极限#
$\circ(\Delta)$ 理解关键#
$$ 凡出现\circ(\Delta),即默认\Delta\to 0,强调动态性 $$无界与无穷大，发散与无界的关系#
无界包含：无穷大，无界振荡，无界分段函数等等
发散包含：无界，有界振荡，有界分段函数等等
（收敛是很狭隘的）
无穷小与无穷大的关系#
$$ \lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty \ \Rightarrow \ \lim\limits_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=0 $$ $$ \lim\limits_{x\to a}f(x)=0 \ 且 \ f(x)\neq 0 \ \Rightarrow \ \lim\limits_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\infty $$极限的三条性质#
以极限的“趋向特质”把握
$$ 唯一性\\ \left\{ \begin{array}{} 有界性\\ 保号性 \end{array} \right. $$极限关键理解#
$$ \lim\limits_{x\to a}f(x)=A $$$$ \Leftrightarrow x\to a时，f(x)\to A $$$$ \not\Leftrightarrow x\to a时，f(x)=A $$极限四则运算前提及用法#
$$ 前提：极限均存在时，才可拆分运算 $$ $$ 存在+存在=存在\\ 存在+不存在=不存在\\ 不存在+不存在=不确定（正负相消）\\ （若同号，则极限不存在） $$$$ 因子极限存在（不定式视作整式因子）\\ 实际应用中，一直后验使用（不一定所有因子均可判断极限存在）\\ 例：非零因子常数化 $$函数极限定义注意#
不一定单调
$$ 1. x\to x_0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x\to x_0^+ \\ x\to x_0^- \\ x \neq x_0 \end{array} \right. $$$$ 2. x\to \infty \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x\to -\infty \\ x\to +\infty \end{array} \right. $$$$ 3. \lim\limits_{x\to a}f(x)=A \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=A $$常用的等价无穷小量#
$$ \sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln(1+x),e^x-1,\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ (1+x)^\alpha-1(\alpha\neq0),a^x-1(a>0且 a\neq1),\log_a(1+x) \\ 1-\cos x\\ x-\sin x,x-\tan x,x-\ln(1+x),x-\arcsin x,x-\arctan x $$ $$ （x替换为\Delta均成立） $$$$ \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1 \sim \ln(x+\sqrt{x^2+1}) $$$$ (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, a^x-1 \sim x\ln a, \log_a(1+x)\sim\frac{x}{\ln a} $$$$ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $$$$ x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3, x-\tan x \sim -\frac{1}{3}x^3, x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2,x-\arcsin x \sim -\frac{1}{6}x^3,x-\arctan x \sim \frac{1}{3}x^3 $$特殊等价无穷小#
$$ (1+\Delta)^\Box-1\sim\Delta\cdot\Box\\ 前提\left\{\begin{array}{l}(1+\Delta)^\Box\rightarrow 1\\ \Delta\to 0\ \end{array} \right.\\ \lim\limits_{x\to0}\frac{e^{\Box\ln(1+\Delta)}-1}{x^b}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\Box\ln(1+\Delta)}{x^b}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\Box\cdot\Delta}{x^b} $$等价无穷小可作加减运算#
$$ \quad f(x)-x^a\sim x^b\\ =f(x)\sim x^b+x^a $$倒代换#
$$ 令t=\frac{1}{x}，便于分析，部分情形不一定 $$极限指数化与对数化#
$$ e^\Delta-\Box=e^\Delta-e^{\ln\Box}=e^{\ln\Box}(e^{(\Delta-\ln\Box)}-1) $$$$ \ln\Delta-\Box=\ln\Delta-\ln e^\Box=\ln\frac{\Delta}{e^\Box} $$乘除“试凑”，加减“试凑”#
$$ \lim\limits_{\Delta\to0}\frac{\sin\Delta}{\Delta}=1 $$$$ \lim\limits_{\Delta\to0}(1+\Delta)^\frac{1}{\Delta}=e \ 或 \ \lim\limits_{\Delta\to\infty}(1+\frac{1}{\Delta})^\Delta=e $$加减试凑：
