多元函数积分学#
考情分析#
一元定积分、二重积分、三重积分求原函数的难度逐渐递减
两类曲线积分间、两类曲面积分间的转化灵活使用
方向余弦#
$$ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma $$ $$ 三元方程F(x,y,z)=0 $$$$ \textbf{n}=\frac{(F'_x,F'_y,F'_z)}{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2+(F'_z)^2}}=\ \cos\alpha\ \textbf{i}+\cos\beta\ \textbf{j}+\cos\gamma\ \textbf{k} $$$$ \cos\alpha=\frac{F'_x}{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2+(F'_z)^2}}\\ \cos\beta=\frac{F'_y}{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2+(F'_z)^2}}\\ \cos\gamma=\frac{F'_z}{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2+(F'_z)^2}} $$ $$ 注：(F'_x,F'_y,F'_z)的内、外法线方向需另判断处理\\ 球面指向为外法线方向 $$二重积分定义式#
最多考区间 x,y∈(0,a)
$$ \quad\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{2}{(\frac{ia}{n})^2+4(\frac{jb}{n})^2+2(\frac{ia}{n}+2\frac{jb}{n})+2}\cdot\frac{ab}{n^2}\\ =\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{an}\sum_{j=1}^{bn}\frac{2}{(\frac{i}{n})^2+4(\frac{j}{n})^2+2(\frac{i}{n}+2\frac{j}{n})+2}\cdot\frac{1}{n^2}\\ =\int_0^adx\int_0^b\frac{2}{x^2+4y^2+2x+4y+2}dy $$变限积分：
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})\cdot\frac{1}{n^2}=\int_0^1 dx\int_0^x f(x,y)dy $$极坐标转换#
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ d\sigma=rd\theta dr \end{array} \right.\qquad \iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \iint\limits_{D}f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d\theta dr $$$$ 积分区域\left\{\begin{array}{rl} (x-a)^2+y^2=a^2 &\leftrightarrow \rho=2a\cos \theta\\ (x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2&\leftrightarrow \rho=2a\cos \theta+2b\sin\theta \end{array} \right. $$二重积分广义极坐标变换#
$$ 积分区域D:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant 1\\ 令x = a\rho\cos\theta，y = b\rho\sin\theta\\ 将区域D：\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq1变为D^{\prime}：0\leq \rho\leq1，0\leq\theta\leq2\pi\\ 雅可比行列式 J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho}&\frac{\partial x}{\partial\theta}\\ \ \\ \frac{\partial y}{\partial \rho}&\frac{\partial y}{\partial\theta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a\cos\theta&-a\rho\sin\theta\\b\sin\theta&b\rho\cos\theta \end{vmatrix}=ab\rho\\ 积分公式\iint_{D}y^{2}dxdy=\iint_{D^{\prime}}(b\rho\sin\theta)^{2}\cdot|J|d\rho d\theta=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}b^{2}\rho^{2}\sin^{2}\theta\cdot ab\rho d\rho=\frac{\pi ab^{3}}{4} $$二重积分雅可比换元法#
$$ D=\{(x,y)|x+y\leqslant 1,x\geqslant 0,y\geqslant 0\}, I =\iint \limits_{D} \frac{e^{-(x+y)}}{\sqrt{xy}}dxdy\\ 换元u=-(x+y),v=x,则\\ D'=\{(u,v)|-1\leqslant u\leqslant 0, 0\leqslant v\leqslant 1, -1\leqslant u+v\leqslant 0\},\\ I =\iint \limits_{D'}\frac{e^{-u}}{\sqrt{v(-v-u)}}\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \ \\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}dudv=\iint \limits_{D'}\frac{e^{-u}}{\sqrt{v(-v-u)}}dudv $$ $$ 注：配为x,y对应得换元后积分区域 $$二重积分平移坐标系#
