横向知识点对比#
各大运算的等价性质#
$$ \begin{array}{rl} A可逆&\Leftrightarrow A^{-1},A^*,A^T可逆\\ A正定&\Leftrightarrow A^{-1},A^T,A^*(|A|\neq0),kA(k>0),P^TAP正定(P可逆)\\ A为正交矩阵&\Leftrightarrow A^{-1},A^*,A^T,-A为正交矩阵\\ \ \\ A\sim B & \Leftrightarrow A^{-1}\sim B^{-1}(|A|\neq0时),\quad A^T\sim B^T,\quad (\Rightarrow A^*\sim B^*,当|A|\neq0时)\\ A\simeq B & \Leftrightarrow A^{-1}\simeq B^{-1}(|A|\neq0时),\quad A^T\simeq B^T\quad(\Rightarrow A^*\simeq B^*) \end{array} $$特殊情形#
特殊矩阵1#
$$ A=\alpha\alpha^T+\beta\beta^T,\quad \alpha^T\beta=0,\alpha\alpha^T=2,\beta\beta^T=1\qquad r(A)\leqslant 2\\ A\alpha=2\alpha,A\beta=\beta $$$$ A=\alpha\beta^T+\beta\alpha^T,\quad \alpha^T\beta=0,\alpha\alpha^T=2,\beta\beta^T=2\qquad r(A)\leqslant 2\\ A\alpha=2\beta,A\beta=2\alpha\\ A(\alpha+\beta)=2(\alpha+\beta),A(\alpha-\beta)=-2(\alpha-\beta) $$$$ 注：A均为实对称矩阵 $$特殊矩阵2#
$$ A=E-axx^T\rightarrow A^2=(E-axx^T)(E-axx^T)（寻找矩阵关系） $$待整理问题#
证明题：相似，正定等
结论证明#
$$ r(A)+r(B)-n\leqslant r(AB) $$ $$ A_{m\times n}B_{n\times s}\quad \left( \begin{array}{} AB&O\\ O&E_n \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{} AB&A\\ O&E_n \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{} O&A\\ -B&E_n \end{array} \right)\quad （分块矩阵初等变换）\\ r(AB)+n\geqslant r(A)+r(B)\\即 r(A)+r(B)-n\leqslant r(AB) $$计算严谨性问题#
经验表明，矩阵运算的出错率最高，弱智错误；勿急，一步错步步错