$$ \lim\limits\frac{\ln(\Delta-1+1)}{\Box}=\lim\frac{\Delta-1}{\Box} $$$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=1-\lim\limits_{x\to 0}\frac{\beta}{\alpha} $$$$ \lim\limits_{x\to0}\frac{\beta}{\alpha}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\beta-\alpha+\alpha}{\alpha}=1+\lim\limits_{x\to 0}\frac{\beta-\alpha}{\alpha} $$无穷小比阶#
高阶，低阶，同阶，等价，k阶
$$ 注意比阶的定义方式\\ 等价：\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1(\neq -1){\color{blue}（等价替换本质在于此）}\\ （其他不要求正负） $$抓大放小#
$$ 1.\ x\to +\infty,\ \log_ax (a>1)\ll x^a(a>0) \ll a^x(a>1)\\ 2. 幂函数阶次\\ 3. 复杂极限分子、分母内部比阶\\ \ \\ 规范步骤：分子分母同除“大项”，构造无穷小项 $$$$ 显式： \left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to -\infty}[\sqrt{x^2-x+1}-(ax+b)]\Rightarrow a=-1\\ \lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sqrt{4x^2+x}}{x^a})=b(b\neq0), 则a=\frac{1}{2}\\ \end{array}\right.\\ 隐式： \lim\limits_{x\to0}\frac{(3+2\tan x)^x-3^x}{3\sin^2x+x^3\cos\frac{1}{x}}, 分母\lim\limits_{x\to0}\frac{x^3\cos\frac{1}{x}}{3\sin^2x}=0 $$非零因子常数化#
仅变上限积分
加减慎用（相消项决定）；若无加减，乘除直接用
所给函数均连续
$$ 非零因子常数化：\\ \lim\limits_{x\to 0}f(x)=A\neq 0,\lim\limits_{x\to 0}h(x)=0,且x\to 0时，h(x)\neq0,则x\to 0时, \int_0^{h(x)}f(t)dt\sim Ah(x) $$等价无穷小替换#
仅变上限积分
加减慎用（相消项决定）；若无加减，乘除直接用、复合函数（复合函数各层均无穷小的前提下，由外向内替换）
所给函数均连续
$$ 等价无穷小替换（仅适用于积分下限为0）：\\ x\to0 时，f(x)\sim ax^m, a\neq 0,m\in Z^+, 则\int_0^xf(t)dt\sim \int_0^x at^m dt=\frac{a}{m+1}x^{m+1}\\ x\to0 时，f(x)\sim ax^m, g(x)\sim bx^n, ab\neq 0,m,n\in Z^+, 则\int_0^{g(x)}f(t)dt\sim \int_0^{bx^n} at^m dt=\frac{a}{m+1}(bx^n)^{m+1} $$$$ 注：\\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{\int_0^x ax^mdt}\xRightarrow{洛必达}\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{ax^m}=1\\ f(x)须等价于m阶无穷小，即\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{ax^m}=1（ x^k\sin\frac{1}{x}在x=0处无等价无穷小） $$不定式极限计算#
$$ \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty,0\cdot\infty, 0^0,\infty^0,1^\infty $$都向分式化归
$$ 少数情况是被动的：\lim\limits_{x\to \infty}x^2(\arctan\frac{1}{x}-\arctan\frac{1}{1+x}) $$$$ 仅少数须拆分（泰勒首阶次无相消）：\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{1+\sin^2x}}{(\arcsin x)^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{\cos x}-1-(\sqrt[3]{1+\sin^2x}-1)}{x^2} $$$$ 1^\infty: \lim u^v=e^{\lim(u-1)v}； {\color{blue}对复合函数极限使用了非零因子常数化（误差可能放大）,整式可如此处理，分式谨慎}\\ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=e^{-\frac{1}{2}},\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{(1+\frac{1}{2x})^{2x^2}}=e^{-\frac{3}{8}} \quad （指数化） $$泰勒展开原则及注意#
$$ A-B型，\frac{A}{B}型 $$几为通法：遇加减，难处理，泰勒展开
$$ \frac{A}{B}型：“上下同阶”原则 $$$$ A-B型：“幂次最低”原则 $$$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\arctan x-\ln\frac{1+x}{1-x}}{x^p}=c\rightarrow \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\arctan x-\ln(1+x)+\ln(1-x)}{x^p}=c （泰勒展开） $$$$ 注： 泰勒展开不便处理所有极限（复合函数不宜展开，洛必达处理） $$洛必达法则三项使用条件#
定理前身
