随机变量数字特征#
考情分析#
数字特征主要考察计算
归根结底在期望E(x)的计算
期望的定义#
$$
离散型：若\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i绝对收敛，则EX=\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i（若为可列无限个，级数改变次序，值不变）\\
E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_{i}\quad E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}
$$$$
连续型：若\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx绝对收敛，则EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\
E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\quad E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy
$$$$
注：绝对收敛知道即可，不作考查
$$期望的性质#
$$
Ec=c,\quad E(aX+c)=aEX+c,\quad E(aX+ bY)=aEX+ bEY（线性叠加性）\\
E[f(X)+ g(Y)]=E[f(X)]+ E[g(Y)]（叠加性）
$$$$
X,Y相互独立：\\
E(XY)=EX\cdot EY\\
E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)],其中f(x),g(x)连续（针对连续型）
$$方差的性质#
$$
DX=E[(X-EX)^2]=E(X^2)-(EX)^2
$$$$
DX\geqslant 0,\quad E(X^2)=DX+(EX)^2\geqslant0\\
Dc=0,\quad D(aX+c)=a^2DX,\quad D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2\text{Co}v(aX,bY)\\
D[f(X)+g(Y)]=D[f(X)]+D[g(Y)]+2\text{Cov}[f(X),g(Y)]（叠加性）\\
\ \\
DX=E[(X-EX)^2]\leqslant E[(X-c)^2]（c为任意常数）
$$$$
X,Y相互独立:\\
D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY\\
D[f(X)+g(Y)]=D[f(X)]+D[g(Y)],其中f(x),g(x)连续（针对连续型）\\
D(XY)=E[X^2Y^2]-E^2(XY)=E(X^2)E(Y^2)-(EX)^2(EY)^2=\cdots
$$协方差的定义与性质#
$$
如果DX,DY存在，且DX>0,DY>0,\\
则称E[(X-EX)(X-EY)]为协方差，记为\text{Cov}(X,Y)\\
\ \\
\text{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EX\cdot EY
$$$$
性质：\\
\text{Cov}(X,X)=DX,\quad \rho=1\\
\text{Cov}(X,c)=0（不符合协方差定义DX,DY>0，但方便计算）\\
\text{Cov}(X_1+X_2,Y)=\text{Cov}(X_1,Y)+\text{Cov}(X_2,Y)（组合拆分性）\\
\text{Cov}(aX+c,bY+d)=ab\ \text{Cov}(X,Y)=ab\ \rho\ \sqrt{DX}\cdot\sqrt{DY}
$$
$$
注：部分题型无法直接计算\text{Cov},借助DX计算\\
D(X_1,X_2)=D(X_1)+D(X_2)+2\text{Cov}(X_1,X_2)
$$皮尔逊相关系数（线性相关性）#
$$
\rho=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\qquad(DX>0,DY>0)
$$$$
性质：
|\rho|\leqslant 1\\
\rho_{XY}=0\Leftrightarrow \text{Cov}(X,Y)=0\Leftrightarrow X,Y不相关\Leftrightarrow \\{\color{blue}E(XY)=E(X)E(Y)}\Leftrightarrow D(X\pm Y)=DX+ DY\\
$$相关系数的性质拓展#
$$
\left\{
\begin{array}{l}
X,Y满足线性关系(aX+bY=c)\Rightarrow \rho_{XY}=\pm1\\
\ \\
\rho_{XY}=1\Leftrightarrow X,Y正相关\Leftrightarrow P(Y=aX+b,a>0)=1,a=\sqrt{\frac{DY}{DX}}\\
\rho_{XY}=-1\Leftrightarrow X,Y负相关\Leftrightarrow P(Y=aX+b,a<0)=1,a=-\sqrt{\frac{DY}{DX}}\\
（有限点不满足此线性关系，但不影响总体）
\end{array}
\right.
$$$$
标准化随机变量：
\text{Cov}(X^*,Y^*)=\rho_{XY},\quad X^*=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}},Y^*=\frac{Y-EY}
{\sqrt{DY}}\qquad
$$随机变量标准化#
$$
X^*=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}，即随机变量函数的平移伸缩
$$变量独立与相关的关系#
$$
X与Y独立\ \substack{\Rightarrow \\ \not\Leftarrow}\ X,Y不相关\Leftrightarrow \rho_{XY}=\text{Cov}(X,Y)=0\\
X,Y相关\Rightarrow X,Y不独立
$$$$
注：独立、相关对事件与变量来说不一样\\
相关性只探讨变量的线性相关性，而非事件
$$求期望、方差、协方差方法#
$$
1.利用期望、方差、协方差的运算性质\\
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\\
D(aX+b)=a^2D(X)\\
\text{Cov}(aX,bY)=ab\ \text{Cov}(X,Y)=ab\ [E(XY)-EXEY]=ab\rho\sqrt{DX}\sqrt{DY}\\
......\\
2.利用分布函数计算\\
f(x,y),Z=\sqrt{X^2+Y^2}\\
F_Z(z),f_Z(z)\\
$$$$
例：F(x)=0.3\Phi(x)+0.7\Phi(\frac{x-1}{2})\\
计算概率密度，定义法计算\int_{-\infty}^{+\infty}x[0.3\varphi(x)+0.7\times \frac{1}{2}\varphi(\frac{x-1}{2})]dx
$$离散型求期望#
$$
级数求和，灵活寻找与幂级数的关系，和函数计算
$$