二次型#
考情分析#
矩阵合同主要考二次型的合同，即实对称矩阵的合同
二次型矩阵#
$$ 规定二次型的矩阵必须是A=A^T，故二次型的矩阵唯一\\ 实对称矩阵必可正交相似对角化 $$坐标变换的灵活运用#
$$ f=2(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2+(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3)^2\\ \quad=2(x_1,x_2,x_3) \left(\begin{array}{l}a_1\\a_2\\a_3 \end{array}\right)(a_1,a_2,a_3) \left(\begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3 \end{array}\right)+(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{l}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)(b_1,b_2,b_3)\left(\begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\\ \quad=x^T(2\alpha\alpha^T+\beta\beta^T)x $$ $$ 正交变换下(P^TP=E,P=(e_1,e_2,e_3)):\\ f=x^TAx=y^TP^TA Py=y^T\Lambda y=y^T\left(\begin{array}{}2&&\\&1&\\&&-1\end{array}\right)y=2y_1^2+y_2^2-y_3^2\\ f在正交变换x=Qy=(e_1,-e_3,e_2)y下为\\ x=Qy=P\left(\begin{array}{}1&&\\&&1\\&-1&\end{array}\right)y=P\left(\begin{array}{}y_1\\y_3\\-y_2\end{array}\right)\\ 故f=(y_1,y_3,-y_2) \left(\begin{array}{}2&&\\&1&\\&&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{}y_1\\y_3\\-y_2\end{array}\right) $$矩阵合同的定义#
$$ A,B为\textbf{n阶方阵}，若存在n阶\textbf{可逆矩阵C}，使得C^TAC=B，则称A与B合同，记为A\simeq B $$正负惯性指数#
$$ 合同变换化为标准型或规范型，正项个数为正惯性指数，负项个数为负惯性指数 $$二次型最值问题#
$$ \lambda_{\min}(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\leqslant x^TAx\leqslant \lambda_{\max}(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\\ 故M\lambda_{\min}\leqslant x^TAx\leqslant M\lambda_{\max} $$$$ 证：正交变换x=Qy,\\ x^Tx=(Qy)^T Qy=y^TQ^TQy=y^Ty=M\\ \ \\ x^TAx\xlongequal{坐标变换}y^T\Lambda y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 $$矩阵合同的性质#
$$ \begin{array}{ll} A\simeq B&\Rightarrow r(A)=r(B)\\ A\simeq B,A=A^T& \Rightarrow B=B^T\\ A\simeq B,A\simeq C&\Rightarrow B\simeq C\\ A\simeq B&\Leftrightarrow A^{-1}\simeq B^{-1}（若可逆）,A^{T}\simeq B^{T}\\ &\Rightarrow A^{*}\simeq B^{*} \end{array}\\ \ \\ 若A可逆且对称，则(A^{-1})^TAA^{-1}=A^{-1},故A与A^{-1}合同 $$$$ 证： P^TAP=B \left\{\begin{array}{l} \Leftrightarrow P^{-1}A^{-1}(P^{-1})^T=B^{-1}\\ \Leftrightarrow P^TA^TP=B^T\\ \Rightarrow P^*A^*(P^*)^T=B^* \end{array}\right. $$二次型矩阵合同的判定#
合同不要求实对称矩阵，但二次型矩阵只能是实对称矩阵
$$ 充要条件：实对称矩阵 \left\{ \begin{array}{c} 正负惯性指数相同\\ 或\\ 特征值正负个数对应相同 \end{array} \right. $$$$ 实对称矩阵，矩阵相似A\sim B\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\ 矩阵合同A\simeq B $$$$ 注： 可逆坐标变换（合同变换）不改变矩阵正、负惯性指数 $$标准型与规范型#
$$ 对角线元素不一定为0，非对角线元素均为0 \left\{\begin{array}{l} 标准型对角线元素不一定为特征值\\ 规范型对角线元素只能为-1,1,0 \end{array}\right. $$二次型标准化或规范化#
