矩阵#
考情分析#
矩阵知识点较繁杂，灵活性很高，考查重难点
矩阵相乘性质良好，矩阵相加性质很差，为考查难点
可逆矩阵的定义#
$$ 设A,B是\textbf{n阶矩阵}，若有AB=BA=E，则称A,B互逆 $$$$ 注：A,B均为方阵时：AB=E\Leftrightarrow BA=E $$等价矩阵#
$$ \quad\ A,B同型，且r(A)=r(B)\\ \Leftrightarrow 存在可逆方阵P,Q，使B=PAQ $$$$ 注：任意两个等价矩阵均可通过初等变换转化 $$矩阵的等价标准型#
$$ \left[\begin{array}{}E_r&O\\O&O\end{array}\right],\quad \left[\begin{array}{}E_r&O\end{array}\right],\quad \left[\begin{array}{}E_r\\O\end{array}\right] $$$$ 注：任意矩阵均可经初等变换转化为等价标准型 $$重要矩阵性质#
$$ AB=O\not\Leftrightarrow BA=O $$几种重要矩阵#
$$ 数量矩阵：kE\\ 反对称矩阵：A^{T}=-A\quad(a_{ii}=0) $$矩阵的秩#
$$ r(A)=k\\ \Leftrightarrow 存在k阶子式不为0，k+1阶子式全为0\\ \Leftrightarrow 最大线性无关组向量个数 $$$$ 注： 在行阶梯型下讨论非零行数（每台阶只能有一行） $$施密特正交化#
$$ \beta_1=\alpha_1 $$$$ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1\qquad(\alpha_2-\frac{|\alpha_2||\beta_1|\cos\theta}{|\beta_1||\beta_1|}\beta_1=a_2-\underbrace{|\alpha_2|\cos\theta}_{\alpha_2投影长度}\cdot\underbrace{\frac{\beta_1}{|\beta_1|}}_{单位化\beta_1}) $$$$ \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 $$矩阵的运算#
$$ 分配律：A(B\pm C)=AB\pm AC;\\ 结合律：A(BC)=(AB)C $$四大运算可交换
$$ \begin{array}{} ({A^*})^{-1}=({A^{-1}})^{*} & ({A^*})^{T}=(A^{T})^{*} & ({A^{T}})^{-1}=({A^{-1}})^{T}\\ (A^k)^T=(A^T)^k & (A^k)^{-1}=(A^{-1})^k & (A^k)^*=(A^*)^k \end{array}\quad（k为正整数） $$三大运算“乘法倒序”
$$ \begin{array}{}(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\quad(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\quad(AB)^{*}=B^{*}A^{*} \end{array} $$$$ (kA)^T=kA^T,\\ (kA)^n=k^nA^n\\ AuBkC=ukABC（系数可任意改变位置） $$逆矩阵与伴随矩阵#
$$ 逆矩阵（A,B均为方阵）：AB=E\quad(A=B^{-1},B=A^{-1}) $$$$ (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\quad\quad |A^{-1}|=|A|^{-1}\\ 性质：\\ A可逆\Leftrightarrow A^{-1},A^*,A^T可逆 $$ $$ 伴随矩阵（方阵）：AA^{*}=A^{*}A=|A|E（拉普拉斯展开原理） $$$$ (kA)^*=k^{n-1}A^*\quad \quad |A^*|=|A|^{n-1}\quad \quad (A^*)^*=|A|^{n-2}A\quad $$$$ |A|\neq0时，A^*=|A|A^{-1} $$逆矩阵与伴随矩阵的等价结论#
$$ r(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq0\Leftrightarrow |A^*|=|A|^{n-1}\neq0\Leftrightarrow r(A^*)=n $$$$ \begin{array}{l l} r(A)=n-1&\Leftrightarrow |A|=0且A中至少有一个n-1阶子式不为零\\ &\Leftrightarrow AA^*=|A|E=O且存在A_{ij}\neq0\\ &\Leftrightarrow r(A)+r(A^*)= n且A^*\neq O\\ &\Leftrightarrow r(A^*)=1 \end{array} $$$$ \begin{array}{ll}r(A)<n-1&\Leftrightarrow A的任意n-1阶子式全为零\\ &\Leftrightarrow A^*的所有元素A_{ij}=0\\ &\Leftrightarrow A^*=O\\ &\Leftrightarrow r(A^*)=0 \end{array} $$$$ r(A^*)=n\Leftrightarrow r(A)=n;\\ r(A^*)=1\Leftrightarrow r(A)=n-1;\\ r(A^*)=0\Leftrightarrow r(A)<n-1\\ （按定义理解） $$三大初等变换#
