二维随机变量#
考情分析#
重难点：多维随机变量函数的分布、独立性的判断与使用（区间讨论略难）
分布函数法求函数分布、概率密度
二维离散型随机变量分布#
$$ 联合概率分布：\\ P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\\ 边缘概率分布：\\ P(X=x_i)=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i\cdot}\\ 条件概率分布：\\ P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}\quad(p_{\cdot j}>0)\\ 联合分布函数：\\ F(x,y)=\sum_{x_i\leqslant x}\sum_{y_j\leqslant y} p_{ij} $$二维连续型随机变量分布#
$$ 联合概率密度：\\ f(x,y)=\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}（f(x,y)连续处）\\ \begin{array}{ll} 边缘分布函数：&边缘概率密度：\\ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}du\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y)dy={\color{blue}F(x,+\infty)} &f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\ 条件分布函数：&条件概率密度：\\ F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du\quad (f_Y(y)>0) & f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\quad (f_Y(y)>0) \end{array}\\ 联合概率分布：\\ F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv $$二维条件概率理解#
先有条件分布函数，后有条件概率密度
$$ 条件分布函数：\\ F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du\quad (f_Y(y)>0)\\ （已知事件Y=y发生的条件下F(x,y)的概率，“线积分”）\\ \ \\ 条件概率密度：\\ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\quad (f_Y(y)>0) $$联合分布函数的充要条件#
$$ 充要条件：\\ \Leftrightarrow F(x,y)单调不减\\ \quad\ F(x,y)是x,y的右连续函数\\ \quad\ {\color{blue}F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1}\\ \quad\ 0\leqslant F(x,y)\leqslant 1\\（前三条为最简条件） $$$$ 性质：\\ P\{x_1<X\leqslant x_2,y_1<Y\leqslant y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1) $$联合分布律、联合概率密度的充要条件#
$$ 联合分布律：\\ 0\leqslant p_{ij}\leqslant 1;\\ \sum_i\sum_j p_{ij}=1 $$$$ 联合概率密度：\\ f(x,y)\geqslant 0;\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1 $$多维随机变量独立的充要条件#
定义式：
$$ \begin{array}{ll} \forall (x,y)\quad& F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\\ \forall (x_1,x_2,\cdots,x_n)\quad&F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=F(x_1)F(x_2)\cdots F(x_n)\\ &{\color{blue}（含任意变量，与事件独立有区别）} \end{array} $$充要条件:
$$ 离散型\quad \forall x_i,y_i\\ \Leftrightarrow P\{X=x_i,Y=y_j\}=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)\\ \Leftrightarrow P(X=x_i|Y=y_j)=P(X=x_i)\ 或\ P(Y=y_i|X=x_j)=P(Y=y_j)\quad(P(Y=y_j),P(X=x_i)>0)\\ \Leftrightarrow P\{X_1=x_1,\cdots,X_n=x_n\}=\prod_{i=1}^{n}P(X=x_1)\\ \ \\ 连续型\\ \Leftrightarrow f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\\ \Leftrightarrow f_{X|Y}(x|y)=f_X(x)\ 或\ f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)\quad (f_Y(y),f_X(x)>0)\\ \Leftrightarrow f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f_i(x_i) $$多维随机变量独立的性质#
$$ 若X_1,X_2,\cdots,X_n相互独立，则\\ 其中任意k(2\leqslant k\leqslant n)个随机变量相互独立\\ $$$$ 若X_1,X_2,\cdots,X_n相互独立，且g_1(x),g_2(x),\cdots,g_n(x)连续（有效区间连续即可），则\\ g_1(X_1),g_2(X_2),\cdots,g_n(X_n)相互独立，反之不然 $$$$ 注： 变量独立与否与变量有无复用无必然联系 $$二维正态分布#
$$ {\color{blue}前提：}(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho) $$ $$ f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2]},\quad(\sigma_1,\sigma_2>0,-1<\rho<1) $$$$ 性质：\\ \ \\ \rho=0\Leftrightarrow X与Y相互独立\xLeftrightarrow{联合分布满足二维正态} (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,0)\\ \ \\ X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2) ,\quad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\\ \ \\ D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2ab\ \rho\sigma_1\sigma_2\\ \ \\ aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2+2ab\ \rho\sigma_1\sigma_2)\\ \ \\ f_{X|Y}(x|y)\sim N,\quad f_{Y|X}(y|x)\sim N\\ \ \\ \left\{ \begin{array}{l} U=aX+bY\\ V=cX+dY \end{array} \right.且 \left| \begin{array}{} a&b\\ c&d \end{array} \right|\neq0,则U,V\sim N\\ \left| \begin{array}{} a&b\\ c&d \end{array} \right|=0,则U,V满足线性关系 $$二维正态分布积分技巧#