$$ D=\{(x,y)|(x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 1\}, I =\iint f(x,y)dxdy\\ 坐标变换：u=x-1,v=y-1,则\\ D'=\{(u,v)|u^2+v^2\leqslant 1\}, I =\iint f(u+1,v+1)dudv $$球面坐标转换#
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=r\sin \varphi\cos\theta\\ y=r\sin \varphi\sin \theta\\ z=r\cos\varphi\\ dv=r^2\sin\varphi d\theta d\varphi dr \end{array} \right.\qquad \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv=\iiint\limits_{\Omega}f(r\sin\varphi \cos\theta,r\sin\varphi \sin\theta, r\cos\varphi)r^2\sin\varphi d\theta d\varphi dr\\ \varphi\in(0,\pi)\quad \theta\in (0,2\pi) $$$$ \left\{ \begin{array}{l} x=r\sin \varphi\cos\theta\\ y=r\sin \varphi\sin \theta\\ z=r\cos\varphi\\ dS=r^2\sin\varphi d\theta d\varphi \end{array}\right.\qquad \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint f(r\sin\varphi \cos\theta,r\sin\varphi \sin\theta, r\cos\varphi)r^2\sin\varphi d\varphi d\theta $$
第二型曲面微元的正负问题#
$$ 曲面微元 \left\{\begin{array}{l} 方向与坐标轴方向相同时，dxdy处理为dxdy\\ \ \\ 方向与坐标轴方向不同，dxdy处理为-dxdy \end{array}\right. $$曲线微元转换公式#
$$ \frac{dx}{\cos\alpha}=\frac{dy}{\cos\beta}=ds\quad(\cos\alpha,\cos\beta)为曲线的单位切向量 $$曲面微元转换公式#
$$ dxdy、dydz、dzdx $$ $$ \frac{dydz}{\cos\ \alpha}=\frac{dzdx}{\cos\ \beta}=\frac{dxdy}{\cos\ \gamma}=dS $$$$ 有向曲面微元有正有负\\ “方向余弦”内含了“有向曲面微元的正负” $$两类曲线、曲面积分的关系#
$$ \textbf{n}=(\cos\alpha,\cos\beta)为有向曲线方向的单位法向量\\ \int_{L}Pdx+Qdy=\int (P\cos\beta+Q\cos\alpha)ds $$ $$ \textbf{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)为有向曲面\textbf{S}在指定侧的单位法向量\\ \alpha,\beta,\gamma为\textbf{n}与x,y,z正向的夹角 $$$$ \iint \limits_{\textbf{S}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint\limits_{S}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS\\ 左式中曲面“方向”内含于有向曲面微元的“正负”中\\ 右式中曲面“方向”内含于“方向余弦”中\\ $$$$ 注：抽象函数积分、特殊题型可能涉及一、二型转换 $$格林公式#
$$ 平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成，P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则 $$$$ \oint_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma $$$$ L 取正向，即左手始终在 L 所围成区域 D 内；\quad 单连通、多连通（复连通）区域均成立 $$$$ 注：{\color{blue}边界奇点也应挖去}\\ 挖奇点处理后，封闭曲线方向处理为外逆内顺（均在左手）\\ \iint\limits_{D}-\oint\limits_{L_1}\qquad 或\qquad-\iint\limits_{D}-\oint\limits_{L_1} $$高斯公式#
$$ 空间有界闭区域\Omega由有向分片光滑封闭曲面\textbf{S}围成，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在\Omega上具有一阶连续偏导数，则 $$$$ \oiint\limits_{\textbf{S}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv $$$$ \textbf{S}是\Omega的整个边界{\color{blue}曲面外围}；\quad 单连通、多连通（复连通）区域均成立 $$$$ 注：{\color{blue}边界奇点也应挖去}\\ 挖奇点处理后，封闭曲面方向侧处理为外外内内\\ \iiint\limits_{\Omega}-\oiint\limits_{\mathbf{S_1}}\qquad 或\qquad-\iiint\limits_{\Omega}-\oiint\limits_{\mathbf{S_1}} $$斯托克斯公式#
