数理统计的基本概念#
简单随机样本#
$$ 独立、同分布 $$分位数#
$$ 上\alpha分位数：P\{X>v_\alpha\}=\int_{v_\alpha}^{+\infty}f(x)dx=\alpha\\ \ \\ 下\alpha分位数：P\{X<v_\alpha\}=\int_{-\infty}^{v_\alpha}f(x)dx=\alpha $$$$ 分位数的伸缩：\\ t=\frac{X}{a}\sim N(0,1),\quad P\{X>v_{\alpha}\}=\int^{+\infty}_{v_{\alpha}} f(x)dx=\alpha\\ \Rightarrow t=\frac{X}{a}=v_{\alpha}，即X=av_{\alpha} $$$$ 注：考研范围内，默认为上\alpha分位数\\ 下\alpha分位数=上(1-\alpha)分位数\\ 若概率密度关于y轴对称，则下\alpha分位数=-（上\alpha分位数） $$常用统计量#
关键：不含总体未知参数的样本
$$ 样本均值：\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ 样本方差：S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\quad（无偏估计）\\ k阶样本原点矩：A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^k\\ k阶样本中心矩：B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k\\ B_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\frac{n-1}{n}S^2 $$$$ 对于任意分布的统计量：\\ D(\overline{X})=\frac{1}{n}DX,\quad E(S^2)=DX, \quad E(B_2)=\frac{n-1}{n}DX $$$\chi^2$ 分布#
标准正态总体下
$$ \chi^2分布：\\ \{X_n\}相互独立且服从标准正态，X=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2(n)\\ 性质：\\ X_1\sim \chi^2(n_1),X_2\sim \chi^2(n_2),X_1与X_2相互独立，则X_1+X_2\sim \chi^2(n_1+n_2)\\ X\sim \chi^2(n)，则EX=n,DX=2n $$t分布#
标准正态总体下
$$ t分布：\\ X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n),X与Y相互独立，则t=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)\\ 性质：\\ 概率密度图像关于y轴对称\\ n\gg1时，t\sim N(0,1)（近似）\\ t^2\sim F(1,n)\\ E(t)=0,D(t)=\frac{n}{n-2}(n>2)\\ \ \\ 注：形为\frac{U}{\sqrt{V}}\quad \frac{U}{|V|}，考虑 t分布，整理为标准形式 $$$F$ 分布#
标准正态总体下
$$ F分布： \\ X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2),X与Y相互独立，则F=\frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}\sim F(n_1,n_2)\\ 性质：\\ F\sim F(n_1,n_2),则\frac{1}{F}=\frac{\frac{Y}{n_2}}{\frac{X}{n_1}}\sim F(n_2,n_1)\\ F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha}(n_2,n_1)}\quad “记” $$