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2x^2+2xy-y^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(y-x)^2}d(y-x) $$重要经验#
涉及二维，先求联合分布律或联合概率密度
涉及连续型分布、概率密度，谨慎注意有效区间，切记标注有效区间，否则意义不同，如：计算条件概率密度
重要结论#
$$ X为离散型（有限个），Y为连续型，X+Y为连续型\\ P\{X+Y=t_0\}=\sum P\{X+Y=t_0,X=x_i\}\leqslant \sum P\{Y=t_0-x_i\}=0 $$$$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cl} g(x)\cdot f(y),\quad &a<x<b,c<y<d\\ 0,&其他 \end{array} \right.\substack{\Rightarrow \\ \not\Leftarrow }\ X,Y相互独立 $$二维重要积分技巧#
$$ I=\iint\limits_{D}e^{-x^2}dxdy =\iint\limits_{D} e^{-r^2}rdrd\theta =\cdots $$常见分布可加性#
$$ X,Y相互独立\\ X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p),则X+Y\sim B(m+n,p)\\ X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2),则X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\\ X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),则X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\\ X\sim \chi^2(n),Y\sim \chi^2(m),则X+Y\sim \chi^2(m+n) $$$$ 注：谨记--非线性叠加性\\ X\sim B(n,p),\quad aX\not\sim B(n,p)且aX\not\sim B(an,p)\\ 其余分布同理，仅起到系数的作用，不影响变量分布，X\sim N(\mu,\sigma^2)除外 $$卷积公式#
$$ \star推导原理：\\ F_{Z}(z)=P\{X+Y\leqslant z\}=P\{Y\leqslant z-X\}=\int_{-\infty}^{+\infty}dx \int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy\\ f_{Z}(z)=F_{Z}'(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,z-x)dx $$ $$ {\color{grey}Z=X+Y\qquad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy}\\ {\color{grey}Z=X-Y\qquad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y+z,y)dy}\\ {\color{grey}Z=XY\qquad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|y|}f(\frac{z}{y},y)dy}\\ {\color{grey}Z=\frac{X}{Y}\qquad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(yz,y)dy} $$离散型、连续型求函数分布、概率密度#
$$ 离散型：对应项相加即可 $$$$ 连续型：\\ 1.画出联合概率密度的有效区间\\ 2.分段讨论z不同范围下的积分\\ $$$$ 注：\\ Z=X+Y,Z=X-Y移项即可画出积分区域\\ Z=\frac{Y}{X}分类讨论X,z正负即可画出积分区域\\ Z=XY分类讨论X,z的正负可画出积分区域\\ Z=|X-Y|双斜线中间区域 $$二维随机变量函数的分布处理技巧#
$$ F(x,y)=P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}（善用事件运算） $$$$ Z=\max(X,Y):\\ (X,Y)\sim F(X,Y),则\\ F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leqslant z)=P(X\leqslant x,Y\leqslant y)=F(z,z)\\ 当X与Y独立时,F_Z(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z)\\ n维独立同分布，F_Z(z)=[F_X(z)]^n;\quad f_Z(z)=n[F_X(z)]^{n-1}f_X(z) $$$$ Z=\min(X,Y):\\ (X,Y)\sim F(X,Y),则\\ \begin{array}{rl} F_Z(z)=&P(\min(X,Y)\leqslant z)=1-P(\min(X,Y)\geqslant z)=1-P(X\geqslant x,Y\geqslant y)\\ =&P\{(X\leqslant z)\cup(Y\leqslant z)\} =P(X\leqslant z)+P(Y\leqslant z)-P(X\leqslant z,Y\leqslant z) =F_X(z)+F_Y(z)-F(z,z) \end{array}\\ 当X与Y独立时,F_Z(z)=1-P(X\geqslant x,Y\geqslant y)=1-[(1-F_X(z))(1-F_Y(z))]\\ n维独立同分布，F_Z(z)=1-[1-F_X(z)]^n;\quad f_Z(z)=n[1-F_X(z)]^{n-1}f_X(z) $$$$ P\{2< \min\{X,Y\}\leqslant 3\}=P\{\min\{X,Y\}\leqslant 3\}-P\{\min\{X,Y\}\leqslant 2\}\\ P\{\max\{X_1,X_2,X_3\}\leqslant X_4\}=P\{Y\leqslant X_4\}（X_i间相互独立，利用联合概率密度函数分布计算） $$$$ \max\{X,Y\}=\frac{X+Y+|X-Y|}{2},\quad \min\{X,Y\}=\frac{X+Y-|X-Y|}{2}\\ \max\{X,Y\}+ \min\{X,Y\}=X+Y,\quad \max\{X,Y\}\cdot \min\{X,Y\}=X\cdot Y\\ \ \\ \max(X,Y)=X+Y-\min(X,Y)\\ \min(X,Y)=X+Y-\max(X,Y) $$$$ {\color{blue}若无法处理，直接计算函数分布，利用新分布计算} $$二维连续型分布函数的区间分段讨论#
$$ 五个区间分段讨论：\\ 有效区间左方、下方\rightarrow 有效区间 \begin{array}{l} \rightarrow 有效区间右方\\ \rightarrow 有效区间上方\\ \rightarrow 有效区间右上方 \end{array} $$混合型求函数分布、概率密度#
全概率公式、分布函数法
$$ 一般X，Y相互独立\\ F_Z(z)= P\{X+Y\leqslant z,Y=-1\}+P\{X+Y\leqslant z,Y=1\}\\ =P\{X\leqslant z+1,Y=-1\}+P\{X\leqslant z-1,Y=1\}\\ =F_X(z+1)P(Y=-1)+F_X(z-1)P(Y=1) $$$$ F_Z(z)= P\{XY\leqslant z,Y=0\}+P\{XY\leqslant z,Y=1\}\\ =P\{z\geqslant 0,Y=0\}+P\{X\leqslant z,Y=1\}\\ =P\{z\geqslant 0\}P\{Y=0\}+P\{X\leqslant z\}P\{Y=1\}\\ F_Z(z)=\left\{\begin{array}{l} P\{X\leqslant z\}P\{Y=1\},&z<0\\ \ \\ P\{Y=0\}+P\{X\leqslant z\}P\{Y=1\},&z\geqslant 0\end{array}\right. $$$$ 注： X,Y相互独立，不是X+Y,Y相互独立 $$