特征值、特征向量#
考情分析#
难点：抽象矩阵的相似
特征值与特征向量的定义#
$$ 设A为n阶矩阵，若存在n维非零列向量\xi，使得\\ \qquad\qquad\qquad A\xi=\lambda\xi\ 或{\color{blue} (A-\lambda E)\xi=0}\\ 则称\lambda为A 的特征值，\xi是对应与特征值\lambda的特征向量 $$$$ 注： A\xi=\lambda\xi意义：伸缩变换\\ \xi由(A-\lambda E)x=0解得，为基础解系，非定量(k\xi_i,k\neq0)\\ 特征方程|A-\lambda E|=0可能出现非实根情况，但不作为考察点\\ |\lambda E-A|=\lambda ^3+a\lambda^2+b\lambda+c(各阶同理) $$特征值、特征向量与齐次方程组的概念互通#
$$ A对应\lambda_i的特征向量\xi_i是(A-\lambda_iE)x=0的非零基础解系 $$特征值、特征向量的性质#
$$ 1. A的不同特征值对应的特征向量线性无关\\ 2. k重特征值最多有k个线性无关的特征向量（代数重数\geqslant几何重数\geqslant1）\\ 3. 不同特征值对应的特征向量的非零线性组合不是A 的特征向量\\ 4.同一特征值对应的特征向量为k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots（k_i不全为零） $$$$ \lambda为A,B的特征值\not\Rightarrow \lambda是A+B,AB的特征值\\ \xi是A,B的特征向量，则必是多项式f(A)+g(B),f(A)g(B)的特征向量\\ \\ \ [f(A)+g(B)]\xi=[f(\lambda_A)+f(\lambda_B)]\xi \\ f(A)g(B)\xi=f(A)g(\lambda_B)\xi=f(\lambda_A)g(\lambda_B)\xi $$矩阵相似的定义#
$$ A,B为\textbf{n阶方阵}，若存在n阶可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，则称A\sim B $$可相似对角化的本质#
$$ (A\xi_1,A\xi_2,\cdots,A\xi_n)=(\lambda_1\xi_1,\lambda_2\xi_2,\cdots,\lambda_n\xi_n)\rightarrow AP=P\Lambda\\ \ \\ 若P可逆，即(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)线性无关，则有P^{-1}AP=\Lambda，故A可相似对角化 $$$$ 注：\\ 1.(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)中各向量长度任意非零\\ 2.(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)的排列与\Lambda中\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n排列对应 $$矩阵可相似对角化的五大条件#
$$ 充要条件：\\ \Leftrightarrow 存在可逆矩阵P，使P^{-1}AP=\Lambda\\ \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\\ \Leftrightarrow n阶矩阵A对应于每个k_i重特征值都有k_i个线性无关的特征向量\\ \Leftrightarrow n阶矩阵A特征值的几何重数等于代数重数 $$$$ 充分条件：\\ \Leftarrow n阶矩阵A有n个不同的特征值\\ \Leftarrow n阶矩阵A为实对称矩阵 $$特征值与特征向量对应#
$$ \begin{array}{cccccccc} 矩阵&A&kA&A^k&f(A)&A^{-1}&A^*&P^{-1}AP&A^T\\ \\ 特征值&\lambda&k\lambda&\lambda^k&f(\lambda)&\frac{1}{\lambda}&{\frac{|A|}{\lambda}(|A|\neq0)}&\lambda&\lambda\\ \\ 特征向量&\xi&\xi&\xi&\xi&\xi&\xi&P^{-1}\xi&-&特征向量非定值k\xi(k\neq0) \end{array} $$$$ P^{-1}AP,A^*（A可逆时）,A^{-1},kA,A可反得A的特征值、特征向量\\ {\color{blue}（涉及k次方无法反得，其余均可）} $$ $$ 注：|A|=0,则\lambda_A^*=\frac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_1}=\lambda_2\lambda_3\\ 由A^*的\lambda,\xi 得A的\lambda,\xi，前提必须|A|\neq0 $$相似的性质#
