向量组与线性方程组#

考情分析#

难点：向量组的相关性证明

常用结论#

$$ 初等行变换，不改变列相关性\\ 初等列变换，不改变行相关性\\ （一般变换可能改变） $$

$$ 增加k行（列），秩最多增加k $$

极大线性无关组求解#

$$ 极大线性无关组选取规则：\\ 列长逐小至大选取向量(1,2,3\cdots)，缺项需整理，满足逐小至大(1,2,3\cdots)\\ 1.习惯上选取行阶梯型下的台角向量\\ 2.逐小至大(1,2,3\cdots)，列长相同者地位等同，可自由替换 $$

线性相关与齐次解#

$$ \quad\ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0（探讨k是否全为零）\\ \Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m中存在向量是其余向量的线性组合 $$

$$ 列向量组(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)线性无关\Leftrightarrow 齐次线性方程组(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\left(\substack{x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_s}\right)=0只有零解\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=s $$

线性表出与非齐次解#

$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\beta（探讨k是否存在）\\ （若\beta\neq0，则k一定不全为零） $$

$$ \beta可由(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)表示\Leftrightarrow 非齐次线性方程组(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\left(\substack{x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_s}\right)=\beta有解\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)\\ 表示法唯一（唯一解）\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性无关 $$

线性方程组解的性质#

$$ 全部解的构成：齐次通解+非齐次特解\\ （非齐次通解中，除去含k项，即为“非齐次特解因子”） $$

$$ 基础解系不唯一，通解不唯一 $$

齐次解叠加性：

$$ y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n为齐次解\\ k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n仍为齐次解 $$

非齐次解叠加性：

$$ y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n为非齐次解\\ k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n\left\{ \begin{array}{ll} \sum k_i=0,齐次解\\ \sum k_i=1,非齐次解 \end{array} \right. $$

$$ 注：常系数线性微分方程与线性方程组性质相似，但不相同\\ 常系数线性微分方程的非齐次解可以“模态”分解，线性方程组不可 $$

线性方程组线性无关解个数#

$$ Ax=0齐次线性方程组的线性无关解个数为n-r(A)\\ \ \\ Ax=b非齐次线性方程组的线性无关解个数为n-r(A)+1 $$

$$ 注：\\ 1.非齐次特解必然无法被齐次通解的基础解系表示\\ （若可表示，代入方程组=0\quad\times ）\\ 2.Ax=b组成增广矩阵(A,b)(b\neq0)，初等行变换后\overline{b}\neq0（故必有特解） $$

方程组解与秩的关系#

$$ \begin{array}{ll} A_{m\times n}x=0（总有解）:&r(A)=n\quad只有零解\\ &r(A)<n\quad有无穷多解\\ \\ A_{m\times n}x=b:&r(A)\neq r(A,b)\quad无解\\ &r(A)= r(A,b)=n\quad有唯一解\\ &r(A)= r(A,b)<n\quad有无穷多解 \end{array} $$

方程组同解与公共解#

同解与公共解属不同概念

$$ 同解：解互相满足（A的解是B的解（不含k_i代入成立），且r(A)=r(B)）\\ 系数矩阵行向量等价，两方程组的基础解系向量组等价 $$

$$ 公共解：解系空间有公共部分（寻求k_i的关系）\\ 两方程组的基础解系向量组均可表示某向量空间的同一向量组 $$

向量组等价与同解方程组性质#

向量组等价（列）== 同解方程组（行）

$$ \quad\ A,B的向量组可互相线性表出\\ \Leftrightarrow r(A)=r(B)，且A,B的向量组可单方向线性表出\\ \Leftrightarrow r(A)=r(B)=r(A,B)\\ $$

