幂级数#
阿贝尔定理#
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n在x=x_1处收敛，对于满足|x|<|x_1|的一切x,幂级数\ \textbf{绝对收敛} $$ $$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n在x=x_2处发散，对于满足|x|>|x_1|的一切x,幂级数\ \textbf{发散} $$收敛半径的求法#
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho,\ 则\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n的收敛半径为\\ R= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\rho},& \rho\neq0\\ \\ +\infty,& \rho=0\\ \\ 0,& \rho=+\infty \end{array} \right.\qquad{\color{blue}本质： \lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|<1时绝对收敛，故\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|<\frac{1}{\rho}时绝对收敛} $$$$ 注： \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}与\sum_{n=0}^{\infty}a_{2n}x^{2n}收敛半径相同\\ 收敛区间为开区间，收敛域需讨论区间端点 $$幂级数线性叠加的收敛半径#
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n与\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n的收敛半径分别为R_1,R_2(R_1\neq R_2)\\ \sum_{n=0}^{\infty}(\alpha a_n \pm \beta b_n) x^n的收敛半径为\min\{R_1,R_2\} $$$$ 注：\\ 若R_1\neq R_2 \left\{ \begin{array}{l} 公共收敛区间叠加后必收敛\\ \\ 非公共收敛区间叠加必发散\\ （由阿贝尔定理，以外区间也发散） \end{array} \right.\\ 若R_1= R_2，则R\geqslant\min\{R_1,R_2\} $$幂级数绝对收敛、发散、条件收敛的关系#
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \left\{ \begin{array}{ll} 绝对收敛，& |x|<R\\ \\ &|x|=R\Leftarrow (\substack{x=x_1条件收敛\\ \\ 或x=x_1收敛，x=-x_1发散})\\ \\ 发散，& |x|>R \end{array} \right. $$和函数性质#
$$ S(x)在收敛域上连续，收敛域即为和函数定义域 $$幂级数展开式#
$$ e^x,\ln(1+x),\quad \frac{1}{1+x},\frac{1}{1-x},\quad \sin x,\cos x,\quad \arctan x $$有阶乘域无穷，无阶乘域为“1”
$$ \mathrm{e}^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad(-\infty<x<+\infty)\\ \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots\quad(-1<x \leqslant 1) $$$$ \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots\quad(-1<x<1)\\ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots\quad(-1<x<1) $$$$ \sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\quad(-\infty<x<+\infty)\\ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2 n}}{(2 n) !}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\quad(-\infty<x<+\infty) $$$$ \arctan x =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots +\frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}+\cdots\quad (-1\leqslant x\leqslant 1) $$幂级数展开式（补）#
$$ \frac{e^x+e^{-x}}{2},\frac{e^x-e^{-x}}{2}\quad e^{-x},-\ln(1-x) $$ $$ \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\quad(-\infty<x< +\infty)\\ \frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\quad(-\infty<x< +\infty) $$$$ e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^n}{n !} =1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad(-\infty<x<+\infty)\\ -\ln (1-x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)(-1)^{n-1} (-x)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} x^n}{n}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{x^n}{n}+\cdots\quad(-1\leqslant x <1) $$狄利克雷收敛定理#
$$ 设f(x)是以[-l,l]为周期的可积函数，如果在[-l,l]上f(x)满足：\\ 1.f(x)连续或只有有限个第一类间断点\\ 2. f(x)只有有限个极值\\ 则f(x)的傅里叶级数\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)的和函数为\\ S(x)= \left\{ \begin{array}{ll} f(x),&x为连续点\\ \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},&x为间断点\\ \frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2},&x=\pm l \end{array} \right. $$傅里叶级数#
$$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)\\ \left.\begin{array}{l} a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)dx \neq a_n|_{n=0}（不一定相等）\\ \ \\ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,\cdots\\ \ \\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,\cdots \end{array}\right\}积分区间不固定，2l即可 $$$$ f(x)偶函数\rightarrow余弦级数，f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos \frac{n\pi x}{l}\\ f(x)奇函数\rightarrow正弦级数，f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin \frac{n\pi x}{l} $$$$ 注：2l须为f(x)的最小正周期； 否则，会丢失部分谐波 $$$$ {\color{grey}借"m"求"n"次的系数，\int_{-\mu}^{\mu}\cos\frac{m\pi x}{\mu}\cos\frac{n\pi x}{l}dx(\mu=kl,k>1)} $$傅里叶级数奇延拓，偶延拓#
