一维随机变量#
考情分析#
重难点：分布函数法求函数分布、概率密度
分布函数的充要条件与性质#
$$ F(x)=P(X\leqslant x),\quad F(x)=\int_{-\infty}^xf(x)dx $$$$ 充要条件：\\ \Leftrightarrow F(x)单调不减\\ \quad\ F(x)右连续\\ \quad\ {\color{blue}F(-\infty)=0,F(+\infty)=1}\\ \quad\ 0\leqslant F(x)\leqslant 1\\（前三条为最简条件） $$$$ 性质：\\ P(x_1<X\leqslant x_2)=F(x_2)-F(x_1)\\ P(X=x)=F(x)-F(x-0)（连续时为0） $$$$ 分布函数：F^2(x),\quad F_1(x)F_2(x)\\ 1-[1-F(x)]^k,\quad 1-[1-F_1(x)][1-F_2(x)]\cdots $$分布律、概率密度的充要条件#
$$ 分布律：\\ 0\leqslant p_i\leqslant 1;\\ \sum_ip_i=1 $$$$ 概率密度：\\ \left\{ \begin{array}{l} f(x)\geqslant 0;\\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 \end{array} \right.\\ \ \\ 定义法：\\ f(x)=F'(x)或\int_{-\infty}^xf(x)dx=F(x)，其中F(x)为分布函数 $$$$ 注： 概率密度：2f(x)F(x),\quad f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x) $$常用离散型分布及其期望、方差#
$$ 0-1分布B(1,p)\\ 二项分布B(n,p)\\ 泊松分布P(\lambda)\\ 几何分布G(p)\\ \sout{超几何分布H(n,N,M)} $$注意起始项k
$$ \begin{array}{cccc} & 分布列 & 期望 & 方差\\ \\ 0-1分布 & P\{X=k\}=(1-p)^{1-k}p^k,k=0,1 & p & p(1-p)\\ \\ \begin{array}{c}二项分布\\B(n,p) \end{array}& P\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,\cdots,n & np & np(1-p)\\ \\ \begin{array}{c}泊松分布\\P(\lambda) \end{array}& P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\cdots & \lambda & \lambda&(\lambda>0)\\ \\ \begin{array}{c}几何分布\\G(p) \end{array}& P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots & \frac{1}{p} & \frac{1-p}{p^2}\\ \\ \begin{array}{c}超几何分布\\H(n,N,M) \end{array} & P\{X=k\}=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} & \backslash& \backslash \end{array} $$常用连续型分布及其期望、方差#
$$ 正态分布N(\mu,\sigma^2)\\ 均匀分布U(a,b)\\ 指数分布E(\lambda) $$ $$ \begin{array}{ccccc} & 概率密度 & 分布函数 & 期望 & 方差\\ \\ \begin{array}{c}正态分布\\N(\mu,\sigma^2)\end{array} &\begin{array}{c} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty\end{array} &\Phi(x)& \mu & \sigma^2\\ \\ \begin{array}{c}均匀分布\\U(a,b) \end{array} & f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{b-a},&a<x<b \\ \\ 0,&其他\end{array}\right.& F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0,&x<a\\\\\frac{x-a}{b-a},&a\leqslant x<b\\\\ 1,& x\geqslant b\end{array}\right.&\frac{a+b}{2} & \frac{(b-a)^2}{12}\\ \\ \begin{array}{c}指数分布\\E(\lambda)\end{array} & f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\lambda e^{-\lambda x},&x>0 \\ \\ 0,&其他\end{array}\right.&F(x)=\left\{\begin{array}{cl}1-e^{-\lambda x},&x\geqslant0 \\ \\ 0,&x<0\end{array}\right.& \frac{1}{\lambda}& \frac{1}{\lambda^2}&(\lambda>0) \end{array} $$泊松定理（二项分布与泊松分布）#
