““数项级数””#
考情分析#
数项级数考查敛散性
正（负）项级数审敛几大方法： 比较审敛法（一般用于证明）、比较审敛法的极限形式、比值审敛法、根值审敛法、积分审敛法
数列的敛散性容易分析，数项级数的敛散性较复杂
重难点：数项级数的证明题
数列收敛与子列的关系#
关键在“致密性”，跟函数与数列的关系同理
$$ \{x_n\}收敛\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\{x_{2n}\}收敛\\ $$$$ \{x_{2n}\}发散\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\{x_n\}发散 $$数列与级数的关系#
$$ 级数可完全视作数列\\ 数列也可完全视作级数\\ \ \\ 子数列（连续求和）\neq 子级数（跳跃求和）\sum_{i=1}^{\infty} u_{2i} $$级数收敛的必要条件#
$$ \sum_{n=0}^{\infty}u_n收敛\Rightarrow\lim\limits_{n\to \infty}u_n=0\\ \lim\limits_{n\to \infty}u_n\neq0\Rightarrow\sum_{n=0}^{\infty}u_n发散 $$数项级数的性质#
$$ 在\sum u_n中任意加括号会提高级数的收敛性\\ \ \\ 在\sum u_n中任意加绝对值会提高级数的发散性\\ \ \\ 若级数\sum u_n绝对收敛，不论将其各项如何重新排列，所得新级数也绝对收敛，且其和不变 $$正项级数收敛与有界的关系#
$$ \sum u_n收敛\Leftrightarrow\{S_n\}收敛\Leftrightarrow \{S_n\}有界 $$数项级数敛散性常用结论1#
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)收敛\not\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_n v_n收敛\\（u_n,v_n\to 0的速度互相加快了，但交错级数可能正负号相消了）\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)发散\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}u_n发散，\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散 \not\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)发散\quad（问题在于正负相消）\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}u_n发散(u_n\geqslant0)，\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散(v_n\geqslant0) \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(u_n+ v_n)发散 $$数项级数敛散性常用结论2#
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})收敛\quad (反例：u_n=(-1)^n)\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n(u_n>0)收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}-u_{2n})收敛\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})收敛且\lim\limits_{n\to \infty}u_{n}=0\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛\quad （S_{2n},S_{2n+1}均收敛于A\Leftrightarrow S_n收敛于A）\\ $$$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛\Leftarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_{2n-1}与\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n}均收敛\quad（注意：非子数列，结论3证得）\\ \\ 正项级数：\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_{2n-1}与\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n}均收敛\quad（充分性可用比较法理解，勿深究） \end{array} \right. $$$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_{2n-1}与\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n}中一个发散，一个收敛\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散\quad（\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})发散，故\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散） $$数项级数敛散性常用结论3#
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha u_n+ \beta u_{n-1})收敛\quad（收敛的叠加性证得）\\ \ \\ \lim\limits_{n\to \infty}u_n存在\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}-u_n)收敛\quad（级数展开，所见即所得） $$数项级数敛散性常用结论4#
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，\sum_{n=1}^{\infty}|v_n|收敛\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}|u_n v_n|收敛，\sum_{n=1}^{\infty}u_n\cdot|v_n|收敛\quad（u_n,|u_n|,加快了|v_n|\to 0的速度）\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}u_n与\sum_{n=1}^{\infty}v_n至少有一个发散\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}(|u_n|+|v_n|)发散\quad （均为正项级数，无法正负相消）\\ \ \\ \sum_{n=1}^{\infty}u_n^2与\sum_{n=1}^{\infty}v_n^2都收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}|u_n v_n|与\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)^2均收敛\quad(|u_n v_n|\leqslant\frac{1}{2}(u_n^2+v_n^2),\quad(u_n+v_n)^2\leqslant2(u_n^2+v_n^2)) $$数项级数敛散性常用结论5#
