一元微分学的应用#
考情分析#
难点：抽象函数各阶导数与极值点，拐点，单调性的判定问题
条件多，不易分清
经常求各阶导数，繁琐
极值的定义#
$$ f(x)在U(X_0)内有定义，对于任意x\in \mathring{U}(x_0,\delta),\ \ \ f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))，则称f(x_0)为极值 $$$$ 注：闭区间端点无法取到极值\\ 开区间端小邻域内无法取到极值（无确定点）\\ 常函数无法取到极值 $$最值的定义#
$$ 设x_0为f(x)在定义域内一点，若对于f(x)定义域内任一异于x_0的一点x，均有\\ f(x)\leqslant f(x_0)(或f(x)\geqslant f(x_0)),则称f(x_0)为f(x)最值 $$$$ 注：开区间端小邻域内无法取到最值（无确定点）\\ 若为最值段，则可取到无限个最值点 $$拐点的定义#
$$ f(x)在区间{\color{blue}连续}，y=f(x)的凹凸性的分界点称为拐点 $$凹凸性定义#
$$ 函数区间连续，对区间内任意x_1,x_2, 使\\f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}凸\\f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}凹 $$单调性与导数关系#
$$ f(x)一阶可导，f'(x)>0(<0)\Rightarrow f(x)单增（单减） $$$$ f(x)一阶可导，f'(x)\geqslant0(\leqslant0)（等号仅在有限点处、或无限不连续点处取到）\Leftrightarrow f(x)单增（单减） $$ $$ f'(x_0)>0\not\Rightarrow \exists \ x\in U(x_0)，使f(x)\nearrow $$$$ f'(x_0)>0，且f'(x_0)连续\Rightarrow \exists \ x\in U(x_0)，使f(x)\nearrow $$复合函数与反函数单调性#
$$ y=f[g(x)]: 同增异减 $$$$ y=f(x),y=f^{-1}(x): 单调性一致 $$凹凸性与导数的关系#
$$ f(x)二阶可导，f''(x)>0(<0)\Rightarrow f(x) 是凹函数（凸函数） $$$$ f(x)二阶可导，f''(x)\geqslant0(\leqslant0)（等号仅在有限点处、或无限不连续点处取到）\ 或f'(x)\nearrow(\searrow) \\\Leftrightarrow f(x) 是凹函数（凸函数） $$ $$ f''(x_0)>0\not\Rightarrow \exists \ x\in U(x_0)，使f(x)\ 为凹函数 $$$$ f''(x_0)>0，且f''(x_0)连续\Rightarrow \exists \ x\in U(x_0)，使f(x)\ 为凹函数 $$凹凸性不等式拓展#
$$ 凹: f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})<\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} $$$$ 凸: f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})>\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} $$极值点判断#
必要条件，三个充分条件
必要条件：
$$ 若x_0为极值点，且f'(x_0)可导，则f'(x_0)=0 $$充分条件：
$$ 1.\ f(x)在x=x_0连续，在\underline{}\mathring{U}(x_0,\delta)内可导，f'(x)左右变号 $$$$ 2.\ f(x)在x=x_0处二阶可导，且f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq0\\(或\mathring{U}(x_0,\delta)内，仅在x_0处，f''(x)=0)，则\\ \begin{array}{} \left\{ \begin{array}{l} f''(x_0)>0,极小值\\ f''(x_0)<0,极大值 \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} f''(x)\geqslant0,极小值\\ f''(x)\leqslant0,极大值 \end{array} \right. \end{array} $$$$ 3.\ f(x)在x=x_0处n阶可导，且f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,\cdots,n-1),f^{(n)}\neq0(n\geqslant 2)\\(或\mathring{U}(x_0,\delta)内，仅在x_0处，f^{(n)}(x)=0),则\\ \begin{array}{} n为偶数\left\{ \begin{array}{l} f^{(n)}(x_0)>0，f(x_0)取极小值\\ f^{(n)}(x_0)<0，f(x_0)取极大值 \end{array} \right. & n为偶数\left\{ \begin{array}{l} f^{(n)}(x)\geqslant0，f(x_0)取极小值\\ f^{(n)}(x)\leqslant0，f(x_0)取极大值 \end{array} \right. \end{array} $$拐点判断#
必要条件，三个充分条件
必要条件：
$$ 若x_0为拐点，且f''(x_0)存在，则f''(x_0)=0 $$充分条件：
$$ 1.\ f(x)在x=x_0连续，在\underline{}\mathring{U}(x_0,\delta)内二阶可导，f''(x)左右变号 $$$$ 2.\ f(x)在x=x_0处三阶可导，且f''(x_0)=0,f'''(x_0)\neq0\\ \bigg(或\mathring{U}(x_0,\delta)内，仅在x_0处，f'''(x)=0\left\{ \begin{array}{l} f'''(x)\geqslant0\\ f'''(x)\leqslant0 \end{array} \right.\bigg) $$$$ 3.\ f(x)在x=x_0处n阶可导，且f^{(m)}(x_0)=0(m=2,3,\cdots,n-1),f^{(n)}\neq0(n \geqslant 3)，则\\当n为奇数时，x=x_0是拐点 \\ \bigg(或\mathring{U}(x_0,\delta)内，仅在x_0处，f^{(n)}(x)=0\left\{ \begin{array}{l} f^{(n)}(x)\geqslant0\\ f^{(n)}(x)\leqslant0 \end{array} \right.\bigg) $$一元微分重要经验#
- 善用极值点划分单调区间（函数区间可导，导函数为零的点之间必单调）
- 借助ln函数分析幂指函数单调性
- 求最值直接代驻点、端点，无须分析极值点
极值点与拐点重要结论#
$$ 开区间唯一极值点\\ 极值点、拐点同时存在点\\ f(x)=(x-a)^ng(x)判极值点与拐点\\ f(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdot(x-a_2)^{n_2}\cdots (x-a_k)^{n_k}判极值点、拐点个数 $$ $$ 1. 若f(x)在(a,b)连续，x=x_0\in(a,b)是唯一极值点\\则x=x_0也是(a,b)的唯一最值点（闭区间考虑端点，开区间只考虑极值点） $$$$ 2. 可导点不同时为极值点与拐点，不可导点可同时为极值点与拐点\\ 注：极值点处f'(x_0)=0，若也为拐点，即f(x)在x<x_0,x>x_0两侧凹凸性不一致，可反证不是拐点 $$$$ 3. 多项式函数f(x)=(x-a)^ng(x)\ \ (n>1),且g(a)\neq0,则\\ \left\{ \begin{array}{l} n为偶数，x=a是极值点 \\ n为奇数，x=a是拐点 \end{array} \right. $$$$ 4. 多项式函数f(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdot(x-a_2)^{n_2}\cdots (x-a_k)^{n_k}\\其中n_i是正整数，a_i是实数且a_i两两不等，\\ 记k_1为n_i=1的个数，k_2为n_i>1且n_i为偶数的个数，k_3为n_i>1且n_i为奇数的个数，则\\ \left\{ \begin{array}{l} 极值点个数为k_1+2k_2+k_3-1\\ 拐点个数为k_1+2k_2+3k_3-2 \end{array} \right. $$穿针引线法#
$$ y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4\\ 奇穿偶不穿，两端取极限\\ $$