$$ \quad\ Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0\\ \Leftrightarrow r(A)=r(B)，且Ax=0的解满足Bx=0（或Bx=0的解满足Ax=0）\\ \Leftrightarrow r(A)=r(B)=r\left(\begin{array}{}A\\B\end{array}\right)\\ \Leftrightarrow 存在P,Q,使PA=B,QB=A\\ \Leftrightarrow存在可逆矩阵P，使PA_{m\times s}=\left(\begin{array}{}B_{n\times s}\\O\end{array}\right)(m\geqslant n) \\ \Leftrightarrow Q为列满秩矩阵且A=QB\quad（不同型,r(A)=r(B),且Bx=0的解满足QBx=0）\\ \qquad A_{m\times s}=P^{-1}\left(\begin{array}{}B_{n\times s}\\O\end{array}\right)=QB\quad(m\geqslant n) （Q相当于P^{-1}去掉后m-n列） $$

$$ 注：同型即初等行变换，不同型则左乘列满秩\\ \begin{array}{rcl} 初等变换&\Leftrightarrow& 同解且同型\\ 左乘列满秩&\Leftrightarrow&同解但不一定同型\end{array} $$

齐次线性方程组同解、子解的性质#

$$ \underbrace{Ax=0}_{\textcircled{1}}与\underbrace{A^TAx=0}_{\textcircled{2}}同解\qquad r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^T A)\\ \ \\ \textcircled{1}的解是\textcircled{2}的解\qquad 显然\\ \textcircled{2}的解是\textcircled{1}的解\qquad(Ax)^TAx=0\xRightarrow{平方和为零} Ax=0\\ \ \\ 注：Ax=0与AA^Tx=0不一定同解 $$

$$ \quad\ Ax=0的解都是Bx=0的解\\ \Leftrightarrow Ax=0与\left\{\begin{array}{l} Ax=0\\ Bx=0 \end{array} \right.同解\\ \Leftrightarrow A的行向量组可线性表示B的行向量组\\ \Leftrightarrow r(A)=r\left(\begin{array}{l}A\\B\end{array}\right)\\ \Leftrightarrow 存在P，使得PA=B\\ \ \substack{\Rightarrow \\ \not\Leftarrow}\ r(A)\geqslant r(B) \quad （向量空间不一定一致） $$

非齐次线性方程组同解、子解性质#

前提，非齐次线性方程组有解

$$ \quad\ Ax=\alpha的解满足Bx=\beta，且Bx=\beta的解满足Ax=\alpha\quad（齐次通解相同+非齐次特解相同）\\ \Leftrightarrow \left(\begin{array}{}A&\alpha\end{array}\right) \left(\begin{array}{}x\\-1\end{array}\right)=0与\left(\begin{array}{}B&\beta\end{array}\right)\left(\begin{array}{}x\\-1\end{array}\right)=0同解\\ \Leftrightarrow r(A)=r(B)=r(A,\alpha)=r(B,\beta)=r\left(\begin{array}{}A\\B\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{}A&\alpha\\B&\beta\end{array}\right)\\ \Leftrightarrow存在可逆矩阵P，使P\left(A_{m\times s}\quad\alpha\right)=\left(\begin{array}{}B_{n\times s}&\beta\\O&O\end{array}\right)(m\geqslant n)，非齐次有解\\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\ Ax=0与Bx=0同解 $$

$$ \quad\ Ax=\alpha的解都是Bx=\beta的解\\ \Leftrightarrow Ax=\alpha与\left\{\begin{array}{l} Ax=\alpha\\ Bx=\beta \end{array} \right.同解\\ \Leftrightarrow (A\quad\alpha)的行向量组可线性表示(B\quad\beta)的行向量组，且非齐次有解\\ \Leftrightarrow r(A\quad\alpha)=r\left(\begin{array}{}A&\alpha\\ B&\beta\end{array}\right)，且r(A)=r(A\quad\alpha)，r(B)=r(B,\beta) $$

向量空间#

标准正交基： 单位向量、正交向量组

过渡矩阵： 熟练使用逆矩阵变换即可

$$ (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)P\\ P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^{-1}(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) $$

