大数定律与中心极限定理#
依概率收敛#
$$ \quad\ X_n\xrightarrow{P}X \\\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to \infty}P\{|X_n-X|\geqslant\varepsilon\}=0或\lim\limits_{n\to \infty}P\{|X_n-X|\leqslant\varepsilon\}=1 $$切比雪夫不等式#
$$ 设X的期望EX与方差DX均存在，则对任意给定的\varepsilon >0，有\\ P\{|X-EX|\geqslant \varepsilon\}\leqslant \frac{DX}{\varepsilon^2}\qquad P\{|X-EX|<\varepsilon\}\geqslant 1-\frac{DX}{\varepsilon^2} $$$$ 注：留意EX=0情形 $$大数定律#
互相独立是前提
切比雪夫大数定理
$$ \{X_i\}相互独立（可放宽至两两不相关），DX_i存在且一致有上界(DX_i\leqslant C)，则\\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n EX_i\\ \ \\ 注：高阶矩收敛，则低阶矩收敛；故DX存在，则EX存在（勿深究） $$伯努利大数定理
$$ 伯努利实验中B(n,P)，n_A为发生次数\\ \frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p $$辛钦大数定理
$$ \{X_i\}独立同分布，且EX_i=\mu，则\\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P}\mu $$中心极限定理#
互相独立是前提 列维-林德伯格定理：
$$ \{X_n\}独立同分布，且EX_i=\mu,DX_i=\sigma^2，则\\ \lim\limits_{n\to \infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leqslant x\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\Phi(x) $$棣莫弗-拉普拉斯定理：
$$ Y_n\sim B(n,p)\\ \lim\limits_{n\to \infty}P\left\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant x\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\Phi(x) $$$$ 注： n\gg1时，\overline{X}\sim N(EX,\frac{1}{n}DX)（近似） $$