“““中值定理”””#
考情分析#
$$ 难点（不等式证明）：拉格朗日中值、泰勒中值\\ 中值定理统一前提：闭区间连续，即区间有界函数 $$介值定理#
$$ f(x)在[a,b]连续，\\ m\leqslant\mu \leqslant M,\ \exist\ \xi\in[a,b],\ 使f(\xi)=\mu\\ f(x_1)\leqslant\mu \leqslant f(x_2),\ \exist\ \xi\in[x_1,x_2]或[x_2,x_1],\ 使f(\xi)=\mu $$平均值定理#
$$ f(x)在[a,b]连续，a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b,\\ \exist \ \xi\in[x_1,x_n], \ 使得f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} $$零点定理及推广#
$$ f(x)在[a,b]连续， f(a)\cdot f(b)<0, \\ \exist \ \xi\in (a,b), \ 使得f(\xi)=0 $$$$ 注意区间开闭： \xi\in (a,b)\Rightarrow \xi\in [a,b] $$推广：（不可直接用）
$$ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to a^+}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to b^-}f(x)<0, \ \ \ \cdots \\ \\ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)\cdot f(b)<0, \ \ \ \cdots \\ \\ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)<0, \ \ \ \cdots \end{array} \right. $$费马定理#
$$ f(x)在x_0处\left\{ \begin{array}{l} 可导\\ \\ 取极值 \end{array} \right. ,则f'(x_0)=0 $$罗尔定理及推广#
$$ f(x)在\left\{ \begin{array}{l} [a,b]上连续\\ \\ (a,b)内可导\\ \\ f(a)=f(b) \end{array} \right. $$$$ \exists\ \xi\in(a,b),使得\ f'(\xi)=0 $$推广：（不可直接用，需分类讨论）
$$ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x),\ \ \ \cdots \\ \\ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(b), \ \ \ \cdots \\ \\ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x), \ \ \ \cdots \end{array} \right. $$拉格朗日中值定理#
$$ f(x)在\left\{ \begin{array}{l} [a,b]上连续\\ \\ (a,b)内可导 \end{array} \right. $$$$ \exists \ \xi\in(a,b),使得\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\\ \\ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}（斜率两点式） \end{array} \right. $$ $$ {\color{grey}辅助函数（罗尔定理）：F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)} $$柯西中值定理#
柯西中值定理不是两个拉格朗日相除
$$ f(x),g(x)在\left\{ \begin{array}{l} [a,b]上连续\\ \\ (a,b)内可导\\ \\ g'(x)\neq0 \end{array} \right. $$$$ \exists \ \xi\in(a,b),使得\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$ $$ {\color{grey}辅助函数（罗尔定理）： F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)} $$积分中值定理及推论#
积分中值又称函数均值
$$ f(x)在[a,b]上连续\\ \exists \ \xi\in[a,b],使得 \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\\ \ \\ 介值定理证明：\\ \min[f(x)](b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant\max[f(x)](b-a) $$推论：（不可直接使用）
$$ f(x)在[a,b]上连续，\\ \exists \ \xi\in(a,b),使得\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\\ \ \\ 拉格朗日中值证明：\\ F(x)=\int_a^xf(t)dt\\ F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\quad \xi\in(a,b) $$第一积分中值定理及推广#
不可直接使用
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x)在[a,b]上连续\\ \\ g(x)可积且不变号 \end{array} \right.\\ \exists\ \xi\in[a,b],使得\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx\\ \ \\ 介值定理证明：\\ \int_a^b\min[f(x)]g(x)dx\leqslant \int_a^bf(x)g(x)dx\leqslant\int_a^b\max[f(x)]g(x)dx\\ \min[f(x)]\cdot\int_a^bg(x)dx\leqslant \int_a^bf(x)g(x)dx\leqslant\max[f(x)]\cdot\int_a^bg(x)dx $$推广：（不可直接使用）
