微分方程#
考情分析#
难点在于微分方程类型的识别
考试大纲要求：仅要求求通解，不要求求出全部解
微分方程可结合性极强，可结合多种知识考查：
多元微分关系形成微分方程、幂级数微分关系形成微分方程
应用题型微分关系形成微分方程…….
优先级：一阶线性 > 分离变量型 > 齐次型
微分方程只考求解，按习惯计算即可，勿多想
微分方程可解性#
$$ 只有少数简单的微分方程可以求得解析解\\ 微分方程可解性较弱，故复杂题型也均属特殊构造，难点在于整理识别 $$变量分离型#
分离变量、约分会改变定义域，但不要求求全部解
除线性微分方程外，分离变量方法贯穿微分方程求解始终
$$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) $$齐次型微分方程#
$$ \frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) $$齐次：整理为标准形式，分子分母阶次相同
$$ \frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}):\\ 令u=\frac{y}{x},得y=ux,\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\\ x\frac{du}{dx}+u=\varphi(u) $$ $$ \frac{dy}{dx}=f(ax+by+c):\\ u=ax+by+c\\ $$ $$ 注：(\frac{y}{x})为0次 $$一阶线性微分方程#
$$ y'+p(x)y=q(x)\\ y'+p(x)y=0 $$ $$ y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C]（C为任意常数） $$$$ y=Ce^{-\int p(x)dx} $$$$ 此处\int p(x)dx不加C，仅表示一个原函数\\ \int p(x)dx为\ln|\varphi(x)|可直接去掉所有相关项绝对值（勿深究） $$伯努利方程#
$$ y'+p(x)y=q(x)y^n(n\neq0,1) $$伯努利方程不易察觉
$$ 变形为：y^{-n}\cdot y'+p(x)y^{1-n}=q(x) $$$$ 令z=y^{1-n},得\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}，则 $$$$ \\ 原式=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)（一阶线性微分方程） $$$$ ......（注意代回） $$全微分方程#
$$ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 $$ $$ 当\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}时，P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0称为全微分方程\\ 即存在du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 $$解微分方程问题=由偏导反求原函数问题
$$ (y-x^2)dx+(x-1)dy=0 $$公式法（易混）：
$$ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)dy $$积分法（两步走）：
$$ \frac{\partial u}{\partial x}=y-x^2,\frac{\partial u}{\partial y}=x-1\\ u=\int (y-x^2)dx+C_1(y)=xy-\frac{x^3}{3}+C_1(y)\\ \frac{\partial u}{\partial y}=x+C_1'(y)=x-1,即C_1'(y)=-1,C_1(y)=-y+C_1\\ 故u(x,y)=xy-\frac{x^3}{3}-y+C $$微分元法（勿用，难以对应）：
$$ \begin{array}{rl}du&=(2x+y)dx+(2y)dy\\ &=d(x^2+xy)+d(y^2)\\ &=d(x^2+y^2+xy)\quad \times \end{array} $$欧拉方程（固定解法）#
$$ x^2y''+pxy'+qy=f(x) $$ $$ x>0时，令x=e^t，t=\ln x,\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}（固定处理，用以消去x相关项）\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\\ \\ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt})=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dt})=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2} \end{array} \right.\\ \ \\ 注：高阶同理，k阶求导后均对应\frac{1}{x^k} $$$$ \frac{d^2y}{dt^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)（常系数非齐次线性微分方程） $$$$ x<0时，令x=-e^t,同理即可 $$$$ 注：解完方程，注意回代变量t=\ln x $$二阶可降阶微分方程#
$$ y''=f(x,y')型\\ y''=f(y,y')型 $$关键：降阶，处理为一阶微分方程
$$ y''=f(x,y')型：\\ 令p=y',p'=y'',原方程:\frac{dp}{dx}=f(x,p)\\ y=\int p(x,C_1)dx+C_2 $$$$ y''=f(y,y')型：\\ 令y'=p,y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p\\ 原方程：p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\\ p=\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1) $$$$ 注：二阶方程应有两个初始条件，任意一步均可代入 $$微分方程通解、特解的定义#
$$ 通解：若微分方程中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解 $$$$ 特解：不含任意常数的解称为微分方程的特解 $$线性微分方程解的性质#
一般线性、常系数线性
$$ 全部解的构成：齐次通解+非齐次特解\\ （除去“齐次通解因子”，“非齐次特解因子”唯一） $$$$ 齐次解叠加性：y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n为齐次解\\ k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n仍为齐次解 $$$$ 非齐次解叠加性：y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n为非齐次解\\ k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n\left\{ \begin{array}{ll} \sum k_i=0,齐次解\\ \sum k_i=1,非齐次解 \end{array} \right. $$$$ 注： 常系数线性微分方程与线性方程组性质相似，但不相同\\ 常系数线性微分方程的非齐次解可以“模态”分解，线性方程组不可 $$常系数线性微分方程线性无关解个数#
$$ n阶常系数线性微分有n维“模态”或“基向量”\xRightarrow{} n阶常系数线性齐次微分方程必有n个线性无关的解 $$$$ 非齐次特解必然无法被齐次通解线性表示\xRightarrow{}n阶常系数线性非齐次微分方程必有n+1个线性无关的解 $$高阶常系数齐次线性微分方程的通解#