$$ 若\lim\limits_{n\to \infty}np_n=\lambda>0,则对任意非负整数k,有\\ \lim\limits_{n\to \infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^k }{k!}e^{-\lambda}\qquad 且\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k }{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k }{k!}=1\\ $$$$ 注： 当n很大，p很小时，二项分布可用泊松分布近似 $$泊松过程（泊松分布与指数分布）#
$$ t时间内发生k次的概率：\\ P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\quad \lambda t为t时间内的数学期望\\ $$$$ 泊松分布：t=1时间内发生k次的概率\\ t=1\quad P\{N(1)=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda }\\ 指数分布：t时间内至少发生一次的概率\\ \quad P\{T\leqslant t\}=1-\underbrace{P\{N(t)=0\}}_{k=0}=1-e^{-\lambda t} $$分布的无记忆性#
$$ 关键：P\{X>m+k\}=P\{X>k\}P\{X>m\}\\ 有且仅有几何分布、指数分布有无记忆性 $$$$ 几何分布：\\ P\{X=m+k|X>m\}=P\{X=k\}\qquad P\{X=m+k\}=P\{X>m\}P\{X=k\}=(1-p)^m\cdot (1-p)^{k-1}p\\ P\{X>m+k|X>m\}=P\{X>k\}\qquad P\{X>m+k\}=P\{X>m\}P\{X>k\}=(1-p)^m\cdot (1-p)^k\\ （n重伯努利实验每次实验均独立） $$$$ 指数分布：\\ P\{X\geqslant t+s|X\geqslant t\}=P\{X\geqslant s\}\qquad P\{X\geqslant t+s\}=P\{X\geqslant t\}P\{X\geqslant s\}=e^{-\lambda t}\cdot e^{-\lambda s}\\ （元件无损耗才有无记忆性） $$$$ 注： 泊松分布不满足无记忆性 $$连续型分布的性质#
$$ 必要条件： F(x)连续 $$正态分布的性质#
$$ 1.X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\\ 2.X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) \left\{\begin{array}{l}\xRightarrow{X,Y相互独立} aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma^2+b^2\sigma^2)\\ \not\xRightarrow {X,Y不相互独立}aX+bY\sim N \end{array}\right.\\ 3.标准化：X\sim N(\mu,\sigma^2),则\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$
一维随机变量重要经验#
离散型分布注意合理设事件
由F(x)求f(x)问题#
$$ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt（所涉不深，勿深究） $$$$ 已知F(x)，直接求导即可\\ \left\{ \begin{array}{l} F'(x)连续区间，f(x)即为所求\\ F'(x)不存在点处，左右极限按区间分开即可 \end{array} \right. $$连续型随机变量函数的分布#
$$ Y=g(X)单调:公式法\\ y=g(x)的反函数x=g^{-1}(y)=h(y)\\ f_Y(y)= \left\{ \begin{array}{cl} f_X[h(y)]|h'(y)|&,a<y<b\quad（x有效范围对应至y的有效范围）\\ 0&,其他 \end{array} \right. $$ $$ 注：若直接给单增X=h(Y),直接代入，或P\{Y\leqslant y\}=P\{h(Y)\leqslant h(y)\}=P\{X\leqslant h(y)\}\\ \begin{array}{l} g(x)单增：F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{g(X)\leqslant y\}=P\{X\leqslant g^{-1}(y)\}=F_X[g^{-1}(y)]\\ g(x)单减：F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{g(X)\leqslant y\}=P\{X\geqslant g^{-1}(y)\}=1-F_X[g^{-1}(y)] \end{array} $$$$ Y=g(X)不单调：分布函数法\\ F_Y(y)=\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x)dx $$分段函数的函数分布#
对应区间积分即可，对应好变量范围
$$ Y=\left\{ \begin{array}{cc} 2,&X\leqslant 1\\ 3X,&1<X<2\\ 1,&X\geqslant 2 \end{array} \right. $$$$ \left\{ \begin{array}{cc} \int_{-\infty}^1f(x)dx &y=2\\ \int_2^{+\infty}f(x)dx &y=1\\ \int_1^{\frac{y}{3}}f(x)dx & 3<y<6 & \qquad 关键：P\{3<Y<y\}=P\{1<X<\frac{y}{3}\} \end{array} \right. $$