注意相似性质的递归拓展
$$ 充要条件：\\ A\sim B\Leftrightarrow A^{-1}\sim B^{-1}(|A|\neq0时),\quad A^T\sim B^T,\quad {\color{blue}A-kE\sim B-kE,\quad kA\sim kB} $$$$ 性质-必要不充分条件（相似反求参数用此即可）：\\ {\color{blue}\Rightarrow A^*\sim B^*(|A|\neq0时)}\\ \Rightarrow r(A)=r(B),\quad |A|=|B|,\quad|A-\lambda E|=|B-\lambda E|,\quad A,B有相同的特征值,\quad tr(A)=tr(B)\\ \Rightarrow f(A)\sim f(B),\quad f(A^T)\sim f(B^T),\quad f(A^{-1})\sim f(B^{-1}),\quad f(A^{*})\sim f(B^{*})\\ \ \\ 注：P^{-1}AP=B\Longrightarrow B+B^{-1}=P^{-1}AP+P^{-1}A^{-1}P= P^{-1}(A+A^{-1})P {\color{blue}（f仅为关于A,A^{-1}的多项式）} $$$$ 性质： A\sim C,B\sim D\Rightarrow \left(\begin{array}{}A&O\\O&B\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{}C&O\\O&D\end{array}\right) $$相似矩阵判定的方法#
先考虑用相似的必要条件排除，再考虑以下方法
$$ 1. 定义法：P^{-1}AP=B\\ 2. 传递性质：A\sim B,A\sim C\Rightarrow B\sim C\\ \star A,B有相同的特征值\\ \left\{ \begin{array}{l} A,B可相似对角化\Rightarrow A\sim B\\ A,B不可相似对角化，且r(A-\lambda E)=r(B-\lambda E)\Rightarrow A\sim B\\ （较深，几何重数、代数重数、约旦标准型证得）\\ A可相似对角化，B不可相似对角化\Rightarrow A\not\sim B\\ （传递性反证） \end{array} \right. $$正交矩阵及其性质#
$$ 定义：A为n阶方阵，A^TA=AA^T=E,则称A是正交矩阵 $$$$ 正交矩阵的列（行）均是两两正交的单位向量\\ 即，A\left\{ \begin{array}{} 既为，标准行正交向量组\\ 又为，标准列正交向量组 \end{array} \right. $$$$ 性质：\\ 1.\ A^T=A^{-1}\\ 2.\ |A|=\pm1\\ 3.\ 特征值为\pm1\\ 4.\ A^{-1},A^*,A^T,-A为正交矩阵\\ 5.\ A,B正交\Rightarrow AB,BA为正交矩阵\\ (ABB^TA^T=E\quad BAA^TB^T=E) $$实对称矩阵的定义与性质#
$$ 定义:A为n阶方阵，矩阵元素为实数，且A=A^T $$$$ 性质：\\ 1.实对称矩阵不同特征值的特征向量互相正交\\ 2.实对称矩阵k重特征值必有k个线性无关的特征向量，则必可相似对角化\\ 3.“重”特征向量正交化，仍为特征向量，故可正交相似对角化\\ \ \\ 4.实对称矩阵必可正交相似对角化，故特征值正负个数对应正负惯性指数\\ \ \\ 5.实对称矩阵必有n个n维的特征向量，{\color{blue}满向量空间}\\ 若向量与所有“异特征值”的特征向量正交，则此向量为特征向量\\ \ \\ 实对称矩阵各大运算均对称：\\A^{-1}=(A^{-1})^T\quad A^*=(A^*)^T\quad A^{k}=(A^{k})^T\quad kA=kA^T $$$$ 注： 实对称矩阵A=A^T内含所有性质，备选使用 $$分块矩阵特征值#
$$ \left|\begin{array}{} A-\lambda E\\ \\ C&B-\lambda E \end{array}\right|=|(A-\lambda E)(B-\lambda E)|=0\\ \lambda_i=\lambda_A,\lambda_B $$$$ \left|\begin{array}{} -\lambda E&A\\ \\ A&-\lambda E \end{array}\right|=|(-\lambda E-A)(-\lambda E+A)|=|\lambda^2 E-A^2|=0\\ \lambda_i=\lambda_A,-\lambda_A $$$$ |A+\lambda E|=0\rightarrow |A-\mu E|=0；\mu为特征值，且\mu_i=-\lambda_i $$重要经验#
$$ 特征值、特征向量与齐次方程组的关系密切 $$$$ 非零特征值个数无法判断矩阵的秩，除非可相似对角化 $$特征行列式处理技巧#
