空间解析几何#
数量积、向量积、混合积#
$$ 数量积：\textbf{a}\cdot\textbf{b}=|\textbf{a}|\cdot|\textbf{b}|\cos\theta $$ $$ 向量积：\textbf{a}\times \textbf{b}= \left| \begin{array}{ccc} \textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\ \\ a_1&a_2&a_3\\ \\ b_1&b_2&b_3 \end{array} \right|\\ \ \\ |\textbf{a}\times\textbf{b}|=|\textbf{a}|\cdot|\textbf{b}|\cdot\sin(\widehat{\textbf{a},\textbf{b}})\quad （平行四边形面积） $$$$ 混合积：[abc]=(a\times b)\cdot c= \left| \begin{array}{ccc} a_x&a_y&a_z\\ \\ b_x&b_y&b_z\\ \\ c_x&c_y&c_z \end{array} \right|\quad（六面体体积） $$垂直、平行的向量表示#
$$ \mathbf{s_1}=(m_1,n_1,p_1),\mathbf{s_2}=(m_2,n_2,p_2) $$ $$ \mathbf{s_1}\parallel\mathbf{s_2}\Leftrightarrow \mathbf{s_1}\times\mathbf{s_2}=\mathbf{0}\Leftrightarrow \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}\\ $$$$ \mathbf{s_1}\perp\mathbf{s_2}\Leftrightarrow \mathbf{s_1}\cdot\mathbf{s_2}=m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0 $$点到直线、平面距离#
$$ 平面：d_{线}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\ 空间：d_{线}=\frac{|\textbf{s}\times \overrightarrow{MM_1}|}{|\textbf{s}|}\qquad点M_1(x_1,y_1,z_1)到直线L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}的距离 $$$$ d_{面}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$直线方程的三种形式#
$$ 点向式：\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\\ 参数式：\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt \end{array} \right.\\ 两点式：\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} $$平面方程的三种形式#
$$ 一般式：Ax+By+Cz+D=0 $$$$ 点法式：A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 $$$$ 截距式：\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $$空间曲线的切线与法平面#
$$ 参数方程\left\{ \begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\\ z=\omega(t) \end{array} \right.\\切向量: \boldsymbol{\tau}=(\varphi'(t),\psi'(t),\omega'(t))\\ 法平面: \varphi'(t)(x-x_0)+\psi'(t)(y-y_0)+\omega'(t)(z-z_0)=0 $$ $$ 交面式方程\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array} \right.\\ 切向量：\boldsymbol{\tau}=\left| \begin{array}{ccc} \textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\ F'_x& F'_y&F'_z\\ G'_x & G'_y&G'_z \end{array} \right|_{(x_0,y_0,z_0)}\quad （与空间直线方向向量同理）\\ 法平面：...... $$空间曲面的法线与切平面#
$$ 法向量：\textbf{n}=(F'_x,F'_y,F'_z)\big|_{(x_0,y_0.z_0)},\textbf{n}=(z'_x,z'_y,-1)或(-z'_x,-z'_y,1)\big|_{(x_0,y_0.z_0)} $$$$ 法线：\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)} $$$$ 法平面：F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 $$梯度与方向导数#