$$ \Gamma为分段光滑的空间有向闭曲线，\textbf{S}为以\Gamma为边界的分片光滑有向曲面\\ P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面\textbf{S}的空间区域内有一阶连续偏导数，则 $$$$ \begin{array}{r l}\oint_\Gamma P dx+Q dy +R dz=& \iint\limits_{S} \left| \begin{array}{ccc} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma\\ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \\ P & Q & R \end{array} \right|dS（第一型曲面积分）\\ \\ {\color{grey}=} & {\color{grey}\iint \limits_{\textbf{S}} \left| \begin{array}{ccc} dydz & dzdx & dxdy\\ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \\ P & Q & R \end{array} \right|（第二型曲面积分） } \end{array} $$$$ \Gamma 方向与\Sigma法向量 成右手系 $$$$ 注：{\color{blue}边界奇点应挖去}\\ \oint_\Gamma P dx+Q dy +R dz=\iint\limits_{\textbf{S}}\text{rot}\ Fd\textbf{S}\\ 斯托克斯公式为格林公式在空间中的推广 $$第一型线面积分、重积分的奇偶性#
$$ 两要素判断 \left\{\begin{array}{l}积分区域对称\\ 积分函数对称 \end{array}\right. $$$$ 关于坐标轴\\ 区域对称：1. 关于坐标轴对称 \ \ 2. 某变量变号，区域函数不变\\ 函数对称：f(x,y,z)=\pm f(-x,y,z)\\ \ \\ 关于原点\\ 区域对称：1. 关于原点对称 \ \ 2. 两变量变号，区域函数不变\\ 函数对称：f(x,y,z)=\pm f(-x,-y,z) $$$$ 关于y=x\\ 区域对称：1.关于y=x对称\ \ 2.\ x,y对换，区域函数不变\\ 函数对称：f(x,y)=\pm f(y,x) $$$$ 注：奇偶性勿固化于坐标轴的奇偶性，关于某点、某条直线也可以谈论奇偶性 $$第一型线面积分、重积分轮换对称性#
轮换对称性仅与积分区域有关
$$ 判断方法：1. 关于直线或平面“y=x”对称\ \ 2.交换某两变量，积分区域不变 $$若满足轮换对称性，对应积分变量间可任意对换（地位等同）
$$ \star f(x)\rightarrow f(y)\\ \star f(x,y,z)\rightarrow f(y,z,x) $$$$ 函数处理：\iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D_{xy}}f(y,x)dxdy=\frac{1}{2}\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y)+f(y,x)dxdy\\ 区间处理：\iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D_1}f(x,y)+f(y,x)dxdy\qquad D_{xy}=D_1+D_2（关于y=x对称） $$$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l}D为y=2-x与坐标轴围成区域\\ \iint\limits_{D}(x+3y)d\sigma=\iint\limits_{D}4yd\sigma \end{array} & \begin{array}{l} D为x+y+z=1与坐标轴围成区域\\ \iiint\limits_{\Omega}(x+2y+3z)dv=\iiint\limits_{\Omega}6zdv \end{array} \end{array} $$第二型线面积分的奇偶性#
$$ 三要素判断 \left\{\begin{array}{l}曲线、曲面对称性\\ 曲线、曲面方向\\ 奇偶性 \end{array}\right. $$$$ L=L_1+L_2关于x轴对称\\ L_1,L_2同向，有\int_LP(x,y)dx= \left\{ \begin{array}{cl} 2\int_{L_1}P(x,y)dx,&P(x,y)关于y是偶函数\\ 0,& P(x,y)关于y是奇函数\\ \end{array} \right.\\ \ \\ L_1,L_2异向，有\int_LP(x,y)dx= \left\{ \begin{array}{cl} 0,&P(x,y)关于y是偶函数\\ 2\int_{L_1}P(x,y)dx,&P(x,y)关于y是奇函数\\ \end{array} \right. $$$$ S=S_1+S_2关于xOy面对称\\ S_1取上侧，S_2取上侧，有\iint\limits_{\textbf{S}}R(x,y,z)dxdy= \left\{ \begin{array}{cl} 0,&R(x,y,z)关于z为奇函数\\ 2\iint\limits_{\mathbf{S_1}}R(x,y,z)dxdy,&R(x,y,z)关于z为偶函数 \end{array} \right.\\ \ \\ S_1取上侧，S_2取下侧，有\iint\limits_{\textbf{S}}R(x,y,z)dxdy= \left\{ \begin{array}{cl} 2\iint\limits_{\mathbf{S_1}}R(x,y,z)dxdy,&R(x,y,z)关于z为奇函数\\ 0,&R(x,y,z)关于z为偶函数 \end{array} \right. $$第二型曲线积分轮换对称性#
$$ L关于y=x对称，则\int_Lf(x,y)dx=-\int_Lf(y,x)dy $$第二型曲面积分重要结论#
$$ 微元为零\left\{ \begin{array}{ll}曲线L为x=1,&\int_LP(x,y)dx=0\\ \ \\ 曲面S为x^2+y^2=R^2,&\iint\limits_{\textbf{S}}P(x,y,z)dxdy=0（曲面在xOy面的投影为曲线） \end{array} \right. $$极坐标交换积分次序#
$$ 直接将r,\theta当作直角系变量，对应交换即可 $$常见曲面方程#
曲面方程的坐标平移#
