随机事件与概率#
考情分析#
古典概型较难，但考查不深，若计算复杂，考虑处理复杂化了
重点：事件的运算、条件概率与全概率、贝叶斯公式
随机事件重要运算公式#
关键在集合运算，而非代数运算
$$ 结合律：\\ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\\ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\ \ \\ 分配律：\\ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\ \ \\ 对偶律：\\ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}; \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} $$$$ 注：\\ AB=A\cap B\\ A+B=A\cup B\\ A-B=A\overline{B}=A-AB\quad{\color{blue}\neq A+\overline{B}}\\ （加减运算易出错，慎用） $$事件关系#
$$ AB与\overline{A}B互斥\\ AB=A\Leftrightarrow A\subset B\Leftrightarrow A\cup B=B\\ AB=\varnothing\Leftrightarrow A\subset\overline{B}或B\subset\overline{A} $$概率重要运算公式#
善用概率运算关系简化计算，逆事件可简化计算，灵活使用
$$ 减法公式：P(\overline{A})=1-P(A),P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)\\ 加法公式：P(A\cup B\cup C)=\\ P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)（奇正偶负，各维同理） $$$$ 条件概率公式：P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\quad (定义P(B)>0)（划分范围,运算公式依旧满足）\\ \begin{array}{ll} P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)&\quad (P(A)>0)\\ P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)&\quad(P(A)>0)\\ P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)&\quad(P(A)>0)\\ \end{array} （仅加减可按“划分范围”理解，独立不可） \ \\ 乘法公式：P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})\quad (P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0) $$全概率公式与贝叶斯公式#
有因有果，分两步走，特征明显，“因果”，敏锐察觉
$$ 全概率公式：某条件的概率与该条件下事件发生概率之积求和\\ P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(BA_i)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)\qquad （由因索果）\\ $$$$ 贝叶斯公式：P(A_j|B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}\quad（由果索因） $$概率运算重要结论#
$$ P(AB)\leqslant \{P(A),P(B)\}（概率越积越小）\\ P(A\cup B)\geqslant \{P(A),P(B)\} $$随机事件独立的定义#
$$ 设A_1,A_2,\cdots,A_n为n个事件（有限个），若对其中任意个事件 A_{1_i},A_{2_i},\cdots,A_{n_i}(2\leqslant k\leqslant n)，有\\ \ \\ P(A_{1_i},A_{2_i},\cdots,A_{n_i})=P(A_{1_i})(A_{2_i})\cdots P(A_{n_i})\\ \ \\ 则称n个事件A_1,A_2,\cdots,A_n相互独立 $$随机事件独立的性质#
$$ 1.A与B,A与\overline{B},\overline{A}与B,\overline{A}与\overline{B}中任意一对相互独立，则其余三对相互独立\\ 注：P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]（可类比推广）\\ \ \\ 2.若A,B,C,D相互独立，则AB与C\overline{D}相互独立，但AB与\overline{BCD}\textbf{不一定}相互独立（B，\overline{B}代表同一元素）\\ 注：A_i与B_j相互独立，则\sigma_1(\sum A_i)与\sigma_2(\sum B_j)相互独立，反之不然（\sigma代表事件组合）\\ \ \\ 3.若P(A)=0或P(A)=1，则事件A与任意事件独立 $$独立与相容、互斥的关系#
