dx=\frac{\sin x}{x}+C\\ \Rightarrow \int f(ax)dx=\int \frac{f(ax)}{a}d(ax)=\frac{\sin(ax)}{a^2x}+C $$不定积分特殊计算方法（抵消型）#
$$ \quad\int \frac{xe^x}{(1+x)^2}dx=\int \frac{(1+x-1)e^x}{(1+x)^2}dx\\= \int \frac{e^x}{1+x}dx-\int \frac{e^x}{(1+x)^2}dx\\= \int\frac{1}{1+x}d(e^x)-\int \frac{e^x}{(1+x)^2}dx\\ =\frac{e^x}{1+x}+\int\frac{e^x}{(1+x)^2}dx-\int \frac{e^x}{(1+x)^2}dx\\ =\frac{e^x}{1+x} $$$$ 注：此题\frac{1}{(1+x)^2}分部积分更简便 $$不定积分特例#
$$ \int \frac{1}{1+x^4}dx $$ $$ \int \frac{1}{1+x^4}dx = \frac{1}{2}\int \frac{(1+x^2)+(1-x^2)}{1+x^4} $$$$ \begin{array}{llll} &\int \frac{1+x^2}{1+x^4}dx &&\int \frac{1-x^2}{1+x^4}dx \\ \\ =& \int \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx &=&\int \frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx\\ \\ =& -\int \frac{1}{(\frac{1}{x}-x)^2+2}d(\frac{1}{x}-x)&=&-\int \frac{1}{(\frac{1}{x}+x)^2-2}d(\frac{1}{x}+x)\\ \\ =& ......&=&...... \end{array} $$不定积分典例#
灵活理解推广
$$ \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \rightarrow \left\{\begin{array}{l} 法一：\frac{\cos x(\cos x-\sin x)}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\frac{\cos^2 x-\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\\ \ \\ 法二：\frac{A(\cos x+\sin x)+B(\cos +\sin x)'}{\sin x+\cos x} \end{array}\right. $$