向量坐标：

$$ \\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)y=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)x \quad \Rightarrow \quad x=Py（坐标变换均为此形式） $$

善用向量空间理解把握相关性与线性表出相关性质

$$ 注：向量个数小于向量维数，即向量空间不同时......\\ \left(\begin{array}{} 1&0\\ 1&1\\ 0&1 \end{array} \right)\not\Leftrightarrow \left(\begin{array}{} 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array} \right) $$

向量组与方程组重要经验#

$$ 1.相关、无关问题，先标明矩阵维数，再作讨论\\ 2.初等变换讨论向量组线性表出、等价问题时，切记列为增广矩阵同时变换 $$

基础解系重要结论#

$$ 基础解系定义： \left\{\begin{array}{l} 1.\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r均为齐次线性方程组的解\\ 2.\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r为Ax=0全部解的极大线性无关组 \end{array}\right. $$

$$ 灵活从基础解系中反得列向量相关性\\ \xi=\left( \begin{array}{} 1\\2\\-1\\0 \end{array} \right)\Rightarrow \alpha_1+2\alpha_2-\alpha_3=0;\quad\xi=\left( \begin{array}{} 1\\0\\1\\0 \end{array} \right)\Rightarrow \alpha_1+\alpha_2=0（地位等同） $$

$$ 注： \left.\begin{array}{l} 基础解系\rightarrow列向量的线性相关性\\ 列向量的线性相关性\rightarrow基础解系 \end{array}\right\}不仅限于一维解系（灵活分析） $$

求基础解系#

初等变换法：……

$$ 令自由变量\\\xi_1=\left( \begin{array}{} \vdots\\ x_3\\ x_4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{} \vdots\\ 0\\ 1 \end{array} \right)（配平方程）\\ \xi_2=\left( \begin{array}{} \vdots\\ x_3\\ x_4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{} \vdots\\ 1\\ 0 \end{array} \right)（配平方程）\\ \ \\ 注：可选不同的自由变量，故基础解系不唯一，其向量组等价 $$

n-r(A)个线性无关解: ……

求公共解题型#

方程组均已知：

$$ 联立求解即可 $$

一个方程组已知，另一个基础解系已知：

$$ \xi=(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)代入方程组，根据方程组存在非零解，确定k_i间的关系 $$

方程组未知，已知基础解系：

$$ （关键在于寻找k_1,k_2,l_1,l_2间的关系）\\ 设公共解为：\\ \gamma=k_1\beta_1+k_2\beta_2=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2\\ \Rightarrow k_1\beta_1+k_2\beta_2-l_1\alpha_1-l_2\alpha_2=0\\ 解齐次方程组：\\ (\beta_1,\beta_2,-\alpha_1,-\alpha_2)\left( \begin{array}{l} k_1\\k_2\\l_1\\l_2 \end{array} \right)=0\quad 用k_1,k_2或l_1,l_2表示公共解\gamma\\ (k_1,k_2,l_1,l_2)^T=c_1(4,-3,1,0)^T+c_2(-7,5,0,1)^T\\ \xi=(4c_1-7c_2)\beta_1+(-3c_1+5c_2)\beta_2=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2\quad{\color{blue}本质为四维向量张成二维向量空间} $$

⭐️判定向量组线性无关题型#

$$ 1.定义法（常规方法失效时考虑）： k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0（是否存在k_i全为0） $$

$$ 相乘消k_i项（关键：找到相乘的矩阵、或向量）\\ 例1：A\alpha_1=\alpha_1\neq0,A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_2,A\alpha_3=\alpha_2+\alpha_3，证\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关\\ \rightarrow (A-E)\alpha_1=0,(A-E)\alpha_2=\alpha_1,(A-E)\alpha_3=\alpha_2\\ 循环相乘，或因子相乘(A+E,A-E,\cdots)\\ 例2：A为n阶正定，\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_r为n维非零向量，且\alpha_i^TA\alpha_j=0(i\neq j)，证\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性无关\\ \rightarrow\alpha_i^TA逐个相乘k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0解k_i\\ \ \\ 组合代入解k_i，线性变换表示，判定秩\\ 例：\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_1-\alpha_2,\beta_3=\alpha_3 $$

$$ 2.初等变换、行列式等（有秩、行列式等相关信息时考虑）: $$

$$ 已知\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_m，\\ 证\beta-\alpha_1,\beta-\alpha_2,\cdots,\beta-\alpha_m线性无关的充分必要条件是\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m线性无关\\ （构建初等变换关系） $$