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x),g(x)在[a,b]上连续\\ \\ g(x)可积不变号 \end{array} \right.\\ \exists\ \xi\in(a,b),使得\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx\\ \ \\ 柯西中值定理证明：\\ H(x)=\int_a^xf(t)g(t)dt,\quad R(x)=\int_a^xg(t)dt\\ \frac{H'(\xi)}{R'(\xi)}=\frac{H(b)-H(a)}{R(b)-R(a)}\longrightarrow \frac{f(\xi)g(\xi)}{g(\xi)}=\frac{\int_a^bf(t)g(t)dt}{\int_a^bg(t)dt} $$泰勒公式#
注意泰勒公式的条件
带拉格朗日余项：
$$ f(x)在U(x_0)内(n+1)阶可导，对任意x\in U(x_0)\\ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \\ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,\ \ \xi \in(x_0,x) $$带佩亚诺余项：
$$ f(x)在x=x_0处n阶可导,则（默认x\to x_0）\\ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \\ \\ R_n(x)=\circ((x-x_0)^n) $$$$ 泰勒公式本质：利用导数将函数展开为多项式形式\\ 最多可展开到某阶导数不存在为止，如f(x)=x^3\sin\frac{1}{x}=\circ(x^2) $$拉格朗日余项展开，佩亚诺余项展开，幂级数展开区别#
$$ 拉格朗日余项展开：\\ 泰勒中值展开，在定义域内，中值估算误差，中值\xi受x,x_0影响，始终依赖于f(x)\\ 注：\xi \neq\xi(x)，不一定满足函数映射要求（一对一、多对一） $$$$ 佩亚诺余项展开前提：x\to x_0 $$$$ 幂级数展开：\\ 在收敛域内，幂级数展开等价于函数本身 $$导数零点定理#
不可直接使用
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x)在[a,b]上可导\\ \\ 当f'_+(a)\cdot f'_-(b)<0时 \end{array} \right.\\ \exists \ \xi\in(a,b),使得\ f'(\xi)=0\\ \ \\ 费马定理证明：\\ 假设\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0\quad \lim\limits_{x\to b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b} <0 \\ 即\ \exists\ \xi\in(a,b)，使得f(\xi)>f(a),f(b)\\ 故f(x)在(a,b)上取到最大值，f(x)可导，即极大值\\ 由费马定理可知，\exists\ f'(\xi)=0 $$导数介值定理#
不可直接使用
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x)在[a,b]上可导\\ \\ f'_+(a)\neq f'_-(b) \end{array} \right.\\ 当\mu介于f_+'(a),f'_-(b)之间时，\\ \exists\ \xi\in(a,b),使得f'(\xi)=\mu\\ \ \\ 费马定理证明：\\ 令F(x)=f(x)-\mu x即可转化为证明导数零点定理 $$常用辅助函数构造形式#
$$ \Delta'\Box+ \Delta\Box'，\Delta'\Box - \Delta\Box'，\Delta\Delta'，\frac{\Delta'}{\Delta}，\Delta'+k\Delta， \Delta'+\Box'\Delta，\Delta $$ $$ \Delta'\Box+ \Delta\Box': \Delta\Box $$$$ \Delta'\Box - \Delta\Box': \frac{\Delta}{\Box} $$$$ \Delta\Delta':\Delta^2 $$$$ \left. \begin{array}{l} \frac{\Delta'}{\Delta}:\ln\Delta\\ \\ \Delta'+k\Delta:e^{kx+b}\cdot\Delta\\ \\ \Delta'+\Box'\Delta:e^\Box\cdot\Delta \end{array} \right\} $$$$ \left. \begin{array}{l} \Delta:\int_a^x\Delta dt \end{array} \right. $$$$ 注：(\Delta+b)'=\Delta'\\ 罗尔定理f'(\xi)=0取部分即可\\ 拉格朗日f'(\xi)=\mu 具体分析 $$辅助函数构造经验#
- 辅助函数不唯一（与条件不一定相通）
- 共同成分可能被消去，注意观察
- 阶数相差大于一，考虑相消（一般为加减） $f''(\xi)=f(\xi)\rightarrow f''(\xi)+f'(\xi)=f'(\xi)+f(\xi)$
- 善用除法构造ln函数，借用不定积分构造辅助函数 $f'(\xi)+(1-\xi) f(\xi)=0\rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}+(1-x)=0\\ \ln\Delta（罗尔定理仅取\ln内函数即可；仅找辅助函数而已，不加绝对值无碍）$
中值证明选择框架#
零点定理、介值定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值
$$ \begin{array}{lll} f(\xi)=0:零点 & & f(\xi)=u:介值\\ \quad \quad\uparrow \ \downarrow & & \quad \quad\uparrow\ \downarrow & （导函数、原函数灵活转换）\\ f'(\xi)=0:费马、罗尔 & \longleftarrow & f'(\xi)=u:拉格 \\ \quad\quad\vdots\\ f''(\xi)=0\cdots \end{array}\\ \ \\ 费马\longrightarrow罗尔\xrightarrow{特殊}拉格\xrightarrow{特殊}柯西（合适为佳）\\ 同一函数在同一区间使用上述四定理，所得中值相同 $$$$ 注：定理最多迭代两层（多层证明灵活混用定理）\\ 中值证明题以微分中值定理为主题，积分中值定理也有可能 $$$$ 泰勒中值展开（高阶中值）:相对独立特殊 $$泰勒公式证明框架#
主要以不等式证明考查泰勒中值，灵活使用常用不等式
$$ 重要暗示：{\color{blue}闭区间}二阶及以上可导（首要考虑泰勒）\\ 1.选点（题目会有暗示）： \left\{\begin{array}{l} 端点、中点\\ 极值点、最值点、介值点、中值点\\ 一阶导信息的点x_0\\ 一般点x \end{array}\right.\\ 2.展开，逐步向结果靠拢（基本不等式、放缩、介值定理等） $$$$ 注：(b-a)^2:\frac{a+b}{2}（展开点、被展开点灵活） $$中值定理证明重要经验#