$$ \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} $$严格遵循使用条件
$$ 三项使用条件：\\ 1.\ x\to a,\infty时，f(x),g(x)\to 0,\infty\\ \ \\ 2. \ f(x),F(x)在x\in \mathring{U}(a,\delta)内，x\to \infty时可导，且F'(x)\neq 0\\ \ \\ 3. \lim\limits_{x\to a,\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}=A,\infty $$ $$ 注： \infty,+\infty,-\infty 均可\\ a^+,a^-均可 $$洛必达法则易错用法#
易错用法：
$$ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=A,\infty\not\Rightarrow \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=A,\infty $$$$ 例： \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2\cdot \sin\frac{1}{x}}{x}=0\not\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0}\frac{(x^2\cdot \sin\frac{1}{x})'}{x'}=0 $$但洛必达反求参数可用：
$$ \lim\limits_{x\to (\frac{1}{2})^+}\frac{\pi-4\arccos\sqrt{2}x}{a(x-\frac{1}{2})^b}=1 \Longleftarrow \lim\limits_{x\to (\frac{1}{2})^+}\frac{\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}}}{ab(x-\frac{1}{2})^{b-1}}=1 $$中值定理计算极限#
拉格朗日中值、柯西中值定理、积分中值定理
中值定理求极限方法可能出现无法无法判断情形
$$ （\xi与x关系未知） $$$$ 拉格朗日中值：\\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{x^3}\ \ \ \ f=e^t \\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{\tan x}-\sqrt{\sin x}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}\cdot\frac{x^3}{6}}{x^2}（无法判断） $$$$ 柯西中值：\\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+\tan x)-\ln(1+\sin x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}} \left\{ \begin{array}{} f=\ln(1+t) \\ \\ g=\sqrt{1+t} \end{array} \right. $$$$ 积分中值定理：\\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\int_x^{\sin x}e^xdx}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^\xi(\sin x-x)}{x^3} $$$$ 注：a^x-b^x\xrightarrow{同型化} e^{x\ln a}-e^{x\ln b} $$等式脱帽法#
$$ \lim\limits_{x\to \cdot} \frac{f(x)}{x^k}=A,f(x)=Ax^k+\alpha x^k\ (\lim\limits_{x\to \cdot}\alpha=0)\\ (或f(x)=Ax^k+\circ(x^k))\qquad （可利用此变换f(x)） $$极限定义函数#
$$ f(x)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x^{n+2}-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}（注意无定义点）\\ \ \\f(x)=\lim\limits_{t\to x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}} $$$$ 注：t,n 取极限x看作常量 $$常用极限分左右#
$$ \frac{1}{\infty},e^\infty, a^\infty, \arctan\infty, \mathrm{arccot}\infty, 分段点，\cdots $$极限计算重要经验#
- 灵活是关键，勿固化
- 预处理：等价替换，根式有理化
- 泰勒展开不通用
- 巧用洛必达（直接不好用）：无法处理时，用洛必达转换形式…… $适用具体型极限\\ \lim\limits_{x\to a}f(x)(a\neq0,\infty)时，推荐$
- 中值定理计算极限有其不可替代性
- 少数情形考虑两个重要准则：夹逼准则、单调有界准则
变限积分计算极限#
首先考虑洛必达
$$ \begin{array}{rl}\quad\ &\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{\int_0^t dx\int_t^x e^{-(x-y)^2}dy}{1-e^{-t^2}}（二重积分被积函数含积分限变量，交换积分次序）\\ =&\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{\int_0^t dy\int_0^y e^{-(x-y)^2}dx}{-t^2}(\int_t^x 上下限由大至小)\\ \xrightarrow{洛}&\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{\int_0^t e^{-(x-t)^2}dx}{-2t}（一元积分被积函数含积分限变量，变量代换） \end{array} $$