多元微分#
考情分析#
- 多元微分过于复杂，故考查内容很浅
- 主考察二元，三元及以上难以理解
- 隐函数存在定理理解即可
二元极限的定义#
$$ 若二元函数f(x,y)在(x_0,y_0)的去心邻域内有定义，\\ 且(x,y)以\ \textbf{任意方式}\ 趋向于(x_0,y_0)时，\\ f(x,y)均趋向于A，则\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=A $$多元函数的连续性#
$$ 多元初等函数在其自然定义域上是连续的 $$二元极值定义#
$$ f(x,y)在U(x_0,y_0)内有定义，对于任意(x,y)\in \mathring{U}(x_0,y_0),\ \ \ f(x,y)<f(x_0,y_0)(或f(x,y)>f(x_0,y_0))，则\\称f(x_0,y_0)为极值 $$二元可微的定义#
$$ 设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)的全增量\\ \quad\quad\quad\quad\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ 可表示为\\ \quad\quad\quad\quad\quad\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\circ(\rho)（各增量均趋于0）\\ 其中A和B不依赖于\Delta x和\Delta y，而仅与x和y有关，\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\\ 则称z=f(x,y)在点(x,y)可微分 $$$$ A\Delta x+B\Delta y称为z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz\\ 即dz=Adx+Bdy\\ $$多元微分的本质或几何理解#
$$ 多元微分由一元微分定义，以一元导数的组合理解多元导数\\ 可微\Leftrightarrow dz可由\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy表示 $$二元可微的必要条件#
$$ 若函数z=(x,y)可微，则该函数在点(x,y)的偏导数\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}必存在，\\ 且dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy（偏导虽是坐标轴方向，但(d x,d y)表示任意方式） $$二元可微的判定#
$$ 定义判定式（充要条件）：\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{\Delta z-A\Delta x-B\Delta y}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\\ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x'(0,0)(x-x_0)-f_y'(0,0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0 $$$$ 一阶偏导连续（充分条件）\\ 一阶偏导存在（必要条件） $$$$ 小结论（充分非必要）：\\ \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{\Delta z}{\rho}=0\Rightarrow\Delta z=\circ(\rho),即\underbrace{\Delta z=0\Delta x+0\Delta y+\circ(\rho)}_{定义式}\\ \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-Ax-By+C}{\rho}=0 \Rightarrow\underbrace{\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\circ(\rho)}_{定义式} $$二元微分注意点#
$$ “偏积分”+C(x)/C(y) $$$$ 二阶偏导连续（则二阶混合偏导均连续），或\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}与\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}连续，则\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x} $$极值点、驻点、极值规范写法#
$$ 极值点（驻点同理）：(x_0,y_0) $$$$ 极值：f(x_0,y_0) $$微分因变量可为0，微分自变量不可为0#
$$ 函数z=z(x,y)\\ dz=0或dz\neq0\\ 但dx,dy\neq0 $$连续、可偏导及可微之间的关系图#
隐函数存在定理#
$$ 设函数F(x,y)在P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数，F(x_0,y_0)=0,F'_y(x_0,y_0)\neq0,\\则方程F(x,y)=0在(x_0,y_0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),\\它满足条件y_0=f(x_0),并有\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y} $$隐函数求导公式#
$$ 二元： \frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}（x,y为F的自变量，相互独立） $$$$ 多元： \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\ \ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}（x,y,z为F的自变量，相互独立） $$求极值处理技巧#
$$ d=\sqrt{x^2+y^2},|x+y|\rightarrow 计算d^2\\ $$无条件极值#
开区域求极值问题