中值证明题两大切入点：1.辅助函数 2.选点
- 纯用微分中值定理易，辅用函数中值定理难
- 逆向分析，由所证推所需，正向书写
中值定理证明重要结论#
$$ \lim\limits_{x_0\to x_0}\frac{f(x)-A}{x-x_0}=B $$ $$ 若f(x)在x=x_0处连续，且\lim\limits_{x_0\to x_0}\frac{f(x)-A}{x-x_0}=B，则f(x_0)=A,f'(x_0)=B $$根的唯一性证明#
$$ 前提连续，零点定理+单调性或反证 $$双中值证明#
不同函数在同一区间：
$$ 1. 拉格+拉格： 寻找拉格朗日“分式项”的关联\\ \ [e^xf(x)]'\big|_{x=\eta}=\frac{e^bf(b)-e^af(a)}{b-a}=\frac{e^b-e^a}{b-a}=(e^x)'\big|_{x=\xi} \ \\ 2.柯西+拉格朗日：\\ \frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}\cdot e^{-\eta}\\ \ \\ 注：\xi,\eta可能相等 $$同一函数在不同区间：
$$ 拉格朗日分式逆向分析凑\\f'(\xi_1)f'(\xi_2)=1\\ \frac{1}{f(\xi_1)}+\frac{1}{f(\xi_2)}=a （以\ \xi分开，分别拉格朗日）\\ \ \\ 注：\xi_1\neq\xi_2 $$中值不等式证明#
拉格朗日、泰勒中值
$$ 拉格朗日：f''(\xi)=\frac{f'(\eta_2)-f'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}>0 $$$$ 泰勒中值：利用基本不等式等 $$区分单导数中值与双导数中值#
$$ 单导数中值：\\ \frac{f(a)-f(c)}{g(c)-g(b)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\rightarrow \frac{f(a)-f(x)}{g(x)-g(b)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}\rightarrow g'[x](f(a)-f(x))-f'[x](g(x)-g(b))=0\\ \ \\ 即F(x)=[g(x)-g(b)]\cdot [f(a)-f(x)] $$$$ 双导数中值：柯西中值 $$中值定理同一函数在同一区间使用问题#
费马、罗尔、拉格、柯西 对同一函数在同一区间的使用不可重复
$$ f(x)各阶可导，f(0)=f(1)\\ \exist\ \xi_1\in(0,1),使f'(\xi_1)=0（费马定理）\\ \exists\ \xi_1\in(0,1),使f'(\xi_1)=0（罗尔定理） \\ \exists\ \xi_1\in(0,1),使f'(\xi_1)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=0（拉格朗日中值定理）\\ \exists\ \xi_1\in(0,1),g(x)=x,使f'(\xi_1)=\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=0（柯西中值定理） $$重要题型（反解）#
$$ \frac{a}{f'(\xi)}+\frac{b}{f'(\eta)}=a+b $$ $$ f'(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{f(c)}{c}\quad f'(\eta)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{1-f(c)}{1-c}\\ \frac{a\cdot c}{f(c)}+\frac{b(1-c)}{1-f(c)}=a+b，整理后得：\\ (c-f(c))[a(1-f(c))-bf(c)]=0\quad取定义区间上的点即可 $$$$ 注：反解题型两种步骤 \left\{\begin{array}{ll} \textcircled{1}必要解法：&分子=分子，分母=分母\\ \textcircled{2}充要解法：&拆重组为因式相乘=0 \end{array}\right. $$压轴题型一#
$$ \star \star形如\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leqslant \frac{M}{c},M=\max\{|f'(x)|\}问题 $$非特殊暗示，用拉格朗日，或泰勒展开
$$ 1. 拉格朗日，或泰勒展开 \quad(F(x)=\int_a^xf(t)dt;\quad M=\max\{|f'(x)|\})\\ 2. 分部积分法构造f'(x)\qquad\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leqslant \frac{M}{c}\\ f(0)=f(1)=0\\ \left| \int_0^1f(x)dx \right|=\left| xf(x)\bigg|_0^1-\int_0^1xf'(x)dx \right|\leqslant \max\{|f'(x)|\}\int_0^1xdx=\frac{M}{2} $$压轴题型二#
$$ \star \star求解\lim\limits_{x\to 0}\theta(x)问题 $$具体型：解出θ(x)求极限
抽象型：根据所给条件将 θ(x) “调出来”
$$ 双式结合\left\{\begin{array}{l} 拉格多次展开，结合\\ 泰勒不同阶展开,结合 \end{array}\right.\rightarrow 极限约分 $$压轴题型三#
$$ \star\star抽象函数不等式证明 $$泰勒中值展开
$$ 动点展开：\\ f(x)在[0,1]上二阶可导，且当0\leqslant x\leqslant 1时，|f(x)|\leqslant 1，|f''(x)|\leqslant 2. \ 证0\leqslant x\leqslant 1时，|f'(x)|\leqslant3\\ f(u)=f(x)+f'(x)(u-x)+\frac{f''(\xi)}{2!}(u-x)^2\\ $$$$ 极值点展开：\\ f(x)在[0,1]上有二阶连续导数，f(0)=f(1)=0，\max\limits_{0\leqslant x\leqslant 1}f(x)=2，证\min\limits_{0\leqslant x\leqslant 1}f''(x)\leqslant -16\\ f(u)=f(x_0)+f'(x_0)(u-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2!}(u-x_0)^2 $$