$$ 首选拉格朗日配方法（P自然可逆）：\\ 配平后得y=\bigg(\qquad\bigg)x=Px，方程直接反解x=Cy（求逆矩阵繁琐）\\ 注：拉格朗日配方法可任意配标准型或规范型系数\\ $$ $$ 备选正交相似对角化\\ 注：正交变换无法任意配系数 \left\{ \begin{array}{rl} x^TAx&=y^T(Q^T\Lambda_1 Q) y\\ &=y^T[Q^TE_2(\sqrt{3})\Lambda_2 E_2(\sqrt{3})Q] y\\ &Q^TE_2(\sqrt{3}) E_2(\sqrt{3})Q\neq E\\ &（非相似变换，即非正交变换） \end{array} \right. $$正定二次型定义#
$$ 前提： A=A^T，且为实数 $$$$ n元二次型f=x^TAx.若对任意x\neq0，均有x^TAx>0(当且仅当x=0时，f=0)，则\\称f为正定二次型，称A为正定矩阵 $$⭐️正定二次型的判定#
$$ 前提：A=A^T，且为实数 $$$$ 充要条件：\\ \begin{array}{rl} f=x^TAx正定 &\Leftrightarrow A的全部顺序主子式>0\\ &\Leftrightarrow A的特征值\lambda_i>0(i=1,2,\cdots,n)\\ &\Leftrightarrow f的正惯性指数p=n\\ &\Leftrightarrow A\simeq E\\ &\Leftrightarrow 存在可逆矩阵D，使得A=D^TD\\ &（灵活串用充要条件）\\ &\Leftrightarrow A^{-1},A^T,A^*(|A|\neq0),kA(k>0),P^TAP正定(P可逆)\\ &（特征值>0，具体意义证得）\\ \end{array} $$$$ 必要不充分条件：\\ \begin{array}{rl} f=x^TAx正定&\Rightarrow a_{ii}>0 \\ &\Rightarrow |A|>0\\ &\Rightarrow A^k正定(P^TA^kP=P^TAP\cdots P^TAP=E) \end{array} $$$$ 顺序主子式：\\ D_1=a_{11},D_2=\left| \begin{array}{} a_{11}&a_{12}\\ \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right| , D_3=\left| \begin{array}{} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right| $$正定矩阵的性质#
$$ A,B正定\Rightarrow A+B正定（实际意义易得）\\ A,B正定\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}A&O\\O&B\end{array}\right)正定\\ 若A正定且正交，故A特征值\lambda_i>0且\lambda_i=\pm1，则\lambda_i=1\\ 若A可逆，则A^TA正定\quad证：(A^{-1})^TA^TAA^{-1}=E $$重要经验#
$$ 实对称矩阵正交变换较为特殊，可同时考查“相似”与“二次型” $$重要结论#
$$ 任何二次型均可通过“配方法”化为标准型或规范型\\ 任何二次型均可通过“正交变换”化为标准型 $$$$ 正交变换不改变几何图形的形状\\ x^Tx=y^Ty\Rightarrow\Vert x\Vert=\Vert y\Vert\Rightarrow 形状不变 $$二次型无平方项情形#
$$ 令\left\{ \begin{array}{l} x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\\ x_3=y_3 \end{array} \right. $$矩阵合同求坐标变换#
A,B均为对角矩阵：
$$ \left.\begin{array}{}f=2x_1^2+x_2^2-3x_3^2\\ f=-2y_1^2+y_2^2+3y_3^2 \end{array}\right\}对应变量代换即可 $$A,B(B为对角矩阵)：
$$ 配方法，配平后凑系数即可\\ \frac{1}{2}(\sqrt{2}x_1+\sqrt{2}x_2)^2+\frac{1}{9}(3x_1-3x_2)^2+x_3^2 $$A,B(均非对角阵)：
$$ A,B分别配方法，凑成规范型，对应项相等，反解x=Cy\\ (3x_1-2x_2)^2+x_2^2\\ (y_1-4y_2)^2+y_2^2 $$二次型几何意义#
$$ \begin{array}{} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3符号 & 曲面f=a(a>0)\\ 3正 & 椭球面\\ 2正1负 & 单叶双曲面\\ 1正2负 & 双叶双曲面\\ 2正1零 & 椭圆柱面\\ 1正1负1零 & 双曲柱面 \end{array} $$二次型几何应用处理方法#
$$ 二次曲面x^2+3y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4经正交变换\\ 化为\eta^2+4\xi^2=4\\ \Leftrightarrow \\ 二次型f=x^2+3y^2+z^2+2xy+2xz+2yz经正交变换\\ 化为\eta^2+4\xi^2 $$二次型“平方式”题型#
所给“平方式”不一定由可逆坐标变换得到
$$ f=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2\\ \left|\begin{array}{}1&-1&1\\0&1&1\\1&0&a\end{array}\right|=a-2\\ a\neq2,规范型即为“平方式”\\ a=2,代入表达式\rightarrow拆开\rightarrow拉格朗日配方 $$二次型正定相关题型#
灵活运用正定的定义及意义、其余充要条件熟用即可
$$ 例： A列满秩，或Ax=0只有零解\Rightarrow (x^TA^T)(Ax)\geqslant0，且仅在x=0处取到0，即(x^TA^T)(Ax)正定 $$