$$ 整理为齐次的形式，坐标平移原则均为：负向加正向减\\ 例：y^2+z^2=\frac{1}{4}(4-x)^2为-\frac{1}{4}(x-4)^2+y^2+z^2=0\\ xOy平面的直线y=2-\frac{1}{2}x，即y=\frac{1}{2}(4-x)绕x轴旋转形成的二次锥面\\ $$二重积分交换积分次序问题#
- 交换积分次序，函数可积性不同 $\int_0^{+\infty} dx\int_x^{2x} e^{-y^2}dy=\int_0^{+\infty} e^{-y^2}dy\int_\frac{y}{2}^ydx\\ \int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2x^2+2xy-y^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(y-x)^2}d(y-x)$
- 交换积分次序，二重变限积分函数可导性不同 $\int_0^tdx\int_x^t\sin\frac{x}{y}dy=\int_0^tdy\int_0^y\sin\frac{x}{y}dx$
- 极坐标积分交换$\rho$ 与$\theta$ 积分顺序，可积性不同 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^1\frac{\rho^2\sin2\theta}{1+\rho^2\cos2\theta}d\rho=\cdots$
多元积分应用公式#
$$ 质心、形心：\overline{x}=\frac{\iiint\limits_{\Omega}x\cdot\rho(x,y,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,y,z)dv} ;\qquad \overline{x}=\frac{\iiint\limits_{\Omega}xdv}{\iiint\limits_{\Omega}dv}（形心的灵活反用是考察点） $$$$ 转动惯量：I_x=\iiint\limits_{\Omega}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv（绕x轴） ;\qquad I_O=\iiint\limits_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv（绕原点O） $$$$ 引力： F_x=Gm\iiint\limits_{\Omega}\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{\frac{3}{2}}}dv;\quad F_y;\quad F_z;\qquad (Gm\cdot \frac{M}{r^2}\cdot \frac{\Delta x}{r}) $$$$ 注：\int_Lds,\quad\iint\limits_{D}d\sigma,\quad\iint\limits_{\Sigma}dS的质心、形心、转动惯量、引力对应换{\color{blue}积分形式}即可 $$三重积分计算#
$$ \left.\begin{array}{l} 切片法：\int dz\iint\limits_{D_z} d\sigma\\ 竖线法：\iint\limits_{D_{xy}} d\sigma\int dz \end{array}\right\} 柱坐标，即极坐标在三重积分中的灵活使用 $$$$ 球坐标法：特征较明显 \left\{\begin{array}{l} 积分区域为球、锥区域（便于确定积分限）\\ 被积函数含x^2+y^2+z^2,\sqrt{x^2+y^2+z^2}等 \end{array}\right. $$$$ 注：缺“\ ”先积“\ ”（缺两个，考虑先二后一） $$第一型曲线积分计算#
$$ \int_Lf(x,y)ds $$直角坐标、参数方程、极坐标
第一型曲线积分由一元定积分推广而来
平面曲线（各坐标系下有各自的弧微分，并非由换元得到）：
$$ 弧微分：\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\ ,\sqrt{[x'(t)]^2(dt)^2+[y'(t)]^2(dt)^2},\sqrt{[x'(\theta)]^2(d\theta)^2+[y'(\theta)]^2(d\theta)^2}\\ \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\not\xrightarrow {换元}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\ dt\\ \ \\ \alpha,\beta上下限问题：曲线积分有特定的几何意义，保证弧长微元为正 $$$$ 直角坐标\ y=y(x)(a\leqslant x\leqslant b)\quad {\color{blue}（直角坐标形式x\to y\ 一对多，注意分段计算）}\\ \int_Lf(x,y)ds=\int_a^bf[x,y(x)]\sqrt{1+[y'(x)]^2}\ dx $$$$ 参数方程\ \left\{ \begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t) \end{array} \right. (\alpha\leqslant t \leqslant\beta) \\ \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\ dt $$$$ 极坐标\ r=r(\theta)(\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta)\\ \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta]\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\ d\theta $$空间曲线（遇见空间曲线，找参数方程，往一元转化）：
