横向知识点对比#
极限、级数、反常积分收敛对比
$$ \begin{array}{lll}\lim\limits_{x\to \infty}f(x)+\lim\limits_{x\to \infty}g(x)&& \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)+g(x)]&（收+收=收，收+发=发，发+发=不一定）\\ \\ \sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty b_n&&\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)&（收+收=收，收+发=发，发+发=不一定）\\ \\ \lim\limits_{x\to 0^-}\int_{-1}^x\frac{1}{x}dx+\lim\limits_{x\to 0^+}\int_{x}^{1}\frac{1}{x}dx&& \int_{-1}^1\frac{1}{x}dx（规定趋向方式不统一）&（收+收=收，收+发=发，发+发=发） \end{array} $$备用知识点#
特殊题型（反证）#
$$ \int_0^1 xf(x)dx=\int_0^1f(x)dx,证\int_0^\xi f(t)dt=0 $$ $$ 对\int_0^xf(t)dt用零点定理： $$$$ 设\int_0^xf(t)dt恒正或恒负\\ \int _0^1(x-1)f(x)dx=\int_0^1(x-1)d(\int_0^xf(t)dx)=\\(x-1)\int_0^xf(t)dt\bigg|_0^1-\int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx<0\\ 与题不符，故\int_0^xf(t)dt不可能恒正或恒负 $$变限积分函数周期性证明#
$$ \int_0^x f(t)dt \ \ \ \ T\Longrightarrow f(x)\ \ \ T \quad 且 \quad \int_0^T f(x)dx=0 $$ $$ \begin{array}{ll} \begin{array}{rl} &\int_0^x f(t)dt \ \ \ \ T\\ \\ \Rightarrow & \int_0^x f(t)dt =\int_0^{x+T} f(t)dt \\ \\ \Rightarrow & \int_x^{x+T} f(t)dt=0\\ \\ 即&\ \int_0^Tf(x)dx=0 \end{array} & \begin{array}{rl} &\int_0^xf(t)dt\\ \\ \xlongequal{t+T=u}&\int_{T}^{T+x}f(u-T)du\\ \\ =& \int_0^{x}f(u-T)du+\int_x^{x+T}f(u-T)du-\int_0^Tf(u-T)du\\ \\ =& \int_0^xf(u-T)du\\ \\即&\ \int_0^xf(t)-f(t-T)dt\equiv 0\\ 故&\ f(t)\equiv f(t-T) \end{array} \end{array} $$特殊反常积分#
狄利克雷积分：
$$ \int _0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2} $$$f'_x(x_0,y_0)$ 存在,$f'_y(x_0,y_0)$ 连续，则$f(x_0,y_0)$ 可微#
$$ 向定义式靠近：\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\circ(\rho)\\ \Delta z= f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)- f(x_0,y_0)\\ \quad \ \ \ =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]+[f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)]\\ $$$$ \quad\quad f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)\\ \xRightarrow{拉格}f'(x_0+\Delta x,\xi)\Delta y\ \ (\xi\in(y_0+\Delta y,y_0))\\ \xlongequal{连续}f'(x_0,y_0)\Delta y $$$$ \quad \ f'_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A\\ \Rightarrow f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+\circ(\Delta x) $$$$ 一阶偏导连续\Rightarrow 可微\quad （同理可证） $$变量分离的两边积分法解释#
$$ 已知有微分方程：g(y)dy=f(x)dx\quad(1)\\ 假设g(y),f(x)连续，设y=\varphi(x)为方程的解\\ 代入(1)式得：\\ \quad \quad \quad g[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=f(x)dx\\ 可知：\quad g[\varphi(x)]\varphi'(x)=f(x)\\ 同时对等式两边积分：\\ \quad \quad \quad \int g(y)dy=\int f(x)dx\\ \quad \quad 即\ G(y)=F(x)+C\quad (2)\\ \quad \quad \quad y=\varphi(x)满足(2)式\\ (G(y))'=(F(x)+C)'\Rightarrow g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)\\ \quad\quad\quad故(2)式满足(1)式\\ \quad即(2)式为隐式解且为所有解 $$阿贝尔定理证明#
$$ 设x_0是\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n的收敛点，根据级数收敛的必要条件，有\\ \quad\ \lim\limits_{n\to \infty}a_nx^n_0=0\\ \Rightarrow|a_nx_0^n|\leqslant M\\ \Rightarrow|a_n x^n|=|a_nx_0^n|\cdot\left|\frac{x^n}{x_0^n}\right|\leqslant M\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\\ 故\ |x|<|x_0|时，\sum_{n=0}^{\infty}M\left|\frac{x}{x_0}\right|^n收敛，此时\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|收敛 $$$$ 发散性质由反证法证得...... $$备用方法#
高阶非常系数线性齐次微分方程求解题型#
此类方法极其特殊，针对性极强
$$ y_1=\frac{\sin x}{x}为微分方程xy''+2y'+xy=0的一个解，求通解\\ 令\frac{y_2}{y_1}=u(x),即y_2=u(x)\cdot\frac{\sin x}{x}是原方程的解，带入求解即可 $$待整理问题#
无条件极值的失效情形
多元积分的考查尺度#
考查尺度有限，不如体系铺展得复杂，梳理轻重点
计算粗心问题#
心思浮躁，不愿深入专注，极易出错