$$ 勿直接计算行列式，先观察，进行行列式运算，提取因子\\ 行和、列和相等（加到一边），对称矩阵等\\ \left| \begin{array}{} 1-\lambda&a&1\\ \\ a&b-\lambda&a\\ \\ 1&a&1-\lambda \end{array} \right| $$特征值计算技巧#
$$ A= \left( \begin{array}{} 3&2&2\\ \\ 2&3&2\\ \\ 2&2&3 \end{array} \right)= E+ \left( \begin{array}{} 2&2&2\\ \\ 2&2&2\\ \\ 2&2&2 \end{array} \right)=E+B\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\Rightarrow\lambda=1+tr(B)=1+6=7 $$$$ 此法可推广应用：由特征值计算行列式 $$正交相似对角化#
$$ 正交化技巧：\\A-\lambda E有二重根， （前提是配平方程）：\\ x_1=-2x_2+2x_3\\ \xi_1=\left( \begin{array}{} -2\\ \\ 1\\ \\ 0 \end{array} \right)\qquad \xi_2=\left( \begin{array}{} 1\\ \\ 2\\ \\ {\color{blue}\frac{5}{2}} \end{array} \right)前两元素配正交，后一元素配平 $$$$ 注：\\ 特征向量正交化后依旧是矩阵的特征向量\\ \ \\ 相似变换阵向量长度、重特征向量方向不唯一\\ 正交变换阵仅重特征向量方向不唯一（单位向量） $$矩阵多项式等式重要处理技巧#
$$ 若有f(A)=O,则有f(\lambda)=0{\color{blue}（f仅为关于A,A^{-1},A^*在内的多项式）},可得A特征值的可能取值（不一定各值均可取到）\\ 注：(A+A^*+A^{-1})\xi=(\lambda+\frac{|A|}{\lambda}+\frac{1}{\lambda})\xi=0\xRightarrow{\xi\neq0} (\lambda+\frac{|A|}{\lambda}+\frac{1}{\lambda})=0 $$$$ 若有f(A)\alpha=0(\alpha,A\alpha线性无关),可分解f(A)因式,由特征值与特征向量定义分析条件\\ 例：A^2\alpha+A\alpha=0\\ \left\{ \begin{array}{l} A(A\alpha+\alpha)=0\cdot (A\alpha+\alpha) \\ (A+E)A\alpha=0\cdot A\alpha\\ （保证A\alpha,A\alpha+\alpha非零） \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} |A|=0\\ |A+E|=0 \end{array} \right. $$相似对角化特例#
$$ n阶矩阵满足A^2-(k_1+k_2)A+k_1k_2A=O,\ k_1\neq k_2，则A可相似对角化 $$$$ \Rightarrow \lambda_i可能的取值为k_1,k_2（k_1,k_2不一定均能取到）\\\\ (A-k_1E)(A-k_2E)=O\\ \Rightarrow n=r[(k_2-k_1)E]\leqslant r(A-k_1E)+r(A-k_2E)\leqslant n\\ 即 r(A-k_1E)+r(A-k_2E)=n\\ \ \\ 讨论\lambda=k_1情形: n-r(A-k_1E)=r(A-k_2E)\\ 讨论\lambda=k_2情形: n-r(A-k_2E)=r(A-k_1E)\\ \Rightarrow r(A-k_1E)+r(A-k_2E)=n，故有n个线性无关的特征向量 $$ $$ r(A)=1且tr(A)\neq0，则A可相似对角化，且\lambda=tr(A) $$求相似矩阵、或特征值#
$$ 两种思路：\\ AP=PB（寻求表示关系）\\ B=P^{-1}AP（须求P^{-1}，可能较繁琐） $$实对称矩阵求解特征向量#
关键：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
$$ 已知“单”特征向量，求“重”特征向量:\\ \zeta_1,\zeta_2为单特征向量\left\{ \begin{array}{l}(x_1,x_2,x_3,x_4)\zeta_1=0\\ (x_1,x_2,x_3,x_4)\zeta_2=0 \end{array} \right.解方程组，即可解得“重”特征向量\\ \ \\ 已知“重”特征向量，求“单”特征向量:\\ \xi_1,\xi_2为重特征向量组\left\{ \begin{array}{l}(x_1,x_2,x_3)\xi_1=0\\ (x_1,x_2,x_3)\xi_2=0 \end{array} \right.解方程组，即可解得“单”特征向量 $$秩为1的矩阵求特征向量#