$$ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0 $$ $$ 令r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}+a_n=0,解特征根r_i，得通解: $$$$ r_i\left\{ \begin{array}{l} 实根（个数）\quad [C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots+C_{n-1}x^{n-1}]e^{r_ix}\\ \\ 复根 \alpha\pm\beta i（对数）\quad e^{\alpha x}[(C_0+C_1x+\cdots+C_{n-1}x^{n-1})\sin\beta x+(D_0+D_1x+\cdots+D_{n-1}x^{n-1})\cos\beta x] \end{array} \right.\\ 注：若根为0， [C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots] $$高阶常系数非齐次线性微分方程的特解#
$$ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x) $$$$ f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}\\ f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x] $$ $$ f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}时，y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k\\ k=(\alpha等于特征根r_i)的个数 $$$$ f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]时，y^*=e^{\alpha x}[Q_l(x)\cos\beta x+R_l(x)\sin\beta x]x^k\\ l=\max\{m,n\}\qquad k=(\alpha\pm\beta i等于特征根)的对数 $$可能考查积化和差、和差化积
微分方程重要经验#
$$ 灵活处理为\frac{dx}{dy}=\psi(\frac{x}{y})\\ 类型不明显，向标准形式(dy/dx)化 $$解特征根注意#
$$ (x-1)^3=0,\ x^3-1=0 $$ $$ (x-1)^3=0\Rightarrow x_{1,2,3}=1\\ x^3-1=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\Rightarrow x_1=1,x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{3}\ i}{2} $$微分方程的“任意常数C”问题#
不要求求全部解，但通解形式要求简介美观
$$ \frac{dy}{dx}=2\sqrt{y}\\ \int \frac{dy}{2\sqrt{y}}=\int dx \\ \sqrt{y}=(x+C)\\ y=(x+C)^2 （y=0为奇解，不包含在通解内，不用补） $$$$ \sin(y+C_1)=\pm e^{C_0}e^x\\ \sin(y+C_1)=0为微分方程的解\\ \sin(y+C_1)=C_2e^x(C_1,C_2为任意常数) $$$$ (1+y^2)^3=e^{2C_0}(1+x^2)\\ (1+y^2)^3=C(1+x^2)(C为任意常数，且C>0)\\ $$变量替换解微分方程#
常规型：
$$ \left.\begin{array}{l} y'=\frac{y^2-x}{2y(x+1)}\Rightarrow (y^2)'=\frac{y^2-x}{x+1}\\ y\cdot y''+(y')^2=0\Rightarrow (y\cdot y')'=0\Rightarrow y\cdot y'=C \end{array}\right\}灵活利用辅助函数思想 $$特殊型：
$$ 利用变换t=\tan x求解，\cos^4x\frac{d^2y}{dx^2}+2\cos^2x(1-\sin x\cos x)\frac{dy}{dx}+y=\tan x（与欧拉方程同理）\\ \left\{\begin{array}{l} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{dy}{dt}\\ \ \\ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\sin x}{\cos^3x}\cdot\frac{dy}{dt}+\frac{1}{\cos^4x}\frac{d^2y}{dt^2} \end{array}\right. $$$$ 反函数替换，参数方程替换等（仅在于形式转换，无关难易） $$微分方程反解函数问题#
$$ 反三角函数直接反解，三角函数勿反解 $$应用题求函数#
$$ 典例： 切点为(x,f(x)),直线表示Y-f(x)=f'(x)(X-x)，直线所过点(x_0,y_0)代入X,Y\\ （仅此题较绕，其余按题目列写表达式，构造微分方程即可） $$$$ 注：首要考虑微分方程求解，并求特解，根据题干找初始条件f(a),f'(a) $$注意事项#
$$ 微分方程满足条件y(0)=2,y'(0)=0的解\\ 注意是齐次方程的解还是非齐次方程的解满足条件 $$知一般线性微分方程线性无关解，求非齐次通解、特解#
$$ y_1,y_2,y_3为二阶线性非齐次微分方程的三个线性无关解，则\\ (y_1-y_2),(y_2-y_3)也线性无关\\ \ \\ 将y_1,y_2,y_3视作向量，用线性代数处理\\ A=(y_1,y_2,y_3) \left( \begin{array}{} 1 & 0\\ -1& 1\\ 0& -1 \end{array} \right),r(A)=2\\ 非齐次通解=C_1(y_1-y_2)+C_2(y_2-y_3)+y_i $$知常系数线性微分方程的具体解，反求微分方程#
思路：分析讨论（解均是特别给的）
$$ 便捷技巧 \left\{\begin{array}{l} 齐次解：找特征根即可\\ 非齐次解：先分析非齐次特解因子，再找特征根 \end{array}\right. $$$$ 注：分析法优先，代入法备用（待定系数的思路） $$微分方程导数定义构造典例1#
$$ 典例一：\\ f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y),f'(0)=1,求f(x)\\ \Rightarrow f(0)=0\\ f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}f(x)+e^xf(\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(e^{\Delta x}-1)f(x)+e^xf(\Delta x)}{\Delta x}=f(x)+e^xf'(0) $$$$ 典例二：\\ f(xy)=yf(x)+xf(y),f'(1)=2,求f(x)\\ \Rightarrow f(1)=0\\ f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f[x(1+\frac{\Delta x}{x})]-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x}f(x)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{f(x)}{x}+f'(1) $$微分方程导数定义构造典例2#
$$ 正值可导函数f(x)满足\lim\limits_{t\to \infty}\left[\frac{f(x+\tan\frac{1}{t})}{f(x+\sin\frac{1}{t})}\right]^{t^3}=e^x,且f(0)=1,求f(x) $$