$$ E_{ij},\quad E_{i}(k),\quad E_{ij}(k) $$左乘行变换，右乘列变换，下标由“近往远读”
$$ \begin{array}{lll}E_{ij}：互换\quad &[E_{ij}]^{-1}=E_{ij}\qquad &|E_{ij}|=-1\\ E_{i}(k):倍乘\quad &[E_{i}(k)]^{-1}=E_{i}(\frac{1}{k})\qquad &|E_i(k)|=k\\ E_{ij}(k)：倍加\quad &[ E_{ij}(k)]^{-1}= E_{ij}(-k)\qquad &|E_{ij}(k)|=1 \end{array} $$$$ 注：j行k倍加到i行，i列k倍加到j列 $$分块矩阵初等变换#
行变换左乘分块、列变换右乘分块
前提，行列对应
$$ \left( \begin{array}{} E_m&O\\ \\ G&E_n \end{array} \right) \left( \begin{array}{} A&B\\ \\ C&D \end{array} \right)= \left( \begin{array}{} A&B\\ \\ GA+C&GB+D \end{array} \right) $$$$ \left( \begin{array}{} P&O\\ \\ O&E \end{array} \right)\left( \begin{array}{} A&B\\ \\ C&D \end{array} \right)= \left( \begin{array}{} PA&PB\\ \\ C&D \end{array} \right)（P不可逆也成立，但非初等变换） $$$$ \left( \begin{array}{} O&E_n\\ \\ E_m&O \end{array} \right)\left( \begin{array}{} A&B\\ \\ C&D \end{array} \right)= \left( \begin{array}{} C&D\\ \\ A&B \end{array} \right) $$$$ 舒尔公式（理解灵活使用）：\left(\begin{array}{} E&O\\ -CA^{-1}&E \end{array}\right) \left(\begin{array}{} A&B\\ C&D \end{array}\right)= \left(\begin{array}{} A&B\\ O&D-CA^{-1}B \end{array}\right)\\ $$$$ 行列式与一般初等变换同理： \left| \begin{array}{} E_m&O\\ \\ G&E_n \end{array} \right|,\left| \begin{array}{} P&O\\ \\ O&E \end{array} \right|, \left| \begin{array}{} O&E_n\\ \\ E_m&O \end{array} \right| $$分块矩阵的运算#
$$ \left( \begin{array}{cc} A&B\\ \\ C&D \end{array} \right)^T= \left( \begin{array}{cc} A^T&C^T\\ \\ B^T&D^T \end{array} \right) $$$$ \left( \begin{array}{ll} B\\ \\ D&C \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{cc} B^{-1}\\ \\ -C^{-1}DB^{-1}&C^{-1} \end{array} \right)\quad\quad \left( \begin{array}{ll} &B\\ \\ C&D \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{cc} -C^{-1}DB^{-1}&C^{-1}\\ \\ B^{-1} \end{array} \right)\\ （主、副对角仅位置不同，在相应位置上：负的，左乘行逆，右乘列逆）（其余分块同理） $$$$ \left( \begin{array}{} A_1\\ \\ &A_2\\ \\ && \ddots\\ \\ &&&A_s \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{} A_1^{-1}\\ \\ &A_2^{-1}\\ \\ && \ddots\\ \\ &&&A_s^{-1} \end{array} \right)\quad\quad \left( \begin{array}{} &&&A_1\\ \\ &&A_2\\ \\ & \dots\\ \\ A_s \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{} &&&A_s^{-1}\\ \\ &&\dots\\ \\ & A_2^{-1}\\ \\ A_1^{-1} \end{array} \right) $$分块矩阵的秩#