$$ 三元函数u=u(x,y,z) $$$$ 梯度：\textbf{grad}\ u\bigg|_{P_0}=(u'_x,u'_y,u'_z)\big|_{P_0} $$$$ 方向导数：\\ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}\bigg|_{P_0}=u'_x\cos\alpha+u'_y\cos\beta+u'_z\cos\gamma\big|_{P_0}=\boldsymbol{l^0}\cdot \textbf{grad}\ u\\ (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)为方向\boldsymbol{l^0}的方向余弦\\ 即梯度向量在单位方向向量\boldsymbol{l^0}上的投影\\ 定义法（偏导不连续时）：\frac{\partial u}{\partial l}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\cos\alpha t+x_0,\cos\beta t+y_0,\cos\gamma t+z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{t} $$$$ 注：方向导数在与梯度同向时取得最大值 $$方向导数取最大值题型#
在某方向向量上取得最大方向导数，即梯度与方向向量同向
$$ f(x,y,z)=axy^2+byz+cx^3z^2在点P(1,2,-1)处的方向导数沿z轴正向\boldsymbol{l}取得最大值 $$$$ \textbf{grab}\ f=(f'_x,f'_y,f'_z)\big|_P=\lambda \boldsymbol{l}=\lambda(0,0,1) $$在某曲线（曲面）取得最大方向导数，即梯度取得最大值
$$ ||\textbf{grab}\ f||的条件最值问题 $$梯度与等值线（面）的关系#
$$ z=x^2+y^2在(1,0)处的梯度方向（z数值由低到高）：\\ 沿曲线x^2+y^2=1在(1,0)处的外法线方向（z越大，等值线越大） $$$$ u=4x^2+y^2+z^2-6在点M(1,1,1)的梯度方向：\\ 沿曲面S：4x^2+y^2+z^2-6=0的外法线方向（u越大，等值面越大） $$$$ 关键：函数u=F(x,y,z)的梯度是等值面F(x,y,z)=c的法向量（u增大方向） $$场论公式#
$$ 散度\text{div} A、旋度\textbf{rot\ A} $$ $$ 向量场(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) $$$$ \text{div}\ \textbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$$$ \textbf{rot A}= \left| \begin{array}{} \textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\ \\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ \\ P&Q&R \end{array} \right| $$平面束方程#
$$ 直线L： \left\{ \begin{array}{l} x+y+2z+1=0\\ 2x+4y+z-3=0 \end{array} \right.\\ 过直线L的所有平面可表示为（构成原直线的两平面不平行）：\\ x+y+2z+1+\lambda(2x+4y+z-3)=0\\ 法向式原理： (1+2\lambda,1+4\lambda,2+\lambda)与直线L垂直且任意，并作为平面法向量 $$空间直线方程的转化#
$$ 一般方程\rightleftharpoons点向式方程、参数方程 $$一般式转化：
$$ 一般式方程\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.\\ 1.叉乘确定向量\boldsymbol{\tau}=(A_1,B_1,C_1)\times(A_2,B_2,C_2)\\ 2. 确定一个直线上的点(0,y_0,z_0) $$点向式、参数方程转化：
$$ 点向式方程、参数方程\\ 已知点P(x_0,y_0,z_0)，向量\boldsymbol{\tau}=(l,m,n)\\ 任意两组等式 \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}\\ \frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m(x-x_0)-l(y-y_0)=0\\ n(y-y_0)-m(z-z_0)=0 \end{array} \right. $$平面曲线绕坐标轴旋转所得曲面（一般式）#
灵活利用此性质分析曲面形状
$$ 坐标平面yOz中有曲线f(y,z)=0\\ 绕z轴旋转:|y|=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow y=\pm\sqrt{x^2+y^2}\\ 故f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\\ z=y^2绕z轴旋转\rightarrow z=(\pm \sqrt{x^2+y^2})^2=x^2+y^2 $$$$ 注： z=2-\sqrt{x^2+y^2}由z=2-y或z=2+y绕z轴转成\\ （针对z而言，y为正取\sqrt{x^2+y^2}，y为负取-\sqrt{x^2+y^2}）\\ $$曲线绕坐标轴旋转所得曲面（参数方程）#
参数方程法
$$ 例： 直线L的参数方程 \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=t\\ z=1+2t \end{array} \right.其上一点P(x_0,y_0,z_0)转至P(x, y, z)时，有\\ \left\{ \begin{array}{l} x_0^2+y_0^2=x^2+y^2=1+t^2\\ z_0=z=2t+1（t反解代入） \end{array} \right. $$$$ 注：空间中曲线的参数方程同理\\ 坐标平面中直线的参数方程同理\quad xOy面y=x\quad \left\{\begin{array}{l} x=t\\ y=t\\ z=0 \end{array}\right. $$