定积分#
考情分析#
分为两个体系：固有定积分代入（重点）、牛莱体系求原函数
已知积分，构造求积分
积分定义式（典型）#
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f[a+\frac{(b-a)i}{n}]\frac{b-a}{n}=\int_a^b f(x)dx\\ $$$$ \left\{ \begin{array}{l}a+\frac{(b-a)i}{n}\rightarrow x（范围同样）\\ \\ \frac{b-a}{n}\rightarrow dx \end{array} \right. $$积分定义式形式关键#
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{3n}f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n}=\int_0^3f(x)dx\\ $$$$ 三要素\left\{ \begin{array}{l}微元宽度\quad \frac{1}{n}\\ 变量对应 \quad \frac{i}{n}\\ 变量区间 \quad 3n \end{array} \right. $$定积分存在的充分条件#
$$ f(x)在[a,b]上连续（即有界），则\int_a^bf(x)dx存在\\ f(x)在[a,b]上单调（即有界），则\int_a^bf(x)dx存在\\ f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则\int_a^bf(x)dx存在 $$定积分重要细节#
$$ f(x)有界，\int_{a^-}^af(x)dx=0\\ 注：瑕点在一点的积分值难以分析 $$常用积分值记忆#
一个拱，半个拱
$$ \int_0^{\pi}\sin x\ dx=2（一个拱）， \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\ dx=1（半个拱）\\ \ \\ \int_0^{\pi}|\sin kx|dx=2\\ \ \\ \int_0^1 \arcsin x\ dx=\frac{\pi}{2}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\ dx=\frac{\pi}{2}-1 $$定积分估值定理#
$$ m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant M(b-a) $$定积分的性质#
$$ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx $$$$ \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx（c为任意常数） $$$$ \int_a^b f(x)dx\quad （若b<a，积分微元dx为负） $$定积分不等式#
$$ \int_a^bf(x)dx\leqslant \bigg|\int_a^bf(x)dx\bigg|\leqslant\int_a^b|f(x)|dx $$$$ 注意(a<b) $$华里士公式#
$$ \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\ dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\ dx= \left\{ \begin{array}{l} \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1，\quad n为奇(n\geqslant3)\\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}，\quad n为偶(n\geqslant2) \end{array} \right. $$对称区间定积分#
与轮换对称性本质相同
$$ \int_{-a}^af(x)dx\xlongequal{函数处理}\int_{-a}^af(-x)dx=\frac{1}{2}\int_{-a}^af(x)+f(-x)dx $$$$ \xlongequal{区间处理}\int_0^af(x)+f(-x)dx $$$$ 奇零偶倍： \int_{-a}^{a}f(x)dx\xlongequal{f(x)\ 奇}0\qquad \int_{-a}^{a}f(x)dx\xlongequal{f(x)\ 偶}2\int_{0}^{a}f(x)dx $$对称函数定积分#
$$ f(x)关于x=I对称\\ f(x)关于(a,0)对称 $$与复合函数奇偶性同理，“内偶则偶，内奇同外”
$$ \int_{c-a}^{c+a}g[f(x)]dx= \left\{ \begin{array}{cl} 0,&g(x)关于(c,0)对称\\ \\ 2\int_c^{c+a}g[f(x)]dx,&g(x)关于x=c对称 \end{array} \right. $$$$ 记: \int_0^{\pi}f(\sin x)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx $$同“形”内函数的定积分#
$$ g(x)与h(x)在[a,b]上有相同的形状（形状可打乱）,有\\ \int_a^b f[g(x)]dx=\int_a^bf[h(x)]dx（相当于线性组合） $$$$ 记:\\ \quad\int_0^{2\pi}f(|\sin x|)dx=\int_0^{2\pi}f(|\cos x |)dx\\ =4\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx=4\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x)dx\\ \ \\ \quad\int_0^\pi f(\sin x)dx=2\int_0^\frac{\pi}{2} f(\sin x)dx\\ \quad\int_0^\pi f(|\cos x|)dx=2\int_0^\frac{\pi}{2} f(\cos x)dx $$区间再现公式#
$$ \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx $$$$ 记：\\ \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx\\ 纯(\sin x,\cos x)组成的函数,\sin x与\cos x互换：\\ \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx $$牛顿-莱布尼茨公式#
$$ f(x)在[a,b]上可积且存在原函数，则\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) $$$$ 注：若所求“原函数”含无定义点，不可视作此区间的原函数\\ 故不可用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 $$定积分的换元积分法#
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x)在[a,b]上连续 \\ \\ \varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b \\ \\ x=\varphi(t)在[\alpha,\beta] 或 [\beta, \alpha]上连续（上下限对应即可，R_{\varphi}无须等于[a,b]） \end{array} \right. $$$$ \int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt $$$$ 注：定积分换元无需反解，故无需单调 $$定积分的分部积分法#
$$ u'(x), v'(x)在[a,b]上连续 $$$$ \int^b_au(x)v'(x)dx=u(x)v(x)\bigg|^b_a-\int_a^bv(x)u'(x)dx $$不定积分、定积分、变限积分的关系#
$$ 变限积分本质上为定积分 $$$$ f(x)连续时：三者统一，\int_a^xf(t)dt\ 即为一个原函数 \\ f(x)不连续：各成体系 $$牛顿-莱布尼茨公式求定积分#
$$ 分段连续，分段求，\\\int_a^bf(x)dx=\int_{a^+}^bf(x)dx=F(x)\bigg|_{a^+}^b $$$$ 注：多段极限不存在书写规范\lim\limits_{b\to +\infty}[\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln(e^b+1)] $$定积分重要经验#
- 灵活利用“图像、面积”计算定积分
- 条件允许下，将积分区间尽量往对称区间凑