$$ 极值可疑点：\\ 1.\left\{ \begin{array}{l} f'_x(x,y)=0\\ f'_y(x,y)=0 \end{array} \right.的点(x_0,y_0)\\ 2. 偏导数不存在的点（极值的定义去判别） $$ $$ \left\{ \begin{array}{} f_x'(x_0,y_0)=0\\ f_y'(x_0,y_0)=0 \end{array} \right. $$ $$ 判断驻点是否极值： \left\{ \begin{array}{} f_{xx}''(x_0,y_0)=A\\ \\ f_{xy}''(x_0,y_0)=B\\ \\ f_{yy}''(x_0,y_0)=C \end{array} \right.\quad\Delta=AC-B^2 \left\{ \begin{array}{l} \>0 \Rightarrow 极值 \left\{ \begin{array}{} A<0 \Rightarrow 极大值 \\ A>0 \Rightarrow 极小值 \end{array} \right. \\ <0 \Rightarrow 非极值 \\ =0 \Rightarrow失效 \end{array} \right. $$条件极值失效情形#
$$ 取特殊路径，证明不存在\\ 典例：f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)\\ 驻点(0,0)\quad 取y_1=2x^2,y_2=2x^3\\ (x,y)\to (0,0)时 \left\{\begin{array}{l} f(x,2x^2)=(2x^2-x^2)(2x^2-x^3)>0\\ f(x,2x^3)=(2x^3-x^2)(2x^3-x^3)<0 \end{array}\right. $$$$ 利用定义证明极值存在 $$条件最值与拉格朗日乘数法#
$$ 求u=f(x,y,z)在条件 \left\{ \begin{array}{l} \varphi(x,y,z)=0\\ \\ \psi(x,y,z)=0 \end{array} \right. 下的最值 $$边界上求最值问题
$$ 构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z) $$$$ \left\{ \begin{array}{l} F'_x=f'_x+\lambda\varphi'_x+\mu\psi'_x=0\\ \\ F'_y=f'_y+\lambda\varphi'_y+\mu\psi'_y=0\\ \\ F'_z=f'_z+\lambda\varphi'_z+\mu\psi'_z=0\\ \\ F'_\lambda=\varphi(x,y,z)=0\\ \\ f'_\mu=\psi(x,y,z)=0 \end{array} \right. $$$$ 解出可疑点P_i，取f(P_i)最值即可 $$二元极限存在判定#
- 直接计算
- 找特殊路径证不存在 $\quad y=kx,y=kx^2$
二元极限计算#
二元极限的可计算性是有限的
通常考无定义点、分段点处极限（初等多元函数在有定义点必连续）
- 利用一元求极限 （除洛必达与单调有界准则外，非零因子常数化、等价无穷小、泰勒展开等均可用） $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{y\sin(xy)}{\ln(1+xy)}=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{y\cdot xy}{xy}=0\\$ （二元函数单变量求极限，可用洛必达，另一变量视作常数） $\lim\limits_{x\to 0}\frac{2e^{x^2y}-e^x-e^{-x}}{x^2}\xrightarrow{洛必达}\lim\limits_{x\to 0}\frac{4xye^{x^2y}-e^x+e^{-x}}{2x}=\cdots$
- 利用夹逼准则（放缩） $\lim\limits_{(x,y)\to (\infty,\infty)}\frac{x^2}{x^4+y^4}(0\leqslant\frac{x^2}{x^4+y^4}\leqslant\frac{1}{x^2})=0$
- 极坐标法（转换坐标系，新坐标系下或许能计算） $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{\rho\to0}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)（\rho,\theta均为自变量）$
多元微分“单函数”求导#
显函数：寻找函数中以f(x,y)表达的部分
$$ 不含f(x,y)部分： 直接按求导习惯求导即可......\\ 含f(x,y)部分： \left\{\begin{array}{} 1.画出变量关系图\\ 2. 链式求导法则计算 \end{array}\right. $$隐函数：
$$ 隐函数求导法则（适用于一阶） $$链式求导法则：
$$ 列链式变量关系，一对多时偏导相加，逐级向后 $$ $$ 注：若二阶混合偏导连续，注意合并二阶混合偏导 $$多元微分“多函数”求导#
导函数可能会“耦合”自变量、因变量
方程组型求导（通用方法）：
$$ \left\{\begin{array}{l} 1.根据变量与方程组个数分析是“ \_\_”个“\_\_”元函数”\\ 2. 画出变量关系图\\ 3. 对方程组两边求导\\ 4. 解方程...... \end{array}\right. $$显函数+隐函数：
$$ u=f(x,y,z),而\varphi(x^2,e^y,z)=0,y=\sin x,求\frac{du}{dx}\\ \ \\ y=g(x,z),函数z=z(x,y)由方程f(x-z,xy)=0确定,求\frac{dy}{dx}\\ 注意区别： \left\{ \begin{array}{ll} \frac{dz}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_z},\quad z=z(x)\\ \ \\ \frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx},\quad z=z(x,y) \end{array}\right. $$克拉默法则解方程组#
齐次，非齐次均适用
$$ ax + by = {\color{red}e}\\ cx + dy = {\color{red}f} $$$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix} $$$$ x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc} $$$$ y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc} $$