$$ A,B独立\left\{ \begin{array}{l}P(A)>0,P(B)>0\Rightarrow AB\neq \varnothing\\ P(A)=0或P(B)=0 \quad未知 \end{array} \right.\\ \ \\ P(A)>0,P(B)>0 \left\{ \begin{array}{l} AB=\varnothing \Rightarrow A与B互不独立\\ A\subset B\Rightarrow A与B互不独立 \end{array} \right.\\ $$$$ 注：\\ P(A)=0,1的事件较特别，举反例时常用\\ A=\varnothing\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\ P(A)=0;\quad A=\Omega\ \substack{\Rightarrow\\ \not\Leftarrow}\ P(A)=1 $$独立的充要条件#
回归至定义证
$$ \quad\ P(AB)=P(A)P(B)\\ \Leftrightarrow P(B|A)=P(B)\quad (P(A)>0)\\ \Leftrightarrow P(B|A)=P(B|\overline{A})\quad (0<P(A)<1)\\ \Leftrightarrow P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1\quad(0<P(A)<1) $$ $$ \Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B) $$$$ \Leftrightarrow P(A|B)=P(A)\quad (P(A)>0)\\ (\Leftarrow)P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B) $$$$ \Leftrightarrow P(B|A)=P(B|\overline{A})\quad (0<P(A)<1)\\ (\Leftrightarrow) \frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}\\ (\Leftrightarrow)P(AB)-P(AB)P(A)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)\\ (\Leftrightarrow)P(AB)=P(A)P(B) $$$$ \Leftrightarrow P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1\quad(0<P(A)<1)\\ (\Leftrightarrow)P(B|A)=1-P(\overline{B}|\overline{A})\\ (\Leftrightarrow)P(B|A)=P(B|\overline{A})\\ (\Leftrightarrow)...... $$事件概率不等式#
$$ P(A)\leqslant P(A|B)\\ \begin{array}{ll} P(A|B)=1&\Rightarrow P(A)\geqslant P(B)\\ &\not\Rightarrow B\subset A \end{array} $$古典概型总述#
“有序”古典概型考察不深，先考虑“无序”能否做
$$ \begin{array}{ll}组合C_N^n=\frac{P_N^n}{n!}（去序）& C_N^n=C_N^{(N-n)}\\ \\ 排列P_N^n=\frac{N!}{(N-n)!}（去尾） \end{array} $$$$ 古典概型关键：\frac{事件样本点数}{样本空间的样本点数}（通用思路，具体问题具体分析，较灵活）\\ \ \\ （总体考虑顺序，则事件考虑顺序，一致即可） $$$$ 注：难在题义的转化 $$古典概型-随机分配#
$$ 随机分配（质点选盒子）： N代表盒数，n代表质点数\\ \begin{array}{cc} 分配方式&总体\Omega\\ 每盒可容纳任意多质点（有序）&N^n\\ 每盒可容纳至多一个质点（有序）&P_N^n\\ \end{array} $$$$ \star\star组合排列\\ 9个A，3个B，随机均分到3个盒子\\ 1)每个盒子各含一个B\qquad P=\frac{3!\times C_9^3C_6^3C_3^3}{C_{12}^4C_8^4C_4^4}（组间含排列）\\ 2)3个B均在一个盒子\qquad P=\frac{C_3^1\times C_9^4C_5^4}{C_{12}^4C_8^4C_4^4}（组间含排列） $$$$ 注：\\ “质点”与“盒”勿颠倒\\ \star\ 质点与质点之间是不同的\\ “同质”:排列即可，勿“重复排列” $$古典概型-简单随机抽样#
$$ 简单随机抽样：N代表总质点数，n代表抽取次数\\ \qquad\qquad \begin{array}{cc} 抽样方式&总体\Omega\\ 先后有放回取n次（有序）&N^n\\ 先后无放回去n次（有序）&P_N^n\\ 任取n个（无序）&C_N^n\\ \end{array} $$$$ 8良，2坏，逐个检测，不超过4次检测出\\ \frac{C_8^2\cdot C_2^2}{C_{10}^4}\qquad （按无序处理，简化模型） $$$$ 注： \star\ 红球与红球之间是不同的\\ $$条件概率概型#
$$ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})\quad (条件的概率 >0)\\ \ \\ \left\{ \begin{array}{l} 无放回概型\\ “放回但有影响”概型 \end{array} \right. $$重要古典概型题型#
$$ 抓阄模型：\\ 4个白球，6个红球\\ 先后无放回取n次，各次取到白球概率均为\frac{4}{10} $$古典概型与二项分布相通概型#
相当于伯努利概型
$$ 红球3个，白球4个，先后放回取6个，取2红4白的概率\\ \frac{C_6^2\cdot3^2\cdot 4^4}{7^6}=C_6^2(\frac{3}{7})^2(\frac{4}{7})^4 $$