行列式#

行列式的性质#

$$ 交换\ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=-|\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3|\\ \ \\ 倍加\ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=|\alpha_1,k\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3|\\ \ \\ 倍乘或提取因子\ |k\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=k|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|\\ \ \\ 拆分\ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3+\beta|=|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|+|\alpha_1,\alpha_2,\beta|\\ \ \\ 成比例\ |\alpha_1,\alpha_2,k\alpha_2|=0 $$

$$ |kA|=k^n|A|\\ |A|=|A^T|\\ |AB|=|A||B|（A,B为同型方阵） $$

$$ |A|=\prod_{i=1}^n\lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n（对相似对角化无要求） $$

逆序数计算#

$$ \tau(i_1,i_2,\cdots i_n):元素后面小于此元素的个数之和 $$

副对角行列式#

$$ \bigg| \quad\quad\bigg|=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\prod_{i=1}^n\Delta $$

爪型行列式#

$$ 第一列减j列的\frac{a_{i1}}{a_{ij}}即可化为上三角矩阵 $$

异爪型行列式#

递推法，按“尾部”行（列）展开

$$ 选取“两爪”(a_n,\quad x)较简单 $$

三对角行列式#

递推法，按第一行或第一列展开，整理可得两两递推式

$$ \quad\ D_{n}=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}\\ \Rightarrow D_n-aD_{n-1}=a(D_{n-1}-aD_{n-2})\\ \Rightarrow D_n-aD_{n-1}=a^n\\ \Rightarrow D_n=a^n+aD_{n-1}=a^n+a(a^{n-1}+aD_{n-2})=(n-1)a^n+a^{n-1}\cdot 2a $$

加边法#

针对除主对角元素外，各行（列）均有相同的元素

$$ 行元素相同加行，列元素相同加列 $$

拆项法#

二维“品”字型行列式#

n维“品”字型行列式#

拉普拉斯展开定理#

$$ 行列式可按任意k(1\leqslant k\leqslant n-1)行（列）展开，\\即在n阶行列式|A|中，可以任意选定k行（列），\\则含于此k行（列）中的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和为|A|的值\\ （代数余子式下标为子式下标） $$

$$ 拉普拉斯行、列展开：\\ |A|=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}\\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$

分块矩阵的拉普拉斯展开式#

由拉普拉斯定理，可推广至n维分块阵

$$ \left| \begin{array}{cc} A\\ \\ &B \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} A&C\\ \\ &B \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} A&\\ \\ C&B \end{array} \right|=|A||B| $$

$$ \left| \begin{array}{cc} &A\\ \\ B& \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} C&A\\ \\ B \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} &A\\ \\ B&C \end{array} \right|=(-1)^{mn}|A||B|（高维分块不是(-1)^{mnq\cdots}）\\ 注：(-1)^{p+q}=(-1)^{m(m+n+1)}=(-1)^{mn} $$

$$ \left| \begin{array}{cc} A&B\\ \\ B&A \end{array} \right|=|(A+B)(A-B)|=|A^2-B^2|=|A^2-ABA^{-1}B|（前提：AB=BA，且A可逆） $$

范德蒙德行列式#

$$ D=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots&1\\ \\ a_1&a_2&\cdots& a_n\\ \\ \vdots&\vdots&&\vdots&\\ \\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots& a_n^{n-1} \end{array} \right| =\prod_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}(a_j-a_i)\\ \ \\ (n-1)!项之积，“右减左，下减上” $$

$$ 注：若非两类标准型，逐行对换化标准型即可 $$

重要结论#

$$ tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_1^*+\lambda_2^*+\lambda_3^*\xlongequal{|A|\neq0}\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2\quad $$

行列式重要经验#

递推时注意$(-1)^k$ ，多推一维，以防出错

行列式函数求某次项题型#

$$ f(x)=\left| \begin{array}{cccc} x&\underline{2x}&7&2\\ \\ 1&x&5&1\\ \\ 2&-1&3x&3\\ \\ 3&2&1&4x \end{array} \right|\quad （考查逆序数） $$

$$ x^4,x^3\rightarrow找同行同列x项\\ 常数项\rightarrow f(0) $$

拉普拉斯展开考查题型#

“乘错行、列”展开式为0（反向还原行列式，某两行、列线性相关）

$$ \left\{ \begin{array}{l} 错行、列：直接为零\\ \\ 反向还原计算：直接还原，或凑错行、列 \end{array} \right. $$

具体型行列式计算#

逆序数计算法、拉普拉斯展开、初等变换、特征值

逆序数计算法：

$$ \bigg|\quad\quad\quad\bigg|=\sum(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\qquad n!项之和，不同行、不同列 $$

拉普拉斯展开（余子式展开）：

$$ |A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} $$

初等变换： 倍乘会改变行列式，注意提取

特征值求行列式： 特征值计算技巧

$$ A= \left( \begin{array}{} 3&2&2\\ \\ 2&3&2\\ \\ 2&2&3 \end{array} \right)= E+ \left( \begin{array}{} 2&2&2\\ \\ 2&2&2\\ \\ 2&2&2 \end{array} \right)=E+B\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\Rightarrow\lambda=1+tr(B)=1+6=7 $$

抽象行列式重要技巧#

善用单位矩阵E构造行列式（可逆矩阵、正交矩阵、相似变换等）

$$ |A|=2,|B|=3,|A^{-1}+B|=2,求|A+B^{-1}|\\ |A+B^{-1}|=|EA+B^{-1}E|=|B^{-1}BA+B^{-1}A^{-1}A|=|B^{-1}(B+A^{-1})A|=|B^{-1}||B+A^{-1}||A|=\frac{4}{3} $$

行列式运算的性质

$$ A=(\alpha,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),B=(\beta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),|A|=1,|B|=-2,求|A+B|=|(\alpha+\beta,2\alpha_1,2\alpha_2,2\alpha_3)|\\ ..... $$

条件转化为矩阵关系，矩阵关系的计算（注意条件复用）

$$ A=(a_{ij})_{3\times 3}为非零矩阵,且a_{ij}+A_{ij}=0，求|A|\\ A=-(A^*)^T\Rightarrow |A|=-|A^*|\Rightarrow |A|=-|A|^2\\ |A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=-(a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2)\neq0 $$