反常积分#
考情分析#
反常积分审敛两大方法：比较判别法（一般用于证明题）、比较判别法的极限形式
定积分与反常积分区别#
定积分：区间有限（闭区间），函数有界，又称黎曼积分（黎曼关于定积分的理论存在不完备的缺陷）
反常积分：区间无限，或函数无界，又称广义积分
反常积分的敛散性#
同一函数积分在不同区间的敛散性，函数不同另行讨论：
$$
需分开计算，但趋向速度可能不一致\\
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{x\to 0^-}\int_{-1}^x\frac{1}{x}dx+\lim\limits_{x\to 0^+}\int_{x}^{1}\frac{1}{x}dx\\
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{x\to -\infty}\int_{x}^af(x)dx+\lim\limits_{x\to+\infty}\int_{a}^{x}f(x)dx\\
$$$$
子区间:\\收敛+收敛=收敛\\
收敛+发散=发散\\
发散+发散= 发散\\
$$反常积分任意子区间积分发散，称反常积分发散
发散的反常积分一定不存在
$$
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\neq0\ 不收敛
$$反常积分分析思路#
$$
反常积分敛散与否关键在于反常积分在趋于\\
\left\{
\begin{array}{ll}
\infty\\
\\
瑕点
\end{array}
\right.
时的“表现”\\
故有，反常积分判别尺度
$$反常积分判别尺度#
$$
p \ \nearrow \quad (\frac{1}{x})^p绕(1,1)顺时针旋转\\
$$$$
\int_0^1(\frac{1}{x})^p\ dx\quad
\left\{
\begin{array}{cl}
0<p<1，& 收敛\\
&&（\infty^p阶次越低越收敛）\\
p\geqslant1，& 发散
\end{array}
\right.
$$$$
\int_1^{+\infty}(\frac{1}{x})^p\ dx\quad
\left\{
\begin{array}{cl}
p>1，& 收敛\\
&&（0^p阶次越高越收敛）\\
p\leqslant1，& 发散
\end{array}
\right.
$$比较判别法的极限形式#
反常积分审敛的核心方法
$$
无穷处：\\
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x})^p}=A\neq0，则\int_a^{+\infty}f(x)dx与\int_a^{+\infty}(\frac{1}{x})^p同敛散\\
\ \\
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x})^p}=\infty,且p\leqslant1,则发散
\\
\ \\
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x})^p}=0,且p>1,则收敛
$$$$
瑕点：\\
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x-x_0})^p}=A\neq0，则\int_a^{+\infty}f(x)dx与\int_a^{+\infty}(\frac{1}{x})^p同敛散\\
\ \\
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x-x_0})^p}=\infty,且p\geqslant1,则发散\\
\ \\
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x-x_0})^p}=0,且p<1,则收敛
$$$$
注：
均与(\frac{1}{x})^p作比
$$常用反常积分#
$$
\int_a^{+\infty}\frac{1}{x\ln^px}dx,\ \int_a^{+\infty}x^ke^{-\lambda x}dx
$$
$$
\int_a^{+\infty}\frac{1}{x\ln^px}dx=\int_a^{+\infty}\frac{1}{\ln^px}d(\ln x)
\left\{
\begin{array}{lll}
收敛，&p>1\\
&&a>1\\
发散，&p\leqslant1
\end{array}
\right.
$$$$
注：\\
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\frac{1}{\ln^px}\to 0无具体阶次，且与1的关系无法判断\\
\ \\
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x^k}\frac{1}{\ln^px}(k\neq1)\to 0无具体阶次，但与1的关系可判断
$$$$
\\ \int_a^{+\infty}x^ke^{-\lambda x}dx
\left\{
\begin{array}{lll}
收敛，&\lambda>0\\
&&k\geqslant0\\
发散, &\lambda<0
\end{array}
\right.
$$判别尺度使用规范过程#
$$
无穷区间(x\to \infty)\\
利用判别尺度分析\lim\limits_{x\to \infty}f(x)\to 0的阶次p，再用同阶(\frac{1}{x})^p作比,\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x})^p}=a（同敛散）
$$$$
瑕积分(x\to x_0)\\
利用判别尺度分析\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\to \infty的阶次p，再用同阶(\frac{1}{x})^p作比, \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(\frac{1}{x})^p}=a（同敛散）
$$$$
无具体阶次,找“大阶”或“小阶”作比
$$特殊函数阶次#
$$
\lim\limits_{x\to +\infty},\lim\limits_{x\to -\infty}\left\{
\begin{array}{ll}
e^x, &阶数为“正无穷”\\
\frac{1}{e^x},&阶数为“正无穷”
\end{array}
\right.\quad
\left\{\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\frac{(\frac{1}{x})^k}{e^x}=\infty\\
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{(\frac{1}{x})^k}{\frac{1}{e^x}}=\infty\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^k}{\frac{1}{e^x}}=0
\end{array}\right.
$$$$
\lim\limits_{x\to 0},\lim\limits_{x\to +\infty}
\left\{
\begin{array}{ll}
\ln x^k,\ln^kx, &阶数为“无穷小”\\
\frac{1}{\ln x^k},\frac{1}{\ln^kx},&阶数为“无穷小”
\end{array}
\right.\quad \cdots
$$Gamma函数#
$$
\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx(\alpha>0)
$$
$$
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\\
\Gamma(n+1)=n!\quad
\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\quad
\Gamma(1)=1
$$$$
例：\\
\int_0^{+\infty}x^3e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^{4-1}e^{-x}dx=\Gamma(4)=3!
$$特殊反常积分#
$$
I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$
$$
I^2=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy
=\iint\limits_{D} e^{-r^2}rdrd\theta
=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}d(r^2)=\frac{\pi}{4}
$$$$
故I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$