几何意义题型#

$$ 直线几何关系判定：\\ 直线\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}与直线\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}的关系，\left( \begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ \\ a_2&b_2&c_2\\ \\ a_3&b_3&c_3 \end{array} \right)满秩\\ \ \\ 判定矩阵 \left( \begin{array}{ccc} a_1-a_2&b_1-b_2&c_1-c_2\\ \\ a_2-a_3&b_2-b_3&c_2-c_3\\ \\ a_3-a_1&b_3-b_1&c_3-c_1 \end{array} \right)的秩r(A)= \left\{\begin{array}{l} 3，不共面\\ 2，共面（相交或平行）\\ 1，重合 \end{array}\right. $$

$$ 三维方程组的几何关系判定（抽象为平面，以法向量把握）：\\ r(A)=1,r(\overline{A})=1，r(\overline{A})=2（两种情形）\\ r(A)=2,r(\overline{A})=2（两种情形,三重平面束）,r(\overline{A})=3（两种情形）\\ r(A)=3,r(\overline{A})=3 $$

具体向量组的线性表出与等价题型#

向量组的线性表出：

$$ 列为增广矩阵，初等行变换，化最简形讨论（齐次解+非齐次解两部分）\\ 注：非齐次解用台角表示出即可，不唯一 $$

向量组等价（较灵活）：

$$ 分利用等价的完全性与不完全性两类情形\\1.方阵满秩，即可逆\\ 2.非满秩，根据r(A)=r(B)=r(A,B)判断\\ 3.无法判断秩（含参），列为增广矩阵，初等行变换讨论（通用性强）\\ 等价完全性讨论：增广矩阵可单向表出，且r(A)=r(B) $$

同一向量不同基下相同坐标问题#

$$ 思路：设坐标(k_1,k_2,k_3)，整理为齐次线性方程组\\ e=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3\\ (\beta_1-\alpha_1)k_1+(\beta_2-\alpha_2)k_2+(\beta_3-\alpha_3)k_3=0有非零解问题 $$

已知基础解系，求方程组题型#

$$ \xi_1,\xi_2为基础解系，A(\xi_1,\xi_2)=O\\ \underbrace{\left( \begin{array}{l} \xi_1^T\\ \\ \xi_2^T \end{array} \right)A^T=O}_{\textcircled{1}}\quad 同解\\ \ \\ 解线性方程组\textcircled{1}基础解系\zeta_1,\zeta_2\\ A^T=(l_1\zeta_1+l_2\zeta_2,\quad l_3\zeta_1+l_4\zeta_2)\qquad \left|\begin{array}{} l_1&l_3\\ l_2&l_4 \end{array}\right|\neq0 $$

抽象型方程组求解#

关键：根据通解得向量关系

$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),Ax=\beta的通解为(1,2,-1)^T+k(1,-2,3)^T,\\令B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_3+\beta),则求Bx=\alpha_1-\alpha_2的通解\\ \ \\ \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1+2\alpha_2-\alpha_3=\beta\\ \alpha_1-2\alpha_2+3\alpha_3=0 \end{array} \right.\\ \ \\ 线性表出问题（齐次通解+非齐次特解）：\\ \left\{\begin{array}{l}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_3+\beta)x=0\\ (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_3+\beta)x=\alpha_1-\alpha_2 \end{array} \right. $$

3-向量组与线性方程组