$$ 参数方程\ \left\{ \begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{array} \right. (\alpha\leqslant t \leqslant\beta) \\ \int_Lf(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt $$$$ 注： 善用参数方程简化曲线积分计算（曲面积分不可）\\ 计算弧长，令f(x,y)或f(x,y,z)=1即可 $$第一型曲面积分计算#
$$ \iint\limits_{S}f(x,y,z)dS $$第一型曲面积分由二重积分推广而来 （根据曲面表达式对应投影，若曲面投影重叠转换坐标系、或分片）
$$ z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy} $$$$ \iint\limits_{S}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy\\ \bigg(=\iint\limits_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{dxdy}{\cos\gamma}=\iint\limits_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{dxdy}{\frac{1}{\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}}}=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy\bigg) $$$$ 注：\\ 第一型曲面积分的曲面微元方向与z轴正向一致\\ 投影必须变量转换z(x,y) $$平面曲线积分与路径无关定理#
$$ D是平面上的{\color{blue}单连通}区域，P(x,y),Q(x,y)在D上有{\color{blue}一阶连续偏导数}，则\\ \ \\ \quad\ \int_LPdx+Qdy的值在D内与路径无关\\ \Leftrightarrow 对任何D内的光滑闭曲线，有\oint_LPdx+Qdy=0\\ \Leftrightarrow 存在u(x,y)，使得du(x,y)=Pdx+Qdy\\ {\color{blue}\Leftrightarrow}\ 在D内，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}（复连通区域无法证明与路径无关,格林公式\oint_{L}=\oint_{L+l^-}+\oint_{l}）\\ （若不满足一阶连续偏导，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}无法证明与路径无关） $$$$ 注：\\ 1.du(x,y)=Pdx+Qdy证积分与路径无关\quad u(a,b)-u(0,0)\\ f(u)连续，f(x^2+y^2)(xdx+ydy)=\frac{1}{2}f(x^2+y^2)d(x^2+y^2)=d[\frac{1}{2}F(x^2+y^2)]\\ 2. 一阶连续偏导，复连通区域，将积分曲线统一到“洞”的一侧即与轨迹无关，即单连通 $$空间曲线积分与路径无关#
$$ \Omega 是空间中的{\color{blue}单连通}区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在\Omega上有{\color{blue}一阶连续偏导数}，则\\ \ \\ \quad\int_{L}Pdx+Qdy+Rdz的值在\Omega中与路径无关\\ \Leftrightarrow 对任何\Omega内的光滑闭曲线，有\oint_LPdx+Qdy+Rdz=0\\ \Leftrightarrow 存在u(x,y,z)，使得du(x,y,z)=Pdx+Qdy+Qdz\\ {\color{blue}\Leftrightarrow}\ \text{rot} F=0（无旋场），即在\Omega内\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z} $$第二型曲线积分计算方法#
$$ \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy $$变量消元法（与投影法本质相同）：
$$ 直角坐标y=y(x)（a\rightarrow b）{\color{blue}（直角坐标x\to y\ 一对多，注意分段）}\\ \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_a^b \{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y'(x)\}dx\\ 参数方程 \left\{ \begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t) \end{array} \right.（\alpha\rightarrow\beta）\\ \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta \{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}dt $$格林公式法：
$$ 补边情形：非封闭曲线\\ 挖点情形：积分区域内包含被积函数的无定义点，\\ 取L为有向封闭曲线x^2+\frac{y^2}{4}=\delta^2，{\color{blue}消去无定义点}，即\left\{\begin{array}{l}x=\delta\cos\theta\\ y=2\delta\sin\theta \end{array} \right. $$积分与路径无关：
$$ 简单路径计算（直线、折线等）\\ 复杂函数考虑拆函数，构造积分与路径无关\\ \int_L[f(y)e^x-3y]dx+[f'(y)e^x-3]dy=\int_{\hat{L}}f(y)e^xdx+f'(y)e^xdy-3\int_Lydx+dy $$$$ 注：善用参数方程简化曲线积分计算（曲面积分不可） $$第二型曲面积分计算方法#
$$ \iint\limits_{\textbf{S}}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy $$向第一型曲面积分转换时，切记“方向侧”对应，注意曲面的投影重叠
投影代换法：