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(u_n\geqslant0)收敛\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2,\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{u_n u_{n+1}},\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{u_n}}{n}均收敛\\(u_n^2\leqslant u_n(n充分大),\quad\sqrt{u_n u_{n+1}}\leqslant\frac{1}{2}(u_n+u_{n+1}),\quad\frac{\sqrt{u_n}}{n}\leqslant\frac{1}{2}(u_n+\frac{1}{n^2})) $$$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛\not\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}|u_n|,\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2,\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n,\sum_{n=1}^{\infty}u_n u_{n+1}收敛\quad(反例：\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}) $$$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n^2收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n}绝对收敛\qquad (|u_n\cdot \frac{1}{n}|\leqslant \frac{1}{2}(u_n^2+\frac{1}{n^2})) $$正项级数敛散性分析思路#
$$ 正项级数敛散一般看通项在趋于 \infty 时的“表现”， 即正项级数判别尺度 $$$$ 比值判别法，根值判别法，积分审敛法\ 为补充方法（覆盖不同情形） $$正项级数敛散判别尺度#
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left\{ \begin{array}{ll} 发散，& p\leqslant1\\ &&（0^p阶次越高越收敛）\\ 收敛，& p>1 \end{array} \right. $$比较判别法#
$$ 正项级数\sum_{n=0}^{\infty}u_n, \sum_{n=0}^{\infty}v_n \\ 若存在 正整数N，使得当n\geqslant N时，0\leqslant u_n\leqslant v_n\\ 若\sum_{n=0}^{\infty}v_n收敛，则\sum_{n=0}^{\infty}u_n收敛\\ 若\sum_{n=0}^{\infty}u_n发散，则\sum_{n=0}^{\infty}v_n发散 $$比较判别法的极限形式#
级数判敛的核心方法
$$ 正项级数\sum_{n=0}^{\infty}u_n\quad \quad $$$$ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=A\neq0，则\sum_{n=1}^{\infty} u_n与\sum_{n=1}^{\infty}v_n同敛散 $$$$ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{b_n}=\infty,且\sum_{n=0}^{\infty}b_n发散,则发散 $$$$ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{a_n}=0,且\sum_{n=0}^{\infty}a_n收敛,则收敛 $$比值判别法与根值判别法#
$$ 小结论：比值法极限存在\substack{\Rightarrow \\ \not\Leftarrow}根植法极限存在 $$比值判别法：
$$ 正项级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\ 若\lim\limits_{x\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho,则\\ \left\{ \begin{array}{ll} \rho<1,& 级数收敛\\ \\ \rho>1,& 级数发散 \end{array} \right. $$根值判别法：
$$ 正项级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\ 若\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho,则\\ \left\{ \begin{array}{ll} \rho<1,& 级数收敛\\ \\ \rho>1,& 级数发散 \end{array} \right. $$积分审敛法#
$$ 级数通项u_n非负单减，则\sum f(n)与\int_a^{+\infty}f(x)dx同敛散 $$$$ 简证：\\ \sum_{n=1}^{k} f(n+1) \leqslant \sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leqslant \sum_{n=1}^{k} f(n)\\ \sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx= \int_1^{k+1} f(x)\, dx\\ \sum_{n=1}^{\infty}f(n+1)\leqslant\int_1^{+\infty}f(x)dx\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}f(n)（k\to +\infty时，f(x)\to 0） $$$$ 注：灵活应用此积分放缩原理，可对数项级数进行积分夹逼 $$莱布尼茨判别法（交错级数）#
交错级数的收敛比较特别
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n（与首项正负无关）, \ u_n>0, n=1,2,\cdots\\若\{u_n\}单调不增且\lim\limits_{n\to \infty}u_n=0,则该级数收敛\\ （单调有界准则证明，加括号证有界、单调） $$$$ 交错级数判单减方法：导函数正负、比值法等 $$泰勒展开判敛方法#
重要判别方法，与极限判别法地位等同
$$ 思路：\\ 泰勒展开为各阶无穷小的子级数求和\\判别n\to \infty时，各子级数u_n趋于0的阶次 $$$$ 例：\\ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}\\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}[1+\frac{(-1)^n}{n}]^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}[1-\frac{1}{2}\frac{(-1)^n}{n}+\circ(\frac{1}{n})]\\ （由判别尺度可知，p>1即收敛，\circ(\frac{1}{n})<\frac{A}{n^2}+\frac{B}{n^3}+n\frac{C}{n^4}收敛\\ 故高阶无穷小对应子级数之和必收敛） $$