连续#
间断点定义及分类#
- 定义注意： $\mathring{U}(x_0,\delta)内有定义，且具备以下情形之一：\\ \left\{ \begin{array}{l} f(x_0)无定义\\ \\ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\ 且\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)存在，但\neq f(x_0)\\ \\ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\ 或 \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)不存在 \end{array} \right.$
- 间断点分类： $\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\ 且\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) \ \exists, \ 第一类间断点 \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\ =\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\neq f(x_0),\ 可去间断点 \\ \\ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\ \neq\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x), \ 跳跃间断点 \end{array} \right. \\ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\ 或\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\ \nexists, \ 第二类间断点 \left\{ \begin{array}{l} 无穷间断点\\ 振荡间断点\\ \cdots \end{array} \right. \end{array}$
求间断点思路#
（两步走）
- 在定义域内找无定义点、分段点
- 逐个求左右极限判断（“无定义点”已知后约分即可） （函数分式约分前后的区别，仅在于无定义点）
无定义间断点的消去问题#
$$ f(x)=\frac{x-a}{x^2(x-a)}:若分母被分子消去，则为可去间断点 $$$$ f(x)=\frac{x-a}{x^2(x-a)^3}:若分母无法被消去，则为无穷间断点\\ 相消后，分母在间断点处\left\{ \begin{array}{l} 左右异号，则为异号无穷\\ \\ 左右同号，则为同号无穷 \end{array} \right. $$连续函数运算的连续性#
（加减乘除、反函数、复合函数） 初等函数
$$ 1. 连续函数四则运算：\\ f(x_0),g(x_0)连续，则f(x_0)\pm g(x_0), f(x_0)g(x_0),\frac{f(x_0)}{g(x_0)}(g(x_0)\neq0)都连续\\ 2. 连续函数的反函数连续\\ 3. 连续函数的复合函数连续\\ 4. 一切初等函数在其定义区间连续\\ $$