$$ 原始消元：变量消元法，对应代入，积分区域投影即可\\ \iint\limits_{\textbf{S}}P(x,y,z)dydz=\pm\iint\limits_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]dydz\\ \quad \textbf{S}指定侧与x轴正向同向取“+”，异向取“-”\\ \quad ......\\ \ \\ 统一微元：利用曲面微分转换投影公式，将积分统一于同一微元下\\ \iint\limits_{\textbf{S}}P(x,y,z(x,y))\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}dxdy+Q(x,y,z(x,y))\frac{\cos\beta}{\cos\gamma}dxdy+R(x,y,z(x,y))dxdy $$高斯公式法：
$$ 补面情形：非封闭曲面\\ 挖点情形：积分区域包含被积函数的无定义点,\\ 取\textbf{S}为有向封闭曲面x^2+y^2+z^2=\delta^2，{\color{blue}消去无定义点} $$第二型空间曲线积分计算方法#
变量消元法（与投影法本质相同）：变量消元法，对应代入，积分区域投影即可
$$ 参数方程 \left\{ \begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{array} \right.（\alpha\rightarrow\beta）\\ \quad\ \int_LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\ =\int_\alpha^\beta \{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\}dt $$$$ 一般方程 \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=1\\ z=x+y+1 \quad\textcircled{1} \end{array} \right.\\ 式\textcircled{1}代入，化为第二型平面曲线积分(dz=dx+dy) $$斯托克斯公式法（封闭曲线）：
$$ 补边情形：非封闭曲线\\ 挖点情形：灵活选择斯托克斯公式转化后的积分曲面 $$积分与路径无关：
$$ 更换积分路径（折线、直线） $$线面积分的奇点讨论#
$$ 考研从未出现过怪异奇点，主要为原点，即\frac{1}{x^2+y^2},\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\\ 无需担心奇点不可消去问题，遇到奇点情形，考虑曲线、曲面方程消去奇点，再择简便方法 $$多元函数积分重要经验#
- 重积分、第一类曲线曲面积分需灵活使用奇偶性、轮换对称性 第二型线面积分灵活使用奇偶性
- 线、面积分的线、面方程均可代入被积函数化简，但重积分不可
- 考虑交换积分次序问题
- 注意积分方向问题，容易掉进陷阱
- 坐标系转换谨记微元对应
二重积分换元法#
换元仅可换一维
$$ \qquad\quad\int_{-1}^0dx\int_{-1-x}^{1+x}f(x+y)dy+\int_0^1dx\int_{x-1}^{1-x}f(x+y)dy\\ \xlongequal{x+y=u}\int_{-1}^0dx\int_{-1}^{1+2x}f(u)du+\int_0^1dx\int_{2x-1}^1f(u)du\\ \xlongequal{交换积分次序}\int_{-1}^1du\int_{\frac{u-1}{2}}^{\frac{u+1}{2}}f(u)dx=\int_{-1}^1f(u)du $$二重积分参数方程代入方法#
先处理为定积分，再作换元（重积分无法直接代入）
$$ D为摆线\left\{ \begin{array}{l} x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\\ (0\leqslant t\leqslant 2\pi) \end{array} \right.与x轴围成，计算I=\iint\limits_{D_{xy}}y^2dxdy\\ x'(t)=a(1-\cos t)>0，故存在反函数t=t(x)\\ D=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant 2\pi a,0\leqslant y\leqslant y[t(x)]\}\\ I=\int_0^{2\pi a}dx\int_0^{y[t(x)]}y^2dy=\int_0^{2\pi a}\frac{1}{3}y^3[t(x)]dx\\ \xlongequal{x=a(t-\sin t)}\int_0^{2\pi }\frac{1}{3}y^3(t)a(1-\cos t)dt=\cdots $$二重积分分部积分消“偏导数”#
$$ f(x,1)=a,f(1,y)=b,\iint\limits_{D}xyf_{xy}''(x,y)dxdy\\ \rightarrow 累次积分\\ \rightarrow 对x分部积分\\ \rightarrow 对y分部积分 $$重积分“特殊被积函数”处理技巧#
$$ \iint\limits_{D}|x^2+y^2-2y|d\sigma\\ x^2+y^2-2y=0为分界线 $$$$ \iint\limits_{D}\max\{2x-y,1\}d\sigma\\ 2x-y=1为分界线 $$曲线的参数方程转化#
圆、椭圆的参数方程转化：
$$ \begin{array}{ccccc} (\frac{x}{2})^2&+&(\frac{y}{3})^2&=2\\ \downarrow&&\downarrow\\ \sqrt{2}\sin t&&\sqrt{3}\cos t \end{array} $$$$ \left\{\begin{array}{} x^2+y^2+z^2=1\\ x=y \end{array}\right. \longrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t\\ z=\cos t \end{array}\right.\\ （若为三维，平面须平行于某一坐标轴） $$直线的参数方程转化：
$$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}=t $$