$$ \left\{ \begin{array}{l}S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\\ \ \\ b_n=2\int_0^lf(x)\sin n\pi xdx \end{array} \right.\rightarrow 奇延拓[0,l]上的f(x) $$$$ \left\{ \begin{array}{l}S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\pi x\\ \ \\ a_n=2\int_0^lf(x)\cos n\pi xdx \end{array} \right.\rightarrow 偶延拓[0,l]上的f(x) $$$$ 注：仅考查周期奇延拓与偶延拓\\ 对[-a,b]的函数作奇、偶延拓得到的不是函数 $$傅里叶级数小结论#
$$ \int_{-l}^l\cos\frac{n\pi x}{l}dx=\int_{-l}^l\sin\frac{n\pi x}{l}dx=0 $$$$ \int_{0}^l\sin\frac{n\pi x}{l}dx=\frac{-l}{n\pi}(\cos n\pi-1)=\frac{-l}{n\pi}((-1)^n-1)\\ \int_{0}^l\cos\frac{n\pi x}{l}dx=0 $$和函数的逐项求导、逐项积分原则#
$$ 若在收敛区间(-R,R)上有和函数S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,则\\ 在(-R,R)内有S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} $$$$ 若在收敛区间(-R,R)上有和函数S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,则\\ 在(-R,R)内有\int_0^xS(x)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} $$$$ 收敛半径：逐项求导、逐项积分后不变\\ 收敛域：逐项求导可能“去端点”、逐项积分可能“加端点”（数项级数收敛判断） $$数项级数与幂级数的转化#
$$ 收敛关系转化：\sum_{n=0}^{\infty}a_n条件收敛\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n在x=3处条件收敛 $$$$ 数项级数求和：\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\left|_{x=1}\right. $$缺项型幂级数求收敛域#
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n}, \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n+1} $$ $$ 令t=x^2\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n, x^2\in(-R,R)\Rightarrow x\in(-\sqrt{R},\sqrt{R})\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n+1}=x\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n,x^2\in(-R,R)\Rightarrow x\in(-\sqrt{R},\sqrt{R}) $$和函数相关运算注意#
加和号“∑”的下标注意:
$$ 通项“+1”，下标“-1”\\ 通项“-1”，下标“+1”\\ 拆项后约分： 注意无效项，改下标勿多勿漏 $$$$ 求导后未出现无效项，无需改变下标\\ 无效项：无效a_n\quad 阶乘(-b)!\quad x^k(k< 0) $$首先计算幂级数收敛域并标注
使用级数公式时，注意有效展开式收敛域
$$ 配\frac{1}{x^k}时，注意讨论\left\{\substack{x=0\\x\neq0}\right. $$求和函数技巧#
展开式侧凑
前提，先求收敛域
$$ 形式处理：裂项、拆分、凑已知展开式等\quad{\color{blue}关键：配凑单次因式（仅单次因式可被“积”“导”处理）}\\ 例：\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}x^{2n},\quad\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}[1+\frac{1}{n(2n-1)}]x^{2n},\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+n^2}{n!\cdot2^n}x^n,\quad \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n+1}{(2n+1)!}x^{2n+1} $$$$ 先积后导：\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}(x^n)'=(\sum_{n=1}^{\infty}x^n)'=S(x)\\ 先导后积：\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^x(\frac{1}{n}x^n)'dx=\int_0^x\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}dx=\underbrace{S(x)-S(0)}_{S(x)+C-[S(0)+C]}\\ \ \\ 注：\\ 若整体求导、积分，求导、积分符号可直接放至\sum内外，否则不可\\ “高次”型中间增设S_1(x)，提取\frac{1}{x}或x等后的展开式，设为S_1(x) $$$$ 微分方程：\\ 1.已知数列递推式，勿解通项，幂级数求导、积分可构造微分方程\\ (n+1)a_{n+1}=na_n+a_{n-1}（统一累加下限即可），根据a_n关系构造对应幂级数，可得S(x)的关系方程\\ 2. 已知微分方程，或代入级数通项，或解微分方程，据情况选择\\ 3. 难以寻找规律，可求导，寻找导数间关系，借助微分方程解函数 $$幂级数展开技巧#
函数侧凑
前提，先求收敛域
$$ 凑形式展开：\\ \ln(4x-5)展开成(x-2)的幂级数（即可便捷求出x=2处的高阶导）\\ \ln(4(x-2)+3)=\ln3(1+\frac{4(x-2)}{3})=\ln3+\ln(1+\frac{4(x-2)}{3})\\ 注：(x-1)\frac{1}{4-x}在x=1处展开，(x-1)无须处理 $$$$ 逐项求导+逐项积分: \\ 例：\arctan\frac{1-x}{1+x}展开为幂级数\qquad(\arctan\frac{1-x}{1+x})'=-\frac{1}{1+x^2}\\ \int_0^x-\frac{1}{1+x^2}dx=-\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-x^2)^n dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}=\arctan\frac{1-x}{1+x}-\arctan1 $$$$ 凑已知和函数（求导、求积等）：\\ f(x)=\frac{1}{1+x},g(x)=\frac{x^2}{(1+x)^2}\\ g(x)=-x^2f'(x)=\cdots $$$$ 拆函数展开等：\\ f(x)=\frac{1+x^2}{x}\arctan x=\frac{1}{x}\arctan x+x\arctan x $$$$ 注：展开成x的幂级数，即在x=0处展开\\ 注意补充收敛区间，取交集 $$