函数#
反函数存在条件#
$$ 函数自变量 x 与因变量 y 一 一对应（函数单调，等等） $$如何理解反三角函数#
反三角函数是三角函数在特定区间的反函数
$$ y=\arcsin x, \ \ x\in[-1,1],y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$ $$ \arcsin(\sin x)\neq x （未限制x定义域，左x不一定等于右x） $$ $$ \sin(\arcsin x)=x $$隐函数与方程的关系#
隐函数也是函数，满足函数的定义，一个方程可确定多个隐函数
函数的x、y对应及函数的决定要素#
x->y: 一对一，多对一（唯一的x对应y）
定义域、对应关系（与变量符号无关）
函数奇偶性定义#
$$ 函数f(x)的定义域D关于原点对称，\\ 如果\forall x\in D，\left\{ \begin{array}{ll} f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数\\ f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数 \end{array}\right. $$$$ 注：定义域D不一定连续，但考研几乎不考察不连续情形 $$函数单调性定义#
$$ 函数f(x)的定义域为D，\forall x_1,x_2\in D，\\ 当x_1<x_2时，恒有 \left\{\begin{array}{l} f(x_1)<f(x_2)，则称f(x)单调递增\\ f(x_1)>f(x_2)，则称f(x)单调递减 \end{array}\right. $$$$ 注：定义域D不一定连续，但考研几乎不考察不连续情形 $$函数周期性定义#
$$ 函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l，\\ 使得\forall x\in D，有(x\pm l)\in D且f(x\pm l)=f(x)\\ 则称f(x)为周期函数 $$$$ 注：定义域D不一定连续，但考研几乎不考察不连续情形 $$函数对称性#
关于x=a，(a,0)对称
$$ 关于x=a：\\ 以x=a为参照：f(x+a)=f(a-x)\\ 以x=0,2a为参照：f(x)=f(2a-x) \\ (且f(x+a)与f(a-x)关于x是偶函数) $$$$ 关于(a,0)对称：\\ 以x=a为参照：f(x+a)=-f(a-x)\\ 以x=0,2a为参照：f(x)=-f(2a-x) \\ (且f(x+a)与f(a-x)关于x是奇函数) $$函数拆奇偶#
$$ 任意f(x)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} f(x)+f(-x)为偶函数\\ f(x)-f(-x)为奇函数 \end{array}\right. $$$$ f(x)可拆解为： \left\{\begin{array}{} \frac{1}{2}[f(x)+f(-x)] \quad偶函数\\ \ \\ \frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]\quad奇函数 \end{array}\right. $$判断函数奇偶性的方法#
定义法，复合函数，乘法
- 定义法 $f(x), f(-x)$
- 复合函数：内偶则偶，内奇同外
- 乘法：奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇
判断函数有界的三条结论#
$$ f(x)在[a,b]上连续或单调\Rightarrow f(x)在[a,b]上有界 $$$$ f(x)在(a,b)，(-\infty,+\infty)内连续或单调,且\lim\limits_{x\to a+,-\infty}f(x)\ \exist, \lim\limits_{x\to b^-,+\infty}f(x)\ \exist\Rightarrow f(x)在(a,b)内有界 $$$$ f'(x)在有限区间(a,b)内有界([a,b]上判断(a,b)即可，端点另行判断)\Rightarrow f(x)在(a,b)内有界 $$函数的平移放缩#
$$ 标准形式：y=f(ax+b)\quad先位移，后放缩\\ 位移：左加右减\\ 放缩：\frac{1}{a}\quad （a<0直接翻转） $$函数放缩变换后的最小正周期 T#
$$ y^*=f(ax+b),\ T^*=\frac{T}{|a|} $$$$ 注：常函数为周期函数，但无最小正周期 T $$复合函数问题重要思路#
整体代换
$$ 1.\ f[\varphi(x)]=e^{\varphi^2(x)}=1-x $$$$ 2.\ f[f(x)]= \left\{ \begin{array}{} \ln\sqrt{f(x)}, f(x)\geqslant1\\ \\ 2f(x)-1,f(x)<1 \end{array} \right. $$