变限积分函数#
变限积分函数的连续性、可导性#
$$ \Phi(x)=\int_0^xf(x)dx $$ $$ 1. f(x)在[a,b]可积，\Phi(x)在[a,b]上连续\\ 2. f(x)在[a,b]连续，\Phi(x)在[a,b]上可导\\ 3. f(x)在[a,b]k阶可导，\Phi(x)在[a,b]上k+1阶可导 $$变限积分函数在间断点的可导性#
$$ \Phi(x)=\int_a^xf(t)dt $$ $$ 若x_0是f(x)的可去间断点，则\Phi(x)在x_0处可导，且\\F'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x) $$$$ 若x_0是f(x)的跳跃间断点，则\Phi(x)在x_0处连续，但不可导,且\\ F_-'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x),F_+'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\\ $$$$ 注：可由洛必达证得 $$变限积分函数的奇偶性、周期性#
前提：f(x)可积
$$ f(x)\ \ \ 奇 \Longrightarrow \int_a^xf(t)dt=\int_0^xf(t)dt-\int_0^af(t)dt \quad 偶 $$$$ f(x)\ \ \ 偶 \left\{ \begin{array}{l} \Rightarrow\int_0^xf(t)dt\quad 奇\\ \\ \int_0^af(x)dx=0 \Rightarrow \int_a^xf(t)dt=\int_0^xf(t)dt\Rightarrow\int_a^xf(t)dt \quad奇\\ \end{array} \right. $$$$ f(x)\ \ T \quad 且 \quad \int_0^T f(x)dx=0 \Longleftrightarrow \int_0^x f(t)dt \quad T $$变限积分“被积函数含积分上限”情形#
加减型：
$$ \int_a^x(x-t)f(t)dt=x\int_a^xf(t)dt-\int_a^xtf(t)dt $$复合型：
$$ \int_0^xtf(x^2-t^2)dt,令u=x^2-t^2,得\frac{1}{2}\int_0^{x^2}f(u)du $$$$ \int_0^3x\sqrt{9-x^2t^2}\ dt \ \ \ 令u=xt, 得 \int_0^{3x}\sqrt{9-u^2}du\\ （注意\frac{1}{x}情形，需分类讨论）\\ \int_0^x[e^{(t-x)^2}-1]\sin t dt\quad 令u=t-x,得\int_{-x}^0[e^{u^2}-1]\sin(u+x)du\quad 拆\sin(u+x) $$$$ 注：F(x)=\int_a^xf(x)+g(u)du\\ F'(x)=[f(x)(x-a)]'+g(x)\neq f(x)+g(x) $$