$$ r\left(\begin{array}{ll}A\\ \\ &B \end{array}\right)=r(A)+r(B);\\ r\left(\begin{array}{ll}A\\ \\ C&B \end{array}\right)= r(A)+r(B)（A列满秩或B行满秩时）\\ （按A,B极大线性无关组线性表出C把握）\\ r\left(\begin{array}{ll}A&D\\ \\ C&B \end{array}\right)\xrightarrow{无关} r\left(\begin{array}{ll}A\\ \\ C&B \end{array}\right)\geqslant r\left(\begin{array}{ll}A\\ \\ &B \end{array}\right)=r(A)+r(B)\\（其余二维上下三角分块阵同理，无零分块则无以上结论）\\ $$秩的性质1#
$$ \begin{array}{ll}A=0\Leftrightarrow r(A)=0;\quad A\neq0\Leftrightarrow r(A)\geqslant 1\\ r(A_{m\times n})\leqslant \min\{m,n\} \end{array} $$$$ \begin{array}{ll} |r(A)-r(B)|\leqslant r(\alpha A+ \beta B)\leqslant r([A, B])\leqslant r(A)+r(B)（线性表出理解）\\ \\ r(A)+r(B)-n\leqslant r(A_{m\times n}B_{n\times s})\leqslant \min\{r(A),r(B)\}（矩阵的秩，越乘越小）;\\ r(AB)= r(A),r(B)（左乘列满秩，或右乘行满秩，包括可逆矩阵）\\ \\ r([A,B])\geqslant \max\{r(A),r(B)\}（矩阵的秩，越拼越大）\\ \\ A_{m\times n}B_{n\times s}=O\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B的列向量都是方程组Ax=0的解\\ r(A)+r(B)\leqslant n \end{array} \right. \end{array}\\ r(C)=r\left(\begin{array}{}C\\AC\end{array}\right) \ \\ n阶矩阵满足A^2-(k_1+k_2)A+k_1k_2E=O,\ k_1\neq k_2，则r(A-k_1E)+r(A-k_2E)=n $$秩的性质2#
$$ 存在一个k阶子式\neq0 \Rightarrow r(A)\geqslant k $$$$ A_{n\times n}可逆\Leftrightarrow |A|\neq0\Leftrightarrow r(A)=n\Leftrightarrow A为非奇异矩阵 $$$$ A^k=O\Rightarrow |A|=0（初等矩阵不改变秩）\\ A,B均为n阶方阵，AB满秩\Leftrightarrow A,B满秩（可推广） $$迹的性质#
$$ tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=a_{11}+a_{22}+\cdots a_{nn}=\lambda_1+\lambda_2+\cdots \lambda_n（相似不变性，与能否相似对角化无关） $$$$ tr(ABC)=tr(BCA),\quad tr(ABC)\neq tr(ACB)（循环变序性） $$$$ tr(\alpha A+ \beta B)=\alpha\ tr(A)+ \beta\ tr(B)（线性叠加性） $$$$ tr(A^T)=tr(A) $$$$ 若r(A)=1，即A=\alpha\ \beta^T（列乘行），则\\ \quad\quad tr(A)=\alpha^T\beta=\lambda（其余特征值为0）, A^n=\lambda^{n-1}A $$矩阵重要经验#
$$ 1.\ A_{ij},\ A^*,\ A^{-1}密不可分,常以其间关系出题\\ 2.\ 满足AB=BA的情形不止AB=E，如A,B为对角矩阵、零矩阵等等 $$讨论|A|=0常用方法#
$$ 1.\ r(A)<n\\ 2.\ Ax=0有非零解\\ 3.\ |A|=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n $$具体型矩阵含参数讨论秩问题#
$$ 1.初等变换（主要方法）\\ 注意灵活，初等行变换，转置后初等行变换均可，调整向量顺序\\ \\ 非齐次方程组(A,b)中，可灵活调整A列向量顺序，方便变换\\ \ \\ 2.借助行列式 $$$$ 注：a+2任意用，\frac{1}{a+2}仅在分类讨论后用 $$抽象逆矩阵求解#
$$ 1.长除法因式分解求逆\\ \quad A^2+A=2E,求(A+3E)^{-1}\\ \quad\frac{A^2+A-2E}{A+3E}(整商)+aE(余数)=O $$$$ 2.矩阵关系推导\\ 善用单位矩阵E拆解构造定义（可逆矩阵、正交矩阵、相似变换等）\\ A,B,A+B均可逆，证A^{-1}+B^{-1}可逆\quad \rightarrow A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(B+A)B^{-1}\\ \ \\ 3.观察矩阵形式，灵活乘相关矩阵进行消除\\ 例：A,E-A均可逆，[E-(E-A)^{-1}]B=A，求B-A\\ [E-A](E-(E-A)^{-1})B=A-A^2\\ \ B-AB-B=A-A^2\rightarrow\ -AB=A-A^2\rightarrow\ B-A=-E $$抽象矩阵关系处理#
行列式、方程组仅有零解等：
$$ 1.分块矩阵（初等变换化分块对角，行列式不为0）\\ \ \\ 2. 抽象矩阵因式分解\\ AB-A+B-E=0,B\neq E\\ 即(A+E)(B-E)=0,(A+E)x=0有非零解 $$