参数估计#
考情分析#
区间估计：仅考查单个、两个正态总体下的（两个正态总体几乎不考）
矩估计#
$$ 总体k阶矩E(X^k)（含参）=样本原点矩A_k\\ \left.\begin{array}{l}连续：E(X^k)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^kf(x;\theta)dx\\ 离散：E(X^k)=\sum_{i=1}^n x_i^kf(x_i;\theta) \end{array}\right\}=A_k(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k )（样本必然是离散点）\\ 反解得估计量\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\quad估计值\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ \ \\ 若涉及估计量的评判标准，A_k的样本值最后代入；否则直接代入，简化计算 $$$$ 典例：\\ 1.若一阶矩不含\theta，利用二阶矩估计\theta（考研大纲仅要求到二阶矩）\\ 2.若总体分布含有两个未知参数 \left\{\begin{array}{}f(x_i;\theta_1,\theta_2)\\ f(x_i;\theta_1,\theta_2) \end{array}\right.则分别求出一阶矩、二阶矩，解方程 $$$$ 注：f(x_i;\theta)表示x_i的函数，x_i为总体可能取值，\theta为参数 $$最大似然估计法#
$$ \left.\begin{array}{l} 离散：L(\theta)=\ln[\prod_{i=1}^{n}P(x_i;\theta)]\quad 离散概率的累乘（离散概率为x_i表达式，可得估计量，如泊松分布；否则不可）\\ 连续：L(\theta)=\ln[\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)]\quad 概率密度的累乘（样本不同不影响似然函数表达式） \end{array}\right\}n为样本个数\\ 令\frac{d[L(\theta)]}{d\theta}=0 ，解得\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ 估计值\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\quad 估计量\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\\ \ \\ 若涉及估计量的标准，样本值x_i最后代入；否则直接代入，简化计算 $$$$ 典例：\\ 1.若导数为0的点不存在 \left\{\begin{array}{ll} 超出取值范围\\ 导数\neq0 \end{array}\right.，则取\theta（样本值相关）使L(\theta)最大\\ 2.若总体分布含有两个未知参数L(\theta_1,\theta_2)，则令偏导为0 \left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial L(\theta_1,\theta_2)}{\partial \theta_1}=0\\ \ \\ \frac{\partial L(\theta_1,\theta_2)}{\partial \theta_2}=0 \end{array}\right.\\ 解估计值 \left\{\begin{array}{ll} \hat{\theta}_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ \hat{\theta}_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{array}\right.， 估计量 \left\{\begin{array}{ll} \hat{\theta}_1(X_1,X_2,\cdots,X_n)\\ \hat{\theta}_2(X_1,X_2,\cdots,X_n) \end{array}\right. $$$$ 注：f(x_i;\theta)表示x_i的函数，x_i为发生的样本值，\theta为参数 $$估计量的评判标准#
$$ 无偏性：E\hat{\theta}=E\theta\\ $$$$ 有效性：D\hat{\theta_1}<D\hat{\theta_2} $$$$ 一致性（相合性）：\hat{\theta}\xrightarrow {P}\theta(n\to \infty)\\ 注：一致性与无偏性无关 \left\{\begin{array}{l} 有偏估计量的一致性\\ 无偏估计量的一致性 \end{array}\right. $$一致性判别#
思路一：切比雪夫不等式
$$ \forall \varepsilon>0，当n\to \infty时，有\\ P\{|\hat{\theta}_1-\theta|\geqslant \varepsilon\}\leqslant \frac{D(\hat{\theta}_1)}{\varepsilon^2}=\frac{\frac{\theta^2}{3n}}{\quad\varepsilon^2\quad}\to 0 $$思路二：大数定律
$$ X_i独立同分布，E(X_i^2)=\theta，根据辛钦大数定律，有\\ \hat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2依概率收敛于\theta，即\lim\limits_{n\to \infty}P\{|\hat{\theta}_n-\theta|\geqslant\varepsilon\}=0 $$单个正态总体期望的区间估计（双侧置信区间）#
$$ \sigma^2已知： -u_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<u_{\frac{\alpha}{2}} \\ \mu的置信区间为： \left(\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad \overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\\ \ \\ \sigma^2未知： -t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}<t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\ \mu的置信区间为： \left(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\quad \overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right) $$$$ 推导原理：P\{\}=1-\alpha\qquad \{\}内不等式变形 $$单个正态总体方差的区间估计（双侧置信区间）#
$$ \mu已知：\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)<\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2<\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n)\\ \sigma^2的置信区间 \left(\frac{\sum_{i=1}^n\left({X_i-\mu}\right)^2}{\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n)},\quad \frac{\sum_{i=1}^n\left({X_i-\mu}\right)^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)}\right)\qquad \sigma的置信区间\left(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left({X_i-\mu}\right)^2}{\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n)}},\quad \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left({X_i-\mu}\right)^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)}}\right) $$$$ \mu未知：\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)<\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}<\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n-1)\\ \sigma^2的置信区间 \left(\frac{\sum_{i=1}^n\left({X_i-\overline{X}}\right)^2}{\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n-1)},\quad \frac{\sum_{i=1}^n\left({X_i-\overline{X}}\right)^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}\right)\qquad \sigma的置信区间\left({\frac{\sqrt{n-1}S}{\sqrt{\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n-1)}}},\quad \frac{\sqrt{n-1}S}{\sqrt{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}}\right) $$$$ 推导原理：P\{\}=1-\alpha\qquad \{\}内不等式变形\\ 注：-u_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<u_{\frac{\alpha}{2}} \qquad \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)<\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2<\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n) $$假设检验#
考情分析#
参数假设检验：仅考查正态总体下的
假设检验#
$$ 备择假设与原假设为对立的 $$正态总体下的期望检验域与拒绝域#
关键：统计量与拒绝域的关系判断是否拒绝假设
$$ H_0：\mu=\mu_0\\ \sigma^2已知：-u_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<u_{\frac{\alpha}{2}}\\ \mu的接受域（统计量\overline{X}）： \left(\mu_0-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad \mu_0+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\\ \sigma^2未知：-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)<\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}<t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\ \mu的接受域（统计量\overline{X}）： \left(\mu_0-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\quad \mu_0+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right) $$$$ 推导原理：P\{\}=1-\alpha\qquad \{\}内不等式变形 $$$$ H_0：\mu\leqslant \mu_0,\quad \mu\geqslant \mu_0\\ 统计量\overline{X}的接受域： \left(-\infty,\quad \mu_0+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),\qquad \left(\mu_0-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad +\infty\right)\\ \left(-\infty,\quad \mu_0+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right),\qquad \left(\mu